重难点提优01 三角形全等5大模型专练-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题提优1 三角形全等模型 题型01 倍长中线 1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； 【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示 ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝6， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为2＜AD＜8． 【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 2．如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝7，AE＝ED＝8，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝9，EM＝10，则五边形ABCDE的面积为＝　 　． 【分析】延长BM到F，使FM＝BM，连接DF、EF、BE，易证△BCM≌△FDM，△ABE≌△DFE，根据全等三角形的对应边相等，可得△BEF是等腰三角形，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：如图，延长BM到F，使FM＝BM，连接DF、EF、BE， 在△BMC和△FMD中， ， ∴△BMC≌△FMD中（SAS）， ∴BM＝FM，BC＝FD＝AB，∠C＝∠FDM， ∵∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠AED＝（5﹣2）×180°＝540°， ∵∠ABC+∠AED＝180°， ∴∠A+∠C+∠CDE＝360°， ∵∠CDE+∠CDF+∠EDF＝360°， ∴∠A＝∠EDF， 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（SAS）， ∴BE＝EF， ∵BM＝FM， ∴EM⊥BF， ∴S五边形ABCDE ＝S△ABE+S△BCM+S四边形BMDE ＝S△BEF BF•EM 9×2×10 ＝90． 故答案为：90． 【点评】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键． 3．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 　 　； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 【分析】（1）①根据三角形的中线得出BD＝CD，再由对顶角相等得出∠ADB＝∠CDE，即可得出结论； ②先由△ABD≌△ECD，得出CE＝5，再由ED＝AD，得出AE＝2AD＝2x，最后用三角形的三边关系，即可求出答案； （2）先根据SAS判断出△DEF≌△DEH，得出EH＝EF，再根据SAS判断出△BDH≌△CDF，得出CF＝BH，即可求出答案． 【解答】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADB和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）； ②解：由①知，△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB， ∵AB＝5， ∴CE＝5， ∵ED＝AD，AD＝x， ∴AE＝2AD＝2x， 在△ACE中，AC＝3， 根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3， ∴1＜x＜4， 故答案为：1＜x＜4； （2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH， ∵DH＝DF，DE⊥DF， 即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE， ∴△DEF≌△DEH（SAS）， ∴EH＝EF， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF， ∴△BDH≌△CDF（SAS）， ∴CF＝BH， ∵BE+BH＞EH， ∴BE+CF＞EF． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键． 4．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　　． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　　． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可； （3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可． 【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选C． （3）证明： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF． 【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 题型02 一线三等角 1．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解． 【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝4， ∵∠EAB+∠ABE＝∠DBF+∠ABE＝90°， ∴∠EAB＝∠DBF， ∵∠AEB＝∠BFD＝90°，AB＝DB， ∴△AEB≌△BFD（AAS）， ∴DF＝BE＝4， ∴S△DCBCB•DF， ∴S△DCB8×4＝16， 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形． 2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，对角线BD⊥CD，若BD＝14，则△ABD的面积为 　　． 【分析】过点A作AE⊥BD，垂足为E，根据垂直定义可得∠AEB＝∠CDB＝90°，从而可得∠BAE+∠ABE＝90°，再利用同角的余角相等可得∠BAE＝∠DBC，然后利用AAS证明△ABE≌△BCD，从而利用全等三角形的性质可得AE＝BD＝14，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：过点A作AE⊥BD，垂足为E， ∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEB＝∠CDB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠BAE＝∠DBC， ∵AB＝BC， ∴△ABE≌△BCD（AAS）， ∴AE＝BD＝14， ∴△ABD的面积BD•AE14×14＝98， 故答案为：98． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长． 【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案； ②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案． 【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴AD+BE＝DE； （2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3． 【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 4．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　　，BD，CE与DE的数量关系为 　　． （2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，即可解决问题； （2）同（1）得△ABD≌△CAE（AAS），得BD＝AE，CE＝AD，即可得出结论； （3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵AE+AD＝DE， ∴BD+CE＝DE， 故答案为：BD＝AE，BD+CE＝DE； （2）成立，BD＝AE，BD+CE＝DE，理由如下： 同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝AD， ∵AE+AD＝DE， ∴BD+CE＝DE； （3）存在，理由如下： 当△DAB≌△ECA时，AD＝CE，BD＝AE＝7cm， ∵AD+AE＝DE＝10cm， ∴CE＝AD＝DE﹣AE＝3cm， ∴t， ∴x＝32； 当△DAB≌△EAC时， ∴AD＝AEDE＝5cm，DB＝EC＝7cm， ∴t，x＝7， 综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t，x＝2或t，x． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型03 手拉手模型 1．