重难点06 比较大小问题（7题型12考点）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

1、 掌握幂、指、对函数的图像与性质； 2、 利用导数判断函数的单调性； 3、 能根据函数、不等式的性质处理比较大小问题. 一、命题规律与趋势 比较大小问题是高考中的重点题型，同时也是难点、热点，每年高考中往往以选择题的形式出现，考查内容往往与幂、指、对函数、三角函数、导数相结合，综合考查函数的性质。这类问题的解法主要从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 2、 真题再现 1、（2024高考新课标Ⅰ卷T8）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2、（2024高考北京卷T9）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3、（2024高考天津卷T 5）若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 单调性法 1、在比较数值的大小时，可以根据两个函数值的特点，将其视作同一个函数的两个函数值，再结合函数的单调性进行判断 （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性； （3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性； （4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小. 说明：对一些复杂一点的题目，需要对数值进行变形才能发现其共同点. 2、对抽象函数有关的比较大小问题，需要先判断函数的单调性，然后利用周期性、对称性比较函数值的大小. 例1．（2024·北京·高考真题）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则； D．若，则；若，则； 【类题演练1】（23-24·安徽·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024湖南邵阳阶段测试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例2（2024高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（    ） A． B． C． D． 中间值法 对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间值进行区分，常用的中间值为0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值. 例3 （2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·山东聊城·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·河北沧州·二模）若，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【类题演练3】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 比较法 例4（2024山东青岛联考）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【类题演练1】 （2024·河北秦皇岛·三模）已知正数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 【类题演练3】已知，则正数的大小关系为(　　) A． B． C. D． 不等式法 这类问题往往需要利用不等式的性质、基本不等式以及函数的单调性进行判断. 例5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·全国·高考真题）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·河南联考）设，，，则a，b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 数形结合法 例6（2024哈尔滨三模）已知，，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024四川二模）已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 构造函数法 对需比较大小的数值，合理的变形，从中发现结构的共性，再选择适当的解题方法是解决这类问题的关键，需要我们在平常的训练中，多练习、多回顾、多总结。 例7 （2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　) A.b＜c＜a B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a 【类题演练2】（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 当条件式含有两个变量式，可对条件变形化简，将变量分离，即化为等式或不等式的左右两侧形式相当，一边一个变量，根据结构特点构造函数，再结合函数的单调性得出两个变量的关系，进而解决问题。 例8 已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是 （　　） A.α＞β B.α2＞β2 C.α＜β D.α＋β＞0 【类题演练】(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数． （2）常见的同构形函数：与；与, 常见的同构变形：； ； 例9（2020·全国新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练】(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea 例10 （2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·安徽合肥·三模）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 放缩法 放缩法的解题思路： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 2、常见放缩不等式 （1）； （2）；； （3） 例11（2024·陕西安康·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·安徽·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 1、 单项选择题 1．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 6.（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北·三模）已知，，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·重庆·模拟预测）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏南通·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 12．（22-23高三下·北京·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小： （用“<”连接） 13．设，，，则三数的大小顺序是 ． 14．比较（为自然对数的底数）的大小为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1、 掌握幂、指、对函数的图像与性质； 2、 利用导数判断函数的单调性； 3、 能根据函数、不等式的性质处理比较大小问题. 一、命题规律与趋势 比较大小问题是高考中的重点题型，同时也是难点、热点，每年高考中往往以选择题的形式出现，考查内容往往与幂、指、对函数、三角函数、导数相结合，综合考查函数的性质。这类问题的解法主要从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 2、 真题再现 1、（2024高考新课标Ⅰ卷T8）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2、（2024高考北京卷T9）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3、（2024高考天津卷T 5）若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 单调性法 1、在比较数值的大小时，可以根据两个函数值的特点，将其视作同一个函数的两个函数值，再结合函数的单调性进行判断 （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性； （3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性； （4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小. 