重难点05 抽象函数问题（12题型）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

1. 掌握抽象函数的定义域、奇偶性、单调性、对称性、周期性的判断； 2. 能处理与抽象函数相关的求值、比较大小、不等式、函数零点等相关问题. 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数， 抽象函数问题近几年频频出现在高考试题中，已成为高考中的一个重点题型，如在2021年、2022年、2023年、2024年的高考中都有考察，抽象函数问题已成为高考命题中的一个热点. 解题基本策略： 策略1 赋值法 根据条件式，令变量分别取0，1，-1，2等特殊数值代入，求出某些函数值，当条件中有的函数值时，也常将代入；另外也可以将代入，根据定义判断函数的奇偶性和单调性。 策略1 探究新知 根据条件可以探究函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，以便我们顺利的解决问题，下面是判断函数性质的常用结论： 1.对称性： 结论1：任意函数关于直线对称 推广：的图像关于对称； 结论2：任意函数关于直线对称 2.周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期. 3.对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 策略3 构造具体函数 抽象问题具体化是我们处理抽象问题的常用策略，实现这一目标两个角度： 角度1：抽象问题图像化：根据题设条件画出函数图像，然后根据图像寻找解题的思路和方法； 角度2：抽象问题模型化：根据题设条件，构建满足题意的特殊函数模型，以达到帮助寻找解题思路的目的，特别是一些选择题，有时候可以达到“秒杀”的效果。 常见的抽象函数模型 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （3）对于反比例函数 ，与其对应的抽象函数为  （4） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . （5） 对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 （6） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 （7） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为  对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 （8） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 抽象函数的性质 解题步骤：（1）若函数的定义域是，则函数的定义域由解得（2）函数的定义域是，则的定义域是函数在时的值域. 例1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【类题演练1】（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(x－1)的定义域为 ． 【类题演练2】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数的定义域和值域均为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 这类问题的解题思路是：（1）赋值法：对条件式赋值，令式子中出现及，进而判定奇偶性；（2）构造特殊函数：根据条件构造满足题意的特殊函数进行判断． 例2（2024·青海西宁·模拟预测）已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【类题演练1】（多选题）（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【类题演练2】（多选）（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【类题演练3】（多选）（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 抽象函数单调性的判断主要是配凑法，其实质就是实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” （2）构造“积” （3）利用构造 （4）利用奇偶性（主要是奇函数）构造． 例3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【类题演练1】（多选题）设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.则下列判断正确的是（ ）. A f(1)=0 B f(1)=1 C f(x)是定义域上的增函数 D f(x)是定义域上的减函数 【类题演练2】（2023上·安徽阜阳三中校考）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 抽象函数对称性的判断有两个角度：一是根据轴对称和中心对称的定义式；二是根据图像变换寻找对称轴（中心）的关系. 例4（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论： ①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【类题演练】（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 例5 （多选）（2024山东联考）已知函数是定义在上的奇函数，且则下列判断正确的是（ ） A B C 2是的周期D 4是的周期 【类题演练】（多选题）（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数满足，，则（    ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 抽象函数性质的应用 抽象函数的求值问题，基本策略是赋值求值，或结合函数的周期性进行计算. 例6 （2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 【类题演练1】（2024·广东广州·二模）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【类题演练2】（2024·江苏南通·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 例7 （2024高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（    ） A． B． C． D． 解题策略：先探究函数的奇偶性、周期性和单调性，然后将抽象不等式转化为一般不等式求解. 例8（23-24吉林辽源·期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2023·辽宁朝阳·阶段）若定义域为的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9．