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△EAC，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△EAC中，， ∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAC． 2．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． （1）求证：EC＝BF； （2）求证：EC⊥BF． 【分析】（1）利用SAS说明△ABF≌△AEC得结论； （2）先利用全等三角形的性质说明∠AEC＝∠ABF，再利用三角形内角和定理说明∠BMD＝90°得结论． 【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠CAF＝90°． ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF． 在△ABF和△AEC中， ， ∴△ABF≌△AEC（SAS）． ∴EC＝BF． （2）由（1）知：△ABF≌△AEC， ∴∠AEC＝∠ABF． ∵AE⊥AB， ∴∠BAE＝90°． ∴∠AEC+∠ADE＝90°． ∵∠ADE＝∠BDM， ∴∠ABF+∠BDM＝90°． 在△BDM中， ∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°． ∴EC⊥BF． 【点评】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 3．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：∠AEB的度数为 　 　；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　． （3）拓展探究 如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD＝CE． （2）首先根据△ACB和△DCE均为等边三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为60°即可． （3）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可；最后根据DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，可得CM＝DM＝EM，所以DE＝DM+EM＝2CM，据此判断出AE＝BE+2CM即可． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝40°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE． （2）解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BEC＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°， 综上，可得 ∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是：BE＝AD． 故答案为：60°、BE＝AD． （3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝180﹣45＝135°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135﹣45＝90°； ∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE， ∴CM＝DM＝EM， ∴DE＝DM+EM＝2CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 题型04 半角模型 1．已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC，CD上的动点． （1）如图①，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求证：BM＝CN， （2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为4cm，求四边形MONC的面积； （3）如图②，若∠MAN＝45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半． 【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BOM≌△CON，由全等三角形的性质就可以得出ON＝OM； （2）由全等可以得出S△BOM＝S△CNF，就可以得出S四边形MONC＝S△BOC，S△BOC的面积就可以得出结论； （3）绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE，得出△ABE≌△ADN，由全等三角形的性质可以得出△ANM≌△AEM，进而有MN＝ME＝MB+BE，分别表示出C△MNC＝DN+MB+MC+CN＝DC+BC＝2BC．C正方形ABCD＝AB+BC+CD+AD＝4BC．从而可以得出结论． 【解答】解：（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O ∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，AB＝BC＝DC＝AD． ∵∠EOF＝90° ∵∠BOM+∠MOC＝90°， ∠NOC+∠MOC＝90° ∴∠BOM＝∠CON． 在△OBM和△OCN中， ， △OBM≌△OCN（ASA）． ∴OM＝ON； （2）∵△OBM≌△OCN， ∴S△OBM＝S△OCN． ∴S△OBM+S△MOC＝S△OCN+S△MOC， 即S△OBC＝S四边形MONC． ∵S△OBC＝4×44， ∴S四边形MONC＝4； （3）绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE， ∴△ABE≌△ADN， ∴∠4＝∠1．AE＝AN，BE＝DN． ∵∠2＝45°， ∴∠1+∠3＝45°． ∵∠4+∠3＝∠MAE＝45°． ∴∠MAE＝∠2． 在△ANM和△AEM中， ， ∴△ANM≌△AEM（SAS）， ∴MN＝ME＝MB+BE， ∴MN＝DN+MB． ∵C△MNC＝MN+MC+CN， ∴C△MNC＝DN+MB+MC+CN＝DC+BC＝2BC． ∵C正方形ABCD＝AB+BC+CD+AD＝4BC． ∴△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半． 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，三角形的周长和正方形的周长的运用，全等三角形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，解答时证明三角形全等得出OM＝ON是关键． 2．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　　； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； 【分析】（1）由SAS证明△ABM≌△ADN，即可得出AH＝AB， （2）延长CB至E，使BE＝DN，由SAS证明△AEB≌△AND，得出AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，证出∴∠EAM＝∠NAM＝45°，再由SAS证明△AEM≌△ANM，得到AH＝AB即可； （3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设MH＝x，则MC＝5﹣x，NC＝2，MN＝x+3，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解得x即可． 【解答】解：（1）AH＝AB；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD， 在△ABM和△ADN中，， ∴△ABM≌△ADN（SAS）， ∴AM＝AN，∠BAM＝∠DAN， ∴△AMN是等腰三角形， 又∵AH⊥MN， ∴∠AHM＝90°，∠HAM＝∠HAN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠HAM45°＝22.5°，∠BAM+∠DAN＝45°， ∴∠BAM＝22.5°＝∠HAM， 在△ABM和△AHM中，， ∴△ABM≌△AHM（AAS）， ∴AH＝AB； 故答案为：AH＝AB； （2）数量关系成立，AH＝AB．理由如下： 如图②，延长CB至E，使BE＝DN． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°， 在Rt△AEB和Rt△AND中，， ∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠DAN+∠BAM＝45°， ∴∠EAB+∠BAM＝45°， ∴∠EAN＝45°， ∴∠EAM＝∠NAM＝45°， 在△AEM和△ANM中，， ∴△AEM≌△ANM（SAS）． ∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN， ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB＝AH． