重难点07 平面向量中的最值、范围问题（5大题型12考点）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

掌握平面向量的基本概念和基本运算，能够求解与平面向量有关的最值、范围问题. 平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．一般难度较大． 1、 必备知识 1.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 2．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 5．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 6．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 二、必备方法 （1）定义法 （2）函数法 （3）坐标法 （4）基向量法 （5）几何法 （6）不等式法 平面向量数量积的最值 解题步骤：（1）根据题设条件引入恰当的变量，如长度、角度等；（2）根据数量积的运算定义式表示出数量积；（3）结合不等式、二次函数或三角函数的知识求最值。 例1（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 这类问题的解题思路是：第1步：选择基向量：选定条件中两个已知长度或夹角的不共线向量； 第2步：线性表示：根据平面向量的线性运算，将要求数量积的两个向量用基向量表示 第3步：转化：根据数量积的运算性质进行运算，然后运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 例2（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【类题演练1】（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【类题演练2】（23-2福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【类题演练3】（2024·陕西渭南·二模）已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 这类问题的解题策略为：（1）根据图形的特殊性建立适当的直角坐标系：如等腰三角形、直角梯形等；（2）求出关键点的坐标并引入变量设出动点坐标；（3）将平面向量的运算坐标化；（4）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想求解． 例3 （2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·北京昌平·二模）已知正方形的边长为1，点满足．当时， ；当 时，取得最大值． 几何法的解题策略是：（1）结合条件进行向量关系推导；（2）利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；（3）结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 例4（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·黑龙江·三模）已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 求向量模的最值（范围） 将平面向量的模用一个变量表示，再结合函数的知识求最值. 例5 （2024·湖北黄冈·二模）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．3 C． D．10 【类题演练】（2024·湖北·二模）已知非零向量，的夹角为，，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 解题策略：根据平面向量模的几何意义，将模的最值转化为距离问题，然后分析动点的极端位置，进而得到答案. 例6（2024·全国·模拟预测）已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·广西来宾·模拟预测）设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 将向量模的问题转化为两点距离、点线距离，再转化为三点共线问题、直线与圆的位置关系求解。 例7（2024·全国·模拟预测）已知平面上点，，满足，且，点满足，动点满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．1或 【类题演练】（2024·湖北·模拟预测）向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 结合平面向量的线性运算以及不等式可求最值. 例8．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【类题演练】（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 夹角的最值（范围问题） 将向量夹角的余弦值用变量表示，结合不等式或函数的知识求出余弦值的范围，进而求出向量夹角的范围或最值. 例9 （23-24·重庆·期中）已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·全国·模拟预测）已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 结合动点在运动过程中满足的条件判断出动点所在轨迹，然后判断出夹角取最值的位置，进而求得答案. 例10 （2024·福建·模拟预测）已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·安徽安庆·二模）已知点，，O是坐标原点，点B满足，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 参数的最值范围问题 根据参数满足的关系，结合基本不等式、函数、导数的知识求解。 例11 （2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【类题演练2】（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【类题演练3】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 恒成立问题 例12 （2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【类题演练】（23-24高一下·重庆·期中）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 1、 单项选择题 1．（2023·四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C．2 D． 2．（2024·江西·模拟预测）已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．（2024·全国·模拟预测）已知为平面直角坐标系的原点，向量，设是直线上的动点，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 7．（2024·河北石家庄·二模）在平行四边形中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南·二模）设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题 9．