（23-24高三上·浙江·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【类题演练】（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 例10 （2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ） A．28 B．16 C．20 D．12 【类题演练】（2024·广东茂名·二模）若为上的偶函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 抽象函数与导数混合型 例11（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 双函数混合型 这类问题的处理策略是根据两个函数的关系，转化为一个函数间的关系，再判断奇偶性、单调性、周期性，进而求解。 例12 （2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（    ） A． B． C．4 D．6 【类题演练1】（2024·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【类题演练2】（2024·山东·模拟预测）已知函数，均是定义在上的连续函数，为的导函数，且，，若为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．是周期函数 B．为奇函数 C．关于对称 D．存在，使 1、 单项选择题 1．（2024·山东·二模）已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 3．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数，满足，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 5．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·贵州黔西·一模）已知，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 2、 多项选择题 9．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 10．（2024·湖北荆州·三模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．关于中心对称 C．是周期函数 D．的解析式可能为 11．（2024·河北·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称． B．的图象关于点对称． C． D． 3、 填空题 12．（2024·陕西榆林·三模）已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 . 13．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 . 14.（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1. 掌握抽象函数的定义域、奇偶性、单调性、对称性、周期性的判断； 2. 能处理与抽象函数相关的求值、比较大小、不等式、函数零点等相关问题. 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数， 抽象函数问题近几年频频出现在高考试题中，已成为高考中的一个重点题型，如在2021年、2022年、2023年、2024年的高考中都有考察，抽象函数问题已成为高考命题中的一个热点. 解题基本策略： 策略1 赋值法 根据条件式，令变量分别取0，1，-1，2等特殊数值代入，求出某些函数值，当条件中有的函数值时，也常将代入；另外也可以将代入，根据定义判断函数的奇偶性和单调性。 策略1 探究新知 根据条件可以探究函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，以便我们顺利的解决问题，下面是判断函数性质的常用结论： 1.对称性： 结论1：任意函数关于直线对称 推广：的图像关于对称； 结论2：任意函数关于直线对称 2.周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期. 3.对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 策略3 构造具体函数 抽象问题具体化是我们处理抽象问题的常用策略，实现这一目标两个角度： 角度1：抽象问题图像化：根据题设条件画出函数图像，然后根据图像寻找解题的思路和方法； 角度2：抽象问题模型化：根据题设条件，构建满足题意的特殊函数模型，以达到帮助寻找解题思路的目的，特别是一些选择题，有时候可以达到“秒杀”的效果。 常见的抽象函数模型 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （3）对于反比例函数 ，与其对应的抽象函数为  （4） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . （5） 对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 （6） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 （7） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为  对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 （8） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 抽象函数的性质 解题步骤：（1）若函数的定义域是，则函数的定义域由解得（2）函数的定义域是，则的定义域是函数在时的值域. 例1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】借助函数定义域的定义计算即可得. 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 【类题演练1】（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(x－1)的定义域为 ． 【答案】[1，3] 【详解】 ∵ f(x)的定义域为[0，2]，∴ 0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴ 函数f(x－1)的定义域为[1，3]. 【类题演练2】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数的定义域和值域均为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB；求出抽象函数的值域判断CD. 【详解】函数中的x需满足，解得， 故函数的定义域为，故A正确； 函数中的x需满足解得， 故函数的定义域为，故B正确； 函数和的值域都为，故C正确，D错误． 故选：ABC． 这类问题的解题思路是：（1）赋值法：对条件式赋值，令式子中出现及，进而判定奇偶性；（2）构造特殊函数：根据条件构造满足题意的特殊函数进行判断． 