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键． 题型05 对角互补模型 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【分析】利用ASA证明△AEP≌△CFP，得PE＝PF，则△EPF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 故①正确； ∵点P为BC的中点，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴AP＝CP，∠APC＝90°，∠BAP＝∠C＝45°， ∵∠EPF＝∠APC， ∴∠APE＝∠FPC， 在△AEP和△CFP中， ， ∴△AEP≌△CFP（ASA）， ∴PE＝PF， ∴△EPF是等腰直角三角形， ∴四边形AEPF的面积为S△AEP+S△AFP＝S△CPF+S△APF＝S△APCS△ABC， 故④正确，⑤不正确； ∵∠BAC＝∠EPF＝90°， ∴∠AFP和∠AEP互补， 故③正确； ∵PE不是定长，故②不正确． ∴正确的有：①③④， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEP≌△CFP是解题的关键． 2．【问题背景】 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 ． 【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题； （2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题； （3）延长DC，截取CG＝AE，连接BG，根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB，故可得出BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，再由∠EBF＝45°，∠ABC＝90°可得出∠ABE+∠CBF＝45°，故∠CBF+∠CBG＝45°，由SAS定理可得△EBF≌△GBF，故EF＝GF，故△DEF的周长＝EF+ED+CF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD，由此可得出结论． 【解答】（1）解：如图1， 在△ABE和△ADG中， ∵， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ∵， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+DF． （2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立； 理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ∵， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ∵， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG， 在△AEB与△CGB中， ∵， ∴△AEB≌△CGB（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG． ∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝45°， ∴∠CBF+∠CBG＝45°． 在△EBF与△GBF中， ∵， ∴△EBF≌△GBF（SAS）， ∴EF＝GF， ∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 3．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD． 求证：∠EAF∠BAD （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论． 【分析】（1）延长CB至M，使得BM＝DF，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【解答】证明：（1）延长CB至M，使得BM＝DF，连接AM， ∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD， 在△ABM与△ADF中 ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠DAF＝∠BAM， ∵EF＝BE+DF＝BE+BM＝ME， 在△AME与△AFE中 ， ∴△AME≌△AFE（SSS）， ∴∠MAE＝∠EAF， ∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF， 即∠EAF∠BAD； （2）线段EF、BE、FD之间的数量关系是EF+DF＝BE， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABM＝∠ADF， 在△ABM与△ADF中 ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∠EAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AEM与△AEF中 ， ∴△AEM≌△AEF（SAS）， ∴EM＝EF， 即BE﹣BM＝EF， 即BE﹣DF＝EF． 【点评】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 提优练习 1．如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．0.7cm2 【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBCS△ABC，代入求出即可． 【解答】解： ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBCS△ABC1cm2＝0.5cm2， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝5，BC＝3，即可推出BD的长度． 【解答】解：延长BD与AC交于点E， ∵∠A＝∠ABD， ∴BE＝AE， ∵BD⊥CD， ∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD， ∴∠EBC＝∠BEC， ∴△BEC为等腰三角形， ∴BC＝CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD＝BE， ∵AC＝5，BC＝3， ∴CE＝3， ∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2， ∴BE＝2， ∴BD＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 3．如图，已知△ABC中，BD＝AD，F是高AD和BE的交点，FD＝4，AF＝2，则线段BC的长度为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据高利用角的关系求出∠DBF＝∠DAC，根据AD＝BD可以得到∠ABC＝∠BAD＝45°，然后根据等角对等边的性质得到，然后利用角边角证明△ACD与△BFD全等，根据全等三角形对应边相等求出CD的长度，再求出AD的长度，然后即可得解． 【解答】解：∵AD、BE是三角形的高， ∴∠C+∠DBF＝90°，∠C+∠CAD＝90°， ∴∠DBF＝∠DAC， ∵AD＝BD， ∴∠ABC＝45°＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠BAD， 在△ACD与△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴CD＝FD， ∵FD＝4，AF＝2， ∴CD＝4， BD＝AD＝FD+AF＝4+2＝6， ∴BC＝6+4＝10． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用好同角的余角相等是关键，从而得到三角形全等的条件． 4．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，则中线AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜7 B．1＜AD＜8 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜5 【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系求出即可． 【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC与△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴EB＝AC， 根据三角形的三边关系得：BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴2＜AE＜12， ∵AE＝2AD， ∴1＜AD＜6， 故选：C． 