重难点08 导数的几何意义（切线及公切线问题）（7题型16考点）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

1、 理解导数的几何意义； 2、 能处理曲线的切线相关的问题. 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 3．公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 导数几何意义的应用 导数的几何意义是在处切线的斜率，在求解时要注意与导数的定义式、直线斜率公式结合应用. 例1（2024·高三课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024江苏模拟）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（       ） A． B． C． D． 求切线方程 解题步骤：曲线在点处的切线方程 （1）求出导函数； （2）把切点的横坐标带入导函数，得 （3）根据切点为，利用点斜式直接写出切线为 例2．（2024高考全国甲卷理T6）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024高考全国甲卷文T7）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】11．（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 过一点的切线方程 ①设切点为，则斜率 ②利用切点和斜率写出切线方程为：， ③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 例3（2022·新高考Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【类题演练1】（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 切线的倾斜角问题 这类问题的解题思路是根据导函数求出切线斜率的取值范围，再结合正切函数的图像与性质求出切线倾斜角的取值范围. 例4（2024高三上·四川南充·阶段练习）过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024广东4月联考）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·江苏南通·二模）已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（    ） A． B． C． D． 已知切线求值 例5 （2024·四川德阳·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【类题演练1】（2024·湖南娄底·一模）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（    ） A．2或 B． C． D．或 【类题演练2】（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．3 B． C．0 D．1 例6（2024·河南·模拟预测）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（    ） A． B．1 C．2 D． 【类题演练】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　　　　.  例7．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知直线与函数的图象相切（），则（e为自然对数的底数）的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 【类题演练】（2024·湖南长沙·二模）已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 例8（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 切线的平行垂直问题 例9（23-24高二下·重庆巴南·期中）曲线过点的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·浙江绍兴·二模）函数在点处的切线与直线平行，则（     ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A．3 B． C．7 D． 公切线问题 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围. (1)注意曲线上横坐标的取值范围; (2)谨记切点既在切线上又在曲线 例10 （2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】曲线与曲线的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 例11（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【类题演练1】（2024·湖南长沙·一模）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【类题演练2】（2024高三下·全国·专题练习）若直线与曲线和曲线同时相切，则（   ） A． B． C． D． 【类题演练3】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 例12（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 切线方程的应用 例13．（2024·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例14．（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例15（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【类题演练2】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（    ） A． B．6 C．8 D．12 1、 单项选择题 1．（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A．y＝x＋3 B．y＝4x－3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－3 2．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川·三模）已知函数 ，则曲线上一点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 5．（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 8．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题 9．（23-24高三下·广东·阶段练习）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·山东济南·三模）已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线斜率为 B．方程有无数个实数根 C．曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于 D．在上单调递减 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．若恒成立，则 B．若与相切，则 C．存在实数使得和有相同的最小值 D．存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列 3、 填空题 12．（2024·四川遂宁·三模）曲线在点处切线的斜率为3，则实数 ． 13．