例2（2024·青海西宁·模拟预测）已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】对于①②：根据题意赋值即可得结果；对于③：结合奇函数的定义分析判断；对于④：举特例，求导，代入检验即可. 【详解】因为， 对于①：令，可得，故①正确； 对于②：令，可得，解得； ③令，可得，解得，故③错误； 对于④：令，可得， 且的定义域为，所以是奇函数，故④正确； 对于：当时，， 对抽象问题，要紧扣题中抽象函数的性质，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用赋值法或特殊值法进行验证． 【类题演练1】（多选题）（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故错误； 对于B，取，得，则， 所以， 以上各式相加得， 所以， 令，得，此方程无解，故B错误. 对于CD，由知， 所以是偶函数， 不是偶函数，故C正确，错误. 故选：C. 【类题演练2】（多选）（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AC 【分析】利用赋值法求得，，可判断各选项的正误。 【详解】令，则， 令，则，解得或， 若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确； ，则,，B选项错误； 函数，定义域为R，， 为偶函数，C正确，D错误. 故选：AC 【类题演练3】（多选）（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 抽象函数单调性的判断主要是配凑法，其实质就是实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” （2）构造“积” （3）利用构造 （4）利用奇偶性（主要是奇函数）构造． 例3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【详解】对A，令，则， ，即， 故，所以A不正确； 对B，取代入：， 即，即在上为奇函数， 设， 所以，且， 故： 即：，故B错误； 对C，由B知函数在上单调递增，故C错误； 对D，由C结合函数为奇函数且， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【类题演练1】（多选题）设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.则下列判断正确的是（ ）. A f(1)=0 B f(1)=1 C f(x)是定义域上的增函数 D f(x)是定义域上的减函数 【答案】BC 【解析】令 x=y=1可求得， f(1)=1 设，则即， ，故，即， 故在上为增函数；故选BC. 【类题演练2】（2023上·安徽阜阳三中校考）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ACD 【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确. 【详解】对于A，由题可知，故，故A正确； 对于B，由题可知，，故B错误； 对于C，，故，为奇函数，故C正确； 对于D，当时，， ， 是上的减函数，故D正确. 故选：ACD 抽象函数对称性的判断有两个角度：一是根据轴对称和中心对称的定义式；二是根据图像变换寻找对称轴（中心）的关系. 例4（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论： ①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据可得函数对称轴，可判断①；根据可得函数周期，可判断③；根据，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出，进而可得判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤. 【详解】由知直线为曲线的对称轴，①正确； 因为，所以 所以是周期为4的周期函数，③正确； 由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称， 又直线为曲线的对称轴，以是周期为4的周期函数 则的对称中心为，②错误； 令，则，所以，在中，令，则. 于是，，，，则，所以，④正确； 因为的图象关于点对称，因为周期为4， 所以，所以为奇函数，⑤错误. 故选：C. 一是若函数是偶函数，则函数关于直线对称；若函数是奇函数，则函数关于点中心对称； 二是若对任意都有，则是以为周期的函数；若对任意都有，则也是以为周期的函数. 【类题演练】（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C 【分析】由函数的平移变化即可求得出答案. 【详解】函数为奇函数，图象关于对称， 将函数向左平移一个单位可得函数， 则函数关于对称， 所以函数的图象关于对称. 故选：C. 例5 （多选）（2024山东联考）已知函数是定义在上的奇函数，且则下列判断正确的是（ ） A B C 2是的周期D 4是的周期 【答案】AD 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，又因为， 所以，则故A正确；因为函数是定义在上的奇函数， 所以，又，所以，即， 则，所以是以4为周期的周期函数，故D正确，从而选AD. 【类题演练】（多选题）（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数满足，，则（    ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 【答案】ABD 【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D. 【详解】令，则，即，A正确， 令，则无意义，即的定义域不为R，C错误； 由可知， 令，则，即， 故，B正确； ， 故，即的周期为4，D正确， 故选：ABD 抽象函数性质的应用 抽象函数的求值问题，基本策略是赋值求值，或结合函数的周期性进行计算. 例6 （2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC，再由函数的周期为4，代入计算，即可判断BD 【详解】为奇函数，， 又为偶函数，，故A项错误. 即函数的周期为4， 即C项错误. 由，令，得， 即B项错误. 又， 所以D项正确. 故选：D 【类题演练1】（2024·广东广州·二模）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意分析可知为偶函数，结合偶函数可得，进而可知6为的周期，赋值可知，结合周期性运算求解. 【详解】由题意可知：函数的定义域为R， 因为，则， 可得，所以为偶函数， 由可得， 即，整理得， 可得， 则，可得， 所以6为的周期， 由， 令，可得，可得； 令，可得，可得； 所以． 故选：A． 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 【类题演练2】（2024·江苏南通·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】为偶函数，则则关于对称， 为奇函数，则， 即，则关于点对称， 则由其关于对称有，则， 则，作差有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 因为，，则， ，则， ，， 故选：C. 