【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出2＜2AD＜12是解此题的关键． 5．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是（　　） A．a B．2a C．3a D．不能确定 【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长． 【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴∠BCD＝∠DBC＝30°， ∵△ABC是边长为a的等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°， ∴∠DBA＝∠DCA＝90°， 延长AB至F，使BF＝CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CND中，BF＝CN，∠DBF＝∠DCN＝90°，DB＝DC， ∴Rt△BDF≌Rt△CDN（SAS）， ∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN， ∵∠MDN＝60°， ∴∠BDM+∠CDN＝60°， ∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边， ∴△DMN≌△DMF（SAS）， ∴MN＝MF， ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝2a， 故选：B． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质，利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝4，BE＝3，则DE＝　1　． 【分析】求出∠CEB＝∠ADC＝90°，∠CBE＝∠ACD，根据AAS推出△BCE≌△CAD，根据全等三角形的性质得出CE＝AD＝4，CD＝BE＝3，即可求出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD， 在△BCE和△CAD中 ∴△BCE≌△CAD， ∴CE＝AD＝4，CD＝BE＝3， ∴DE＝CE﹣CD＝4﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△BCE≌△CAD，注意：全等三角形的对应边相等． 7．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为 　9　． 【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，根据垂直定义可得∠AEB＝∠DFC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DBF+∠BDF＝90°，再利用平角定义可得∠ABE+∠DBF＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠ABE＝∠BDF，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BEBC＝3，再证明一线三等角全等模型△AEB≌△BFD，从而可得BE＝DF＝3，最后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴∠DBF+∠BDF＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABE+∠DBF＝90°， ∴∠ABE＝∠BDF， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BEBC＝3， ∵AB＝BD， ∴△AEB≌△BFD（AAS）， ∴BE＝DF＝3， ∴△BCD的面积BC•DF6×3＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是 　10　． 【分析】过点E作EF⊥AD，垂足为F，根据垂直定义可得∠EFD＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠FED+∠EDF＝90°，再利用平角定义可得∠BDC+∠EDF＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BDC＝∠FED，从而利用AAS证明△BDC≌△DEF，进而可得BC＝DF＝5，最后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥AD，垂足为F， ∴∠EFD＝90°， ∴∠FED+∠EDF＝90°， ∵∠BDE＝90°， ∴∠BDC+∠EDF＝180°﹣∠BDE＝90°， ∴∠BDC＝∠FED， ∵∠C＝∠EFD＝90°，BD＝ED， ∴△BDC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝DF＝5， ∵EA＝ED，EF⊥AD， ∴AD＝2DF＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，AC﹣AB＝5，若S△BDC的最大值为30，则BC长为　 　24　． 【分析】延长AB，CD交于点E，根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD，再根据垂直定义可得∠ADC＝∠ADE＝90°，从而可得△ADE≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可得DE＝DC，AE＝AC，从而可得S△BEC＝2S△BDC，BE＝5，最后根据S△BDC的最大值为30，可求出S△BEC的最大值为60，从而可得当BE⊥BC时，△BEC的面积有最大值，进行计算即可解答． 【解答】解：延长AB，CD交于点E， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， ∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴DE＝DC，AE＝AC， ∴S△BEC＝2S△BDC， ∵S△BDC的最大值为30， ∴S△BEC的最大值为60， 当BE⊥BC时，△BEC的面积有最大值， ∵AC﹣AB＝5， ∴AE﹣AB＝5， ∴BE＝5， ∴BC•BE＝60， ∴BC＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°．P是BC边上一点，CP＝CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB＝5，则点Q到边AB的距离为 　2.5　． 【分析】过点Q作QD⊥AB，垂足为D，根据垂直定义可得∠ADQ＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC＝30°，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得CP＝ACAB＝2.5，然后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ACP≌△ADQ，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【解答】解：过点Q作QD⊥AB，垂足为D， ∴∠ADQ＝90°， ∵∠C＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°， ∵AB＝5， ∴ACAB＝2.5， ∵AC＝CP， ∴AC＝CP＝2.5， ∵△AQP是等边三角形， ∴AP＝AQ，∠QAP＝60°， ∴∠QAP﹣∠PAB＝∠BAC﹣∠PAB， ∴∠CAP＝∠DAQ， ∵∠C＝∠ADQ＝90°， ∴△ACP≌△ADQ（AAS）， ∴QD＝CP＝2.5， ∴点Q到边AB的距离为2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝　3　． 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角“证得∠D＝∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝2，再由AB＝5，可得AF，即DM的值． 【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示： ∵旋转， ∴AD＝AC，BE＝BC， ∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F， ∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°， ∴∠D+∠DAM＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAF+∠DAM＝90°， ∴∠D＝∠CAF， ∴在△DAM和△ACF中， ， ∴△DAM≌△ACF（AAS）， ∴DM＝AF． 同理可证，△BFC≌△ENB（AAS）， ∴BF＝EN＝2， ∵AB＝5， ∴AF＝3， ∴DM＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CAF； （2）若CF＝5，BE＝2，求EF的长． 