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则（    ） A． B． C．当时，最小 D．的最小值为 10．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 11．（2024·江西南昌·二模）已知，为上一点，且满足.  动点满足，为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则为线段BC的中点 B．当时，的面积为 C．点到的距离之和的最大值为5 D．的正切值的最大值为 3、 填空题 12．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 . 13．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 . 14．（2024·天津·一模）在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为 ；点是线段上一点，且，若，则的最大值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 掌握平面向量的基本概念和基本运算，能够求解与平面向量有关的最值、范围问题. 平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．一般难度较大． 1、 必备知识 1.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 2．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 5．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 6．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 二、必备方法 （1）定义法 （2）函数法 （3）坐标法 （4）基向量法 （5）几何法 （6）不等式法 平面向量数量积的最值 解题步骤：（1）根据题设条件引入恰当的变量，如长度、角度等；（2）根据数量积的运算定义式表示出数量积；（3）结合不等式、二次函数或三角函数的知识求最值。 例1（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 【类题演练1】（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设，则，，即可求解. 【详解】 如图，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B． 这类问题的解题思路是：第1步：选择基向量：选定条件中两个已知长度或夹角的不共线向量； 第2步：线性表示：根据平面向量的线性运算，将要求数量积的两个向量用基向量表示 第3步：转化：根据数量积的运算性质进行运算，然后运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 例2（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值 【类题演练1】（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先判断外接圆圆心是的中点，将化简为，再将分解整理得，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得的最大值. 【详解】 如图，设的外心为，则点是的中点， 由， 因，故,而， 故当且仅当与同向时取等号. 故选：A. 【类题演练2】（23-2福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将转化成，再结合平方差公式和已知条件即可求解. 【详解】由题， 所以由点P在斜边BC的中线AD上得， 故 ， 故选：A. 【类题演练3】（2024·陕西渭南·二模）已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由题意点为的中点， 设， 则，， 故 ， 当时，取得最小值.    故选：A. 这类问题的解题策略为：（1）根据图形的特殊性建立适当的直角坐标系：如等腰三角形、直角梯形等；（2）求出关键点的坐标并引入变量设出动点坐标；（3）将平面向量的运算坐标化；（4）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想求解． 例3 （2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可. 【详解】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C 【类题演练1】（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ，其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A    【类题演练2】（2024·北京昌平·二模）已知正方形的边长为1，点满足．当时， ；当 时，取得最大值． 【答案】 /0.5 【分析】第一空建立如图所示坐标系，用坐标分分别表示出，再计算数量积即可；第二空建立如图所示坐标系，用坐标表示出，，结合二次函数的性质计算数量积的最大值即可. 【详解】根据题意，建立以为原点的平面直角坐标系，如图    则 因为正方形的边长为1， 当时，，所以， 所以， 所以； 如图，    因为，所以， 所以，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：；. 几何法的解题策略是：（1）结合条件进行向量关系推导；（2）利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；（3）结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 例4（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详解】    如图，取线段的中点，连接，则， 由， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 【类题演练】（2024·黑龙江·三模）已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，得到，即可求出结果. 【详解】由题知 ， 而，所以当时，有最小值为， 故选：C. 求向量模的最值（范围） 将平面向量的模用一个变量表示，再结合函数的知识求最值. 例5 （2024·湖北黄冈·二模）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．3 C． D．10 【答案】C 【分析】根据条件得到，利用二次函数的性质，即可求出结果. 【详解】根据条件得， 得到，所以，即的最大值为， 故选：C. 【类题演练】（2024·湖北·二模）已知非零向量，的夹角为，，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】求出向量乘积，结合二次函数求最值即可. 【详解】因为，的夹角为，，所以， . 故的最小值为1. 故选：C 解题策略：根据平面向量模的几何意义，将模的最值转化为距离问题，然后分析动点的极端位置，进而得到答案. 例6（2024·全国·模拟预测）已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为弦的中点，则，后由图形结合C点在圆内部可得答案. 