例7 （2024高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出对称轴，再结合奇偶性求出的周期；求出，的范围以及的值，得出的关系式，再利用在上的单调性，即可得出答案. 【详解】因为， 所以关于对称， 又因为为偶函数， 所以， 所以为周期函数，， 因为，且， 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以， 因为在上单调递减，为偶函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 故选：D. 【类题演练】（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项. 【详解】由，得到对称轴为，则， 而，又在上单调递减， 则，得. 故选：D 解题策略：先探究函数的奇偶性、周期性和单调性，然后将抽象不等式转化为一般不等式求解. 例8（23-24吉林辽源·期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究函数的单调性与对称性，结合函数零点作出图象，借助函数图象由符号法则解不等式. 【详解】由题意，不妨设，则由可得， ，，即当时，恒有成立， 故在单调递减； 的图象关于点对称，则是奇函数， 所以在单调递减； 由函数的定义域为，则， 又，则， 作出函数大致图象， 不等式等价于或， ①由方程，得，或或或， 解得或或或. ②由不等式可化为，或， 即，或， 解得，或 ， 综上可知，，或. 故选：C. 【类题演练】（2023·辽宁朝阳·阶段）若定义域为的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号， 再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 由可得且 可得或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：. 例9．（23-24高三上·浙江·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可. 【详解】令，则，且 故，，故 且令，，可得 设，则， 则，故在上单调递增 的最大值是 故选：A 本题需要考生先求出特殊值，后判断抽象函数的单调性，再求出端点值即可. 判断抽象函数的单调性时需要记忆或推理常见的抽象函数模型. 【类题演练】（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 例10 （2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ） A．28 B．16 C．20 D．12 【答案】A 【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数，可得出在上是增函数，又是R上的奇函数，所以在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有4个实数根，和为28. 【详解】由知函数的图象关于直线对称， ∵，是R上的奇函数， ∴， ∴， ∴的周期为4， 考虑的一个周期，例如， 由在上是减函数知在上是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 对于奇函数有，， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 因为方程在上有实数根， 函数在上是单调函数，则这实数根是唯一的， 所以方程在上有唯一的实数根， 则由于，函数的图象关于直线对称， 故方程在上有唯一实数根， 因为在和上， 则方程在和上没有实数根， 从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根， 当，方程的两实数根之和为， 当，方程的所有4个实数根之和为 . 故选：A. 【类题演练】（2024·广东茂名·二模）若为上的偶函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】A 【分析】数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为的零点，根据对称性即可求零点之和. 【详解】若为上的偶函数，则，且， 则的周期， 当时，， 则当时，，即可画出函数的图象； 函数周期是2，最大值为3，把函数在下方图象翻折到轴上方。 与在区间上一共有10个交点， 且这10个交点的横坐标关于直线对称， 所以在区间的的有零点的和是20. 故选：A 抽象函数与导数混合型 例11（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 【类题演练1】（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式. 【详解】不等式等价于，即， 构造函数，所以， 因为时，，所以对恒成立， 所以在单调递减， 又因为， 所以不等式等价于，所以， 即的解集为. 故选：A. 【类题演练2】（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数、偶函数性质可得与，分别对两式两边求导可得与，进而可得的一个周期，结合赋值法及周期性判断各项即可. 【详解】因为为奇函数，所以，① 因为为偶函数，所以，② 对①两边求导可得，即，③ 对②两边求导可得，即，④ 对于A项，将代入②可得，故A项正确； 对于B项，将代入④可得，故B项正确； 对于C项，将代入④可得，将代入③可得，所以，故C项错误； 对于D项，由③可得，即，⑤ 所以由④⑤可得，⑥ 所以由⑥可得，即，⑦ 由⑦可得，⑧ 所以由⑦⑧可得，故8是的一个周期. 所以， 将代入④可得，即， 由C项知，， 将代入⑦可得，即， 所以，故D项正确. 故选：C. 双函数混合型 这类问题的处理策略是根据两个函数的关系，转化为一个函数间的关系，再判断奇偶性、单调性、周期性，进而求解。 例12 （2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据是偶函数，得到关于对称，即，结合和为偶函数即可得到周期为4，故可求出，则即可. 【详解】因为是偶函数， 所以的图象关于直线对称， 即， 即， 所以. 所以关于点中心对称. 又是定义域为的偶函数， 所以， 所以， 即， 所以函数的周期为4. 所以， 所以. 故选：D. 【类题演练1】（2024·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性推出的周期为4，最后再计算出一个周期内的各值即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以有， 又因为为偶函数，所以， 于是有， 所以函数的周期为4，因为， 所以， 所以， 于是， 故选：B. 【类题演练2】（2024·山东·模拟预测）已知函数，均是定义在上的连续函数，为的导函数，且，，若为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．是周期函数 B．为奇函数 C．关于对称 D．