（2024·山东临沂·二模）若直线与曲线相切，则的取值范围为 . 14．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1、 理解导数的几何意义； 2、 能处理曲线的切线相关的问题. 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 3．公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 导数几何意义的应用 导数的几何意义是在处切线的斜率，在求解时要注意与导数的定义式、直线斜率公式结合应用. 例1（2024·高三课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可. 【详解】依题意可知切点， 函数的图象在点处的切线方程是， ，即 又 即 故选：D. 【类题演练】（2024江苏模拟）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 结合图象，可得，所以. 故选：A. 求切线方程 解题步骤：曲线在点处的切线方程 （1）求出导函数； （2）把切点的横坐标带入导函数，得 （3）根据切点为，利用点斜式直接写出切线为 例2．（2024高考全国甲卷理T6）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 【类题演练1】（2024高考全国甲卷文T7）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积. 【详解】，所以，故切线方程为， 故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为 故选：A. 【类题演练2】11．（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程，即， 故选：. 过一点的切线方程 ①设切点为，则斜率 ②利用切点和斜率写出切线方程为：， ③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 例3（2022·新高考Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； 　求切线方程一定要区分曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点. 【类题演练1】（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 切线的倾斜角问题 这类问题的解题思路是根据导函数求出切线斜率的取值范围，再结合正切函数的图像与性质求出切线倾斜角的取值范围. 例4（2024高三上·四川南充·阶段练习）过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求得切线的斜率的范围，进而求得倾斜角的范围. 【详解】依题意，，则， 即切线的斜率的取值范围是， 所以倾斜角的取值范围是. 故选：B 【类题演练1】（2024广东4月联考）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴或. 故选：B. 【类题演练2】（2024·江苏南通·二模）已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立曲线曲线与曲线方程求出切点，再由圆的切线与圆心和切点连线垂直，结合两垂直直线斜率乘积等于可求出在处圆的切线斜率，从而得出；由导数知识里在某点处的切线方程求法可得出，进而根据两角和与差的正切公式进行检验判断即可. 【详解】 因为曲线，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 且，即曲线过原点O， 联立，得， 所以在处圆的切线斜率为，所以， 由， 所以曲线在A处的切线斜率为， 又， 所以，所以，从而， 即，故A正确，C错误， 注意到，，且，故B、D错误， 故选：A. 已知切线求值 例5 （2024·四川德阳·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到方程组，解答即可. 【详解】由，可得， 设切点为，则， 则切线方程为， 即， 又直线与曲线相切， 所以，解得. 故选：D 【类题演练1】（2024·湖南娄底·一模）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（    ） A．2或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义，列式运算求得的值. 【详解】设切点坐标为，对函数，求导得， 切线方程化成斜截式为， 由题设知，显然，即， 由，得，即， 即， 即，化简得， 令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或， 即或，解得或. 故选：D. 【类题演练2】（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】 根据题意结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】因为，则， 由题意可得：，解得，所以. 故选：C. 例6（2024·河南·模拟预测）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】设出，求导，直线的斜率为，根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标 【详解】设函数与直线相切于点， 直线的斜率为， ，所以，所以． 故选：B． 【类题演练】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　　　　.  【答案】（e，1） 【解析】设A（m，n），则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝（m＋e）.再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，1）. 例7．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知直线与函数的图象相切（），则（e为自然对数的底数）的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 【答案】C 【分析】设切点为，根据切点在切线和曲线上，以及切点处的导数等于切线斜率，联立求解可得，则，构造函数，利用导数求最小值即可. 【详解】设直线与函数的图象相切于点， 则，所以， 又，所以，即， 所以，即，所以，所以， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，当时，取得最小值， 所以的最小值为2. 故选：C 【类题演练】（2024·湖南长沙·二模）已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用已知条件求出切点横坐标，从而得到。利用基本不等式即可求解. 【详解】由于直线 与曲线 相切， 设切点为，且，所以， 则切点横坐标 ，则，即 . 所以，即， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1. 故选：D 例8（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得，结合计算即可求解. 【详解】设，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又该切线过原点，所以， 整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线， 所以方程①只有一个解，故，解得. 故选：A 本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键. 【类题演练】（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案. 