【详解】设为弦的中点，则．因为两点不重合，则直线AB与圆O相交，所以点在圆内. 考虑点D为圆上或圆内一点，如图当且仅当D，O，M三点共线时，最长为，因C在圆内，则； 考虑点E为圆上或圆内一点，如图当且仅当O，E，M三点共线时，最短为，因C在圆内，则. 综上，当点在圆内时，，则. 故选：D．    【类题演练】（2024·广西来宾·模拟预测）设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由、、分别为、、方向上的单位向量，分别考虑三个向量同向和两两夹角为的情况即可得解. 【详解】、、分别为、、方向上的单位向量， 则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，，当时，如图所示： 以OA、OB为邻边作平行四边形OAEB，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，，即， 综上所述，． 故选：D． 将向量模的问题转化为两点距离、点线距离，再转化为三点共线问题、直线与圆的位置关系求解。 例7（2024·全国·模拟预测）已知平面上点，，满足，且，点满足，动点满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．1或 【答案】A 【分析】由题设三个条件依次得到，推得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，再得点，，三点共线，通过建系将问题转化成由点向圆做切线，求原点到该切线的最短距离问题. 【详解】由题意，得 ，所以． 因为，所以． 又，即，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 如图，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系． 易知，，则点的轨迹方程为． 由，得点，，三点共线． 过点作圆的切线，设其方程为，即． 由点到该切线的距离为，可得，解得或． 由图知，当时，最小，切线的方程为， 此时的最小值即为点到切线的距离，即． 故选：A． 【类题演练】（2024·湖北·模拟预测）向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，利用距离和的最值求解的最小值. 【详解】作，，， 因为不等式恒成立，则，即， 从而有，故. 设，， 则. 作点E关于直线OB的对称点F，， 则，当且仅当三点共线时取得等号. 故选：C. 结合平面向量的线性运算以及不等式可求最值. 例8．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的性质求解即可. 【详解】因为，，为单位向量，所以. 当且仅当同向时，取到等号. 故选：C 【类题演练】（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】为单位向量，有，得， 由，得， 有，所以， ， ，，有， 则， 当且仅当与方向相反时“”成立， 如取时，可使“”成立. 所以. 夹角的最值（范围问题） 将向量夹角的余弦值用变量表示，结合不等式或函数的知识求出余弦值的范围，进而求出向量夹角的范围或最值. 例9 （23-24·重庆·期中）已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用表示，然后利用投影向量的公式求出，计算化简得到，最后根据及均值不等式求最值. 【详解】在平行四边形中，，，， 又分别为中点，则， 因为在方向上投影向量为，所以， 因为在方向上投影向量为，所以 所以， 解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 【类题演练】（2024·全国·模拟预测）已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 【答案】 【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值. 【分析】因为为在方向上的投影向量，且与的夹角为锐角， 所以，故． 因为，且， 所以．设， 则， 故．又． 设与的夹角为，所以． 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，即， 故．又，所以． 故与的夹角的最大值是． 故答案为：. 结合动点在运动过程中满足的条件判断出动点所在轨迹，然后判断出夹角取最值的位置，进而求得答案. 例10 （2024·福建·模拟预测）已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意可得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，再由直线与圆相切可得的最大值为. 【详解】根据，可得， 即可得； 即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示： 由图可知，当与圆相切时，取到最大， 又，可知此时. 故选：B 【类题演练】（2024·安徽安庆·二模）已知点，，O是坐标原点，点B满足，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得点的轨迹是以为圆心，半径的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解. 【详解】设点，可得，因为，可得， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 如图所示，设过点与圆相切的直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 设切线的倾斜角为，则，可得， 即与夹角的最大值为. 故选：A.    参数的最值范围问题 根据参数满足的关系，结合基本不等式、函数、导数的知识求解。 例11 （2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在线段上得到，结合已知条件得到，和的关系式，最后转化为二次函数求最小值. 【详解】在线段上，，， 为线段的一个三等分点，，， ， 由平面向量基本定理得，， ， 当时，取得最小值. 故选：C. 【类题演练1】（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【类题演练2】（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵， ，其中，且， ∴， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为. 故选：A. 【类题演练3】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设出点的坐标，用的坐标表示点M的坐标，再利用点在椭圆上结合斜率关系求出，然后求出的最大值作答. 【详解】设，则， 由，得， 所以 ， 由，得，即，又， 因此， 而， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 恒成立问题 例12 （2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得向量、是夹角等于的单位向量，因此给出点、的坐标，设，将表示为关于的三角函数表达式，利用辅助角与正弦函数的图象与性质，算出的最大值，进而求出实数的取值范围． 【详解】由，则， 以为原点建立坐标系，可设、， 由点在圆上运动，设， 则，， 可得， 由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数， 此时存在最大值， 因为， 当时，的最大值为， 即有最大值， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：． 