存在，使 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法变换给定等式可得及，再结合奇函数及等差数列通项求解、复合函数求导求解判断即得. 【详解】函数，均是定义在上的连续函数，①， ②，将②式中换为得③， ①+③得，则的图象关于点中心对称； 将②式中换为得：④， ①-④得：，因此不是奇函数，B错误； ，即，所以关于对称，C正确； 由及为奇函数，得， 即，而，，则， 当时，数列是首项为3，公差为6的等差数列， 则， 当时，数列是首项为6，公差为6的等差数列， 则，因此时，，显然满足上式， 即，，显然无周期性，且无解，AD错误. 故选：C 1、 单项选择题 1．（2024·山东·二模）已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数为偶函数，得到. 【详解】因为函数是偶函数，且该函数的图像经过点， 所以，D正确，其他选项不对. 故选：D 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据函数周期的定义，求解即可． 【详解】因为的周期是3， 所以，令， 则，所以的周期为6， 故选：C． 3．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 4．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数，满足，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原函数的对称关系. 【详解】因为， 所以， 即， 所以关于直线对称， 因为， 所以关于对称，即为偶函数. 故选：D 5．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件得到的对称中心，再根据对称得到的对称中心. 【详解】因为为奇函数，所以， 即， 故的对称中心为，即， 由于函数与的图象关于直线对称， 且关于的对称点为， 故的对称中心为. 故选：D 6．（2024·贵州黔西·一模）已知，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，推得，得到是周期为的周期函数，再由，，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且， 所以，即， 又因为，可得， 即，则，所以， 所以函数是周期为的周期函数， 因为，，可得，， 所以. 故选：C. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的图象关于直线对称可得，函数为奇函数，则，可得，计算可求得. 【详解】因为函数的图象关于直线x＝2对称，则，可得 因为函数为奇函数，则，所以， 所以，故，即， 故f(x)是以4为周期的周期函数． 因为函数为奇函数，则， 故， 其他三个选项由已知条件 不能确定结果是否为0． 故选：A. 8．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得. 【详解】由函数的图象关于原点对称，， 即，即①， 由函数的图象关于y轴对称，可得②， 由可得，又得， 两式相加，，将①式代入，得， 则得，将②式代入得，，则， 于是，即的周期为12. 又，由①可得，得， 又由可得，即得. 因，可得，， 于是， 故选：B. 2、 多项选择题 9．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 【答案】AC 【分析】根据题意，令即可判断A，令，，即可判断B，令结合函数奇偶性的定义即可判断C，令即可判断D 【详解】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：，，则有，即， 由，，故，即，故B错误； 对C：令，则有，即， 即，又函数的定义域为，则函数的定义域为， 故函数为奇函数，故C正确； 对D：令，则有，即， 即有，则当时，有，即， 故在上不具有单调性，故D错误. 故选：AC 10．（2024·湖北荆州·三模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．关于中心对称 C．是周期函数 D．的解析式可能为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据题意赋值即可；对于C：根据题意结合偶函数以及周期性的定义分析判断；对于B：举反例说明即可；对于D：将代入题意关系式检验即可. 【详解】由，且函数的定义域为， 对于选项A：令，，可得， 且，可得，故A正确； 对于选项C：令，则， 则，即，可知为偶函数， 令，则， 可知，， 可得，则， 所以，可知周期为6，故C正确； 对于选项B：因为由于为偶函数且周期为6， 则，不满足， 所以不关于中心对称，故B错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且， 即符合题意，所以的解析式可能为，故D正确； 故选：ACD. 11．（2024·河北·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称． B．的图象关于点对称． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，直接得到即可判断；对于B，由为偶函数，所以，求导可得即可判断；对于D，求出的周期为，再根据即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即， 所以的图象关于中心对称，故A错误； 对于B，由为偶函数，所以， 所以，即， 即，则， 所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于D，由，，知， 又，，所以， 所以，即， 所以为周期是的函数，即，故D正确. 对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且， 不妨设，所以，周期均为且， 所以，所以C错误； 故选：BD. 3、 填空题 12．（2024·陕西榆林·三模）已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 . 【答案】2 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0， 所以函数最大值和最小值之和为0， 则函数的最大值和最小值之和为2. 故答案为：2. 13．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 . 【答案】4048 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以. 故答案为：4048. 14.（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是 【答案】 【分析】设，根据题意可得函数为偶函数以及其单调性，再分以及讨论即可得出答案． 【详解】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，,则，则函数为偶函数， 可得函数在上单调递增， 又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为,,． 学科网（北京）股份有限公司 $$