【详解】点不在函数的图象上， 则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为只有一个零点，且， 令，可得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使仅有一个零点， 或 故选：B 切线的平行垂直问题 例9（23-24高二下·重庆巴南·期中）曲线过点的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的方程，结合切线过点且与直线垂直，求得a的值. 【详解】函数，有，设所求切线的切点坐标为，则切线斜率， 所以切线方程为， 由切线过点且与直线垂直， 有， 解得，. 故选：A. 【类题演练1】（2024·浙江绍兴·二模）函数在点处的切线与直线平行，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得解． 【详解】，则， 因为函数在点处的切线与直线平行， 所以，解得， 故选：A． 【类题演练2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得. 【详解】由，求导得，当时，， 由曲线在处的切线与直线垂直，得， 所以. 故选：C 公切线问题 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围. (1)注意曲线上横坐标的取值范围; (2)谨记切点既在切线上又在曲线 例10 （2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解. 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. 【类题演练】曲线与曲线的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图象，从而确定正确选项. 【详解】画出以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合. 故选：A 例11（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 【类题演练1】（2024·湖南长沙·一模）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】设出两个切点，根据导数几何意义得，，再利用函数的单调性得到，最后代入计算即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为直线与曲线相切于点， 设，，且直线过定点， 则，且，所以， 设，则，则，且直线过定点， 则，所以， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，且， 当时，，且，所以当时，， 因为，，即， 所以，，所以，故. 故选：A. 【类题演练2】（2024高三下·全国·专题练习）若直线与曲线和曲线同时相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出切点，由导数的意义，根据两直线的斜率相等求出，再由，求出即可. 【详解】设直线直线与曲线相切于， 与曲线相切于点， 曲线，其导数，则有， 则在点处切线的方程为， 即，曲线，其导数，则有， 则在处切线的方程为，即， 则有，则有， 又由，则有，则， 则； 故选：A． 【类题演练3】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【详解】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A 例12（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 【详解】设直线与相切与点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切与点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 切线方程的应用 例13．（2024·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：问题转化为方程有三个不等的实数根.分离参数后构造函数，求导分析单调性后求出参数的范围；方法二：分离函数，令，则方程变为，分别构造函数，求导分析的单调性和极值，再讨论当时图象的情况和当时设切点，利用导数的意义求出切线的斜率，再由点在直线上和点斜式方程写出切线方程，求出斜率，最后综合以上求出斜率范围. 【详解】问题转化为方程有三个不等的实数根． 方法一：分离参数 因为，所以方程 有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根． 令， 则． 令，则，即单调递增． 又，所以当时，单调递减，且； 当时，单调递增， 且． 又因为当时，；当时，；当时，， 所以实数k的取值范围是． 故选：C． 方法二：分离函数 令，则，所以． 令，则，解得， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值； 而且， 所以方程有一解． ①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意； ②当时，过原点O作的切线， 设切点，则， 所以． 又，得， 所以， 所以． 故选：C． 【类题演练】（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数有两个零点，转化为函数的图象有两个不同交点问题；由此设，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根， 即函数的图象有两个不同交点； 设，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，当时，， 作出的图象如图： 当直线与图象相切时，设切点为， 此时，则， 故此时， 结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点， 需满足， 故， 故选：D 例14．（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式化为恒成立，即的图象恒在的图象的上方，利用导数研究函数，依题意得出当直线与在点处相切时取得最大值得结果. 【详解】依题意，，不等式化为， 设，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得极大值，也即最大值，又时，， 由题知不等式恒成立，所以的图象恒在的图象 的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距， 其最大值为的横截距，再令，可得，且当直线与 在点处相切时，横截距取得最大值， 此时，切线方程为，所以取得最大值为. 故选：C.    本题关键点是将不等式化为恒成立，看作是的图象恒在的图象的上方，通过利用导数研究函数图像解决问题. 【类题演练】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与曲线切于点，根据题意由在直线上方，由求解. 【详解】解：设直线与曲线切于点， 则， 所以切线方程为， 所以，， 所以， 设，， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A. 例15（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】的定义域为， 由函数，可得， 令，可得，负值舍去， 又， 所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为． 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为. 故选：C． 【类题演练1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离． 【详解】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，由， 令，解得或（舍去）， ，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离， 为点到直线的距离. 