【类题演练】（23-24高一下·重庆·期中）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，构造平行四边形，由于恒成立，即恒成立，结合正弦定理将恒成立问题转化为最值问题，即可求解. 【详解】设，如图作平行四边形，    则，令， 由于恒成立，即恒成立， 在中，， ， ， 由于恒成立，故， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 1、 单项选择题 1．（2023·四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则及向量的模计算即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：. 2．（2024·江西·模拟预测）已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行，得到，结合基本不等式即可求. 【详解】由题意，因为，所以，又， 所以，当且仅当即时等号成立． 故选：A 3．（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】由题意可得为直径，且，当共线且方向相同时模长最长，即可得出答案. 【详解】因为，所以为直径且过原点，的中点为原点， 所以由平行四边形法则可得：， 所以， 所以当共线且方向相同时模长最长，即当运动到时， 取得最大值为. 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）已知为平面直角坐标系的原点，向量，设是直线上的动点，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设在上求得，计算当取得最小值时，求得即可. 【详解】是直线上的动点，则可设， 则 ， 所以当时，取得最小值，此时， 故选：A 5．（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 7．（2024·河北石家庄·二模）在平行四边形中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的运算律及数量积定义计算即可. 【详解】设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，与同方向的单位向量， 由题意，所以， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即. 故选：A 8．（2024·湖南·二模）设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平面向量的坐标表示得出C点轨迹，结合直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知，所以， 即C点轨迹为为圆心，为半径的圆， 易知到直线的距离为， 即该圆与直线相切， 若的值与无关， 则该圆在两平行直线之间， 所以到直线的距离为，    由图可知. 故选：B 2、 多项选择题 9．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则（    ） A． B． C．当时，最小 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据条件得到，再数形结合，得到，从而判断出选项A正确；再利用选项A的结果，得到，利用夹角公式，即可求得，从而得出选项B正确；由得到，即可判断出选项C和D的正误，从而得出结果. 【详解】因为为单位向量，且和相互垂直，所以，得到， 对于选项A，如图，设，，则，， 又对任意不等式恒成立，所以，故选项A正确， 对于选项B，由选项A知，，得到，所以， 又，所以，所以选项B正确， 又因为，，，， 所以， 当时，，即，故选项C错误，选项D正确， 故选：ABD. 10．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可. 【详解】对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上的点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 故选：BCD 11．（2024·江西南昌·二模）已知，为上一点，且满足.  动点满足，为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则为线段BC的中点 B．当时，的面积为 C．点到的距离之和的最大值为5 D．的正切值的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，利用等腰三角形的两底角相等，以及直角三角形的性质即可判断；对B，根据余弦定理可得，进而可得，结合三角形面积公式求解即可；对C，先证明，然后根据两点之间线段最短可证明，再给出取等的例子即可；对D，用余弦定理证明，再得到，最后给出一个取等的例子即可. 【详解】对A，若，则，从而. 再由知. 故，这得到. 所以，从而为线段BC的中点，故A正确； 对B，当时，，则，又， 故，故，故B错误； 对C，由于，故，从而，故. 而，故. 这表明，即，化简即为. 所以，故. 由于，故，从而. 再由，知. 当点在同一条直线上顺次排列，且，，，时，验证知点满足全部条件，且此时有. 所以点到的距离之和的最大值为，故C正确； 对D，一方面由于，，故，从而. 所以，即. 所以 ， 所以. 由，及，可知.    另一方面，如上图所示，考虑一个边长为的正三角形，分别设的中点为，再分别设的中点为. 则，，，，，. 所以满足全部条件，且此时. 综上，的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 3、 填空题 12．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】取中点，则，问题转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式求的最小值即可. 【详解】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，. ， 由点到直线距离公式，得：，所以， 所以. 故答案为：6 13．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可. 【详解】因向量与共线，令， 则，而向量，为单位向量，且， 于是得            ， 当且仅当时取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 14．（2024·天津·一模）在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为 ；点是线段上一点，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算，可将可用，表示出来；再由，可得，从而得，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值． 【详解】由，可得， 则 ； 由，可得， 则， 由，可得， 即， 整理得， 故， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为． 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 $$