说明：对一些复杂一点的题目，需要对数值进行变形才能发现其共同点. 2、对抽象函数有关的比较大小问题，需要先判断函数的单调性，然后利用周期性、对称性比较函数值的大小. 例1．（2024·北京·高考真题）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则； D．若，则；若，则； 【答案】C 【分析】根据题意分析可得，讨论与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断. 【详解】由题意可得，解得， 若，则，可得，即； 若，则，可得； 若，则，可得，即； 结合选项可知C正确，ABD错误； 故选：C. 【类题演练1】（23-24·安徽·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的单调性判断，根据的单调性判断，进而得到答案. 【详解】因为在第一象限为增函数，，所以， 因为在第一象限为增函数，，所以， 所以， 故选：B. 【类题演练2】（2024湖南邵阳阶段测试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】因为在定义域上是增函数，所以， 因为在定义域上是减函数，所以， 所以,即. 故选：A. 例2（2024高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出对称轴，再结合奇偶性求出的周期；求出，的范围以及的值，得出的关系式，再利用在上的单调性，即可得出答案. 【详解】因为， 所以关于对称， 又因为为偶函数， 所以， 所以为周期函数，， 因为，且， 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以， 因为在上单调递减，为偶函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 故选：D. 【类题演练】（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项. 【详解】由，得到对称轴为，则， 而，又在上单调递减， 则，得. 故选：D 中间值法 对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间值进行区分，常用的中间值为0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值. 例3 （2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 【类题演练1】（2024·山东聊城·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又， 所以. 故选：A 【类题演练2】（2024·河北沧州·二模）若，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数函数单调性，可得，所以； 因为，所以， 又因为，所以，即，所以. 故选：B. 【类题演练3】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，的单调性，分别判断的大概范围，即可得出大小. 【详解】由题知，，，因为在定义域内单调递增， 所以，即， 因为在定义域内单调递减，所以，即， 因为在上单调递减，所以，即， 综上：. 故选：D 比较法 例4（2024山东青岛联考）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 时，由不等式得，，， ， ，，，， 综上，，故选：B. 【类题演练1】 （2024·河北秦皇岛·三模）已知正数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为，作差法并构造函数，求导利用导数求出函数最值，比较大小，再利用作差法比较大小，即可比较的大小. 【详解】由得，即，所以， 令，， 当时，，在单调递增， 所以，所以， 则有，所以； 由得，即， 所以， 因为，所以，即，故． 故选：A. 【类题演练2】已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 【答案】　B 【详解】＝＝<＝<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8－0.4， ∴b<c<a. 故选B 【类题演练3】已知，则正数的大小关系为(　　) A． B． C. D． 【答案】A 【详解】由log4m＝，得m＝<2， 由log12n＝，得n＝， ，因此2>m>n； 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为. 故选A 不等式法 这类问题往往需要利用不等式的性质、基本不等式以及函数的单调性进行判断. 例5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误， 故选：A. 【类题演练1】（2024·全国·高考真题）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 【类题演练2】（2024·河南联考）设，，，则a，b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，， 又， ，，即， ，即，∴. 故选：A. 数形结合法 例6（2024哈尔滨三模）已知，，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，由，故， 由与在上单调递增，故在上单调递增， 又，，故，故B错误； 令， 由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点， 由，故， 又， ，故，故C错误； 有，故A错误；，故D正确. 故选：D. 【类题演练】（2024四川二模）已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可变形为：，可变形为：，可变形为：， 令，，，，且， 可知分别为函数与，，的交点横坐标， 当时，单调递增且，， ，，这三个函数全部单调递减，且，，，， 由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大， 由图象可知，下降速度最慢，所以最大， ，，时，，所以交点， 故选：B 构造函数法 对需比较大小的数值，合理的变形，从中发现结构的共性，再选择适当的解题方法是解决这类问题的关键，需要我们在平常的训练中，多练习、多回顾、多总结。 例7 （2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察，找到三个数的相关性：发现它们均与0.1有关，即 ， ， ，然后确定构造函数这个思路，分别构造指数型函数,分式函数,对数型函数，接着用作差法，通过指数不等式和对数不等式,以及求导和用单调性解决问题 【详解】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 【类题演练1】已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　) A.b＜c＜a B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a 【答案】C 【解析】设f(x)＝，则f′(x)＝， 当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 则当x＝e时，f(x)max＝＝， 即b＞a，b＞c； a－c＝－＝＝＜0，则c＞a，所以b＞c＞a. 【类题演练2】（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系. 【详解】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 当条件式含有两个变量式，可对条件变形化简，将变量分离，即化为等式或不等式的左右两侧形式相当，一边一个变量，根据结构特点构造函数，再结合函数的单调性得出两个变量的关系，进而解决问题。 例8 已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是 （　　） A.α＞β B.α2＞β2 C.α＜β D.α＋β＞0 【答案】B 【解析】构造函数f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x.当x∈时，f'（x）≥0，f（x）是增函数，当x∈时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，又f（x）为偶函数，∴αsin α－βsin β＞0⇔αsin α＞βsin β⇔f（α）＞f（β）⇔f（｜α｜）＞f（｜β｜）⇔｜α｜＞｜β｜⇔α2＞β2，故选B. 