故选：C. 【类题演练2】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（    ） A． B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】设函数和，转化为切点到直线的距离为平方，根据导数的几何意义，求得切点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，设函数，直线， 设直线与函数的切点为 可得，可得，解得，可得， 即切点坐标为，则切点到直线的距离为， 又因为表示点到直线的距离为平方， 所以的最小值为. 故选：C. 1、 单项选择题 1．（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A．y＝x＋3 B．y＝4x－3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－3 【答案】B 【分析】对在某点处的切线方程该点为切点，根据导数几何意义该点处的导数值为切线的斜率，求出切线斜率，再利用点斜式即可得出所求切线方程. 【详解】由，得， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故选：B. 2．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程. 【详解】因为，则， 当时，则，所以， 所以切点为，切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：D 3．（2024·四川·三模）已知函数 ，则曲线上一点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意可得，求出，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由题意可得，即，所以， 所以，， 则， 所以曲线上一点处的切线方程为，即. 故选：C. 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】设切点为，由题意可得，解方程即可得解. 【详解】设切点为， 由，得， 由题意可得， 所以， 又， 所以，解得或， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以实数的所有可能的值之和为. 故选：C. 5．（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，结合当时，，当时，，从而得到答案. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：C 6．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：C 7．点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切， 则两平行线间的距离即为的最小值． 设直线y＝x＋b与曲线的切点为， 则由切点还在直线y＝x＋b上可得， 由切线斜率等于切点的导数值可得， 联立解得m＝1，b＝－1， 由平行线间的距离公式可得的最小值为， 故选：A. 8．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 2、 多项选择题 9．（23-24高三下·广东·阶段练习）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可. 【详解】存在,,使成立,A正确． 不存在,,使成立,B错误． ,存在,使得成立,C正确． 存在,，使成立,D正确, 故选:ACD. 10．（2024·山东济南·三模）已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线斜率为 B．方程有无数个实数根 C．曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】根据导数的几何意义判断A；结合正弦函数的周期性，数形结合判断B；表示出曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率，构造函数，求导，利用导数判断单调性，求解最值判断C；利用导数与函数单调性的关系判断D. 【详解】对于A，，则， 故，A错误； 对于B，由于为周期函数，当时，， 故的图象大致如图示： 结合图象可知，当x增大到一定数值满足后， 大于的数将有无数个满足，B正确； 对于C，设为上任意一点，则， 由于，故， 由于时，，故曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率在时才取到正值， 则时，取正值时，，取负值时，显然成立； 设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，故， 由于取等号条件和取等号条件不一致， 故，C正确； 对于D，设，则， 故在上单调递减，则，则； 设， ， 故在上单调递减，D正确， 故选：BCD 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．若恒成立，则 B．若与相切，则 C．存在实数使得和有相同的最小值 D．存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列 【答案】ACD 【分析】对于A：原题意等价于在内恒成立，令，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B：对求得，结合导数的几何意义列式分析可得，代入检验即可；对于C：取，利用导数求最值，进而分析判断；对于D：结合选项C可知：的图象，设交点为，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为，进而可得结果. 【详解】对于选项A，若，则，且，可得， 可知原题意等价于在内恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 由题意可得，整理得， 显然不满足上式，故B错误； 对于选项C：例如，构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知的最小值为； 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知的最小值为， 可知和有相同的最小值1，故C正确； 对于选项D：结合选项C可知：的图象大致如下： 设交点为，易知， 由图象可知：当直线与曲线和曲线共有三个不同的交点时，直线必经过点，即. 因为，所以，即. 令，得，解得或， 由得. 所以当直线与曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为. 因为，即，所以成等差数列，故D正确； 故选：ACD. 3、 填空题 12．（2024·四川遂宁·三模）曲线在点处切线的斜率为3，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据导数几何意义，求出在处的导数即可得解. 【详解】的导数为， 可得曲线在点处切线的斜率为， 解得. 故答案为：1. 13．（2024·山东临沂·二模）若直线与曲线相切，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可. 【详解】函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以的取值范围为：. 故答案为：. 14．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【分析】设公共点为，由，可得，进而利用导数可得，求解即可. 【详解】函数的定义域为，可得，由， 设曲线与曲线的公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，所以，所以， 由，可得，联立可得， 解得，所以，所以公共点坐标为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$