【类题演练】(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 【答案】　B 【解析】　由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b， ∴2a＋log2a<22b＋log22b， 即f(a)<f(2b)，∴a<2b. 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数． （2）常见的同构形函数：与；与, 常见的同构变形：； ； 例9（2020·全国新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】条件中的等式含有两个变量，等式的两边都同时含有指数和对数，然后考虑能否化为相同的结构，由，可设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 【类题演练】(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea 【答案】　B 【解析】　由已知aea<bln b，则ealn ea<bln b. 设f(x)＝xln x，则f(ea)<f(b)． 因为a>0，则bln b>0，则b>1.当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<b. 例10 （2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题设条件转化为，从而得到，进而得到，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案. 【详解】由变形得， 从而有，， 所以， 因为，所以，则， 则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，， 又，而， 所以， 综上，. 故选：D. 【类题演练】（2024·安徽合肥·三模）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意令，利用导数及题干所给条件求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项. 【详解】令，则 ， 函数满足， 当时 在上单调递增， 当时在上单调递减， 又由， 即函数的图象关于对称，从而， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：C 放缩法 放缩法的解题思路： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 2、常见放缩不等式 （1）； （2）；； （3） 例11（2024·陕西安康·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线不等式放缩，即可比较以及. 【详解】由题得， 因为可得，故，即，所以. 又因为所以，，即，所以. 综上，. 故选:B. 【类题演练】（2024·安徽·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线不等式放缩，，即可得解. 【详解】由， 即， 因为， 所以，即， 又， 所以 则有，即， 故. 故选：A. 1、 单项选择题 1．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案. 【详解】因为指数函数是单调减函数，所以， 又由幂函数在上单调增函数，所以， 又因为指数函数是单调增函数，所以， 综上可得：， 故选：D. 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性，即可比较大小. 【详解】令，则在上单调递增函数， 由于， 则，,， 所以， 故选：B 3．（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性得到，利用指对运算和指数函数单调性得到，利用对数函数单调性得到，则比较出大小. 【详解】因为，且，则， ， 所以， 故选：A. 4．（2024·北京·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确； 对于B中，例如，此时，所以B不正确； 对于C中，由函数在上为单调递减函数， 因为，所以，可得，所以C正确； 对于D中，例如，此时，所以D不正确. 故选：C. 5．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断，，且，根据对数函数的性质可得，即可判断. 【详解】因为， 又，则，且，即， 因为，所以， 所以. 故选：A 6.（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得 因，则有即（*） 设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：. 故选：B. 7．（2024·河北·三模）已知，，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价变形已知条件，，构造两个函数，利用求导判断单调性即可求解. 【详解】设， 因为，，， 所以 即， ， ，在上单调递减， ，所以在上单调递减， 所以，即， ，当时，，所以在上单调递增， 所以, 故选：B. 8．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质判断A，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可利用单调性逐一判断BCD. 【详解】对于A，由于， 所以，故，故A错误； 对于BCD，设，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此， 即，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 2、 多项选择题 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】对于A，由换底公式即可判断；对于BC，由基本不等式即可判断；对于D，构造函数，利用导数可证得，由此即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，在这里，所以严格来说有，故B正确； 对于C，，在这里，所以严格来说有，故C正确； 对于D，，而， 定义，则， 从而单调递增，所以， 所以，故D正确. 故选：ABCD. 10．（2024·重庆·模拟预测）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;  由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 11．（2024·江苏南通·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D. 【详解】对A，由图可知：与交点， 与的交点， 根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称， 故，，故A正确； 对B，由A知，故B错误； 对C，由知，则，设，， 则，则当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则，则恒成立，即，当时取等； 令，则有，因为，则，即，故C错误； 对D，设，，则， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则，即在上恒成立， 即在上恒成立，当时取等， 令，则，即，因为，则，则， 故，故D正确. 故选：AD.    3、 填空题 12．（22-23高三下·北京·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小： （用“<”连接） 【答案】 【分析】通过构造函数，利用其单调性得到，再通过作差与零进行比较，得出与的大小关系，再通过与进行比较，判断出，进而得到结果. 【详解】令，恒成立，当且仅当取等号，所是增函数， 当时，，即，所以， 又，又因为，所以，故由的单调性知，，所以，从而， 又易知，又由函数的单调性知，，所以. 故答案为： 13．设，，，则三数的大小顺序是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性可得；根据三角函数的单调性可得；根据对数函数单调性可得，综合可得结果. 【详解】，即： ，即： ，即： 本题正确结果： 14．比较（为自然对数的底数）的大小为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，再用单调性即可比较函数值的大小关系. 【详解】根据题意，构造函数，所以， 当时 所以在上递增， 因为 所以 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$