【分析】（1）根据AAS证明△BAE≌△ACF． （2）根据全等三角形的对应边相等即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠FAC＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE+∠EBA＝90°， ∴∠EBA＝∠FAC， 在△ACF和△BAE中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△CAF，CF＝5，BE＝2， ∴AE＝CF＝5，AF＝BE＝2， ∴EF＝AE﹣AF＝3． 【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质，本题的关键是根据已知的条件证明△ACF≌△BAE． 13．（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． 填空：①∠AEB的度数为　60°　； ②线段AD，BE之间的数量关系为　AD＝BE　． （2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）易证∠ACD＝∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD＝BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小； （2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，进而可以求得∠AEB＝90°，即可求得DM＝ME＝CM，即可解题． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝60°； （2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM， 理由：如图2， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC． ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∵点A、D、E在同一直线上， ∴∠ADC＝135°． ∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°． ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME． ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键． 14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； 【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案； ②由（1）得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案． 【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中 ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴AD+BE＝DE． （2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中 ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE． 【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 15．已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明． 【分析】（1）延长AD、EF交于点G，根据角平分线可得∠BAD＝∠CAD，再由平行线性质可得∠G＝∠BAD，等量代换可得∠G＝∠CAD，利用等角对等边可得：FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论； （2）如图2，延长AD、EF交于点G，运用角平分线和平行线证得FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论； （3）如图3，延长AD交EF于点G，运用角平分线和平行线证得FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论． 【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠G＝∠BAD， ∴∠G＝∠CAD， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（AAS）， ∴AB＝GE， ∵GE＝FG+EF＝AF+EF， ∴AF+EF＝AB； （2）结论：AF﹣EF＝AB． 证明：如图②，延长AD、EF交于点G， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠G＝∠BAD， ∴∠G＝∠CAD， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（AAS）， ∴AB＝GE， ∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF， ∴AF﹣EF＝AB； （3）结论：EF﹣AF＝AB． 证明：如图③，延长AD交EF于点G， ∵AD平分∠PAC， ∴∠PAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠AGF＝∠PAD， ∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（ASA）， ∴AB＝GE， ∵EF﹣FG＝GE， ∴EF﹣AF＝AB； 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明△ABD≌△GED是解题的关键，属于中考常考题型． 16．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　90　度． （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由． ②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，得∠B＝∠ACE，即可证明； （2）①与（1）同理证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，则∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°； ②同理证明△ADB≌△AEC，得∠ABD＝∠ACE，由∠ABD＝∠BAC+∠ACB，则∠BAC＝∠BCE． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， 故答案为：90； （2）①α+β＝180°，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°， ∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°， ∴α+β＝180°； ②α＝β，理由如下： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△ADB与△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE， ∴α＝β． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明△ADB≌△AEC是解题的关键． 17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D，E分别为AB，AC上的点，BE＝CD． （1）△ABD与△ACE全等吗？为什么？ （2）连接AF，DE，求证：AF垂直平分DE． 【分析】（1）根据AB＝AC，BE＝CD可得AE＝AD，利用SAS，进而证明△ABD≌△ACE； （2）由AE＝AD则A在DE的中垂线上，再证明△CDF≌△BEF可得EF＝DF，故D在DE的中垂线上，则AF垂直平分DE． 【解答】解：（1）△ABD与△ACE全等； 理由：∵AB＝AC，BE＝CD， ∴AB﹣BE＝AC﹣CD即AE＝AD， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）如图：连接DE，AF ， 由（1）∵AD＝AE， ∴A在DE的中垂线上， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△CDF与△BEF， ， ∴△CDF≌△BEF（AAS）， ∴EF＝DF， ∴F在DE的中垂线上， ∴AF垂直平分DE． 【点评】本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 18．如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF＝BE+DF　； 拓展延伸 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°（即∠AON＝30°）的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心的夹角∠EOF＝70°，请直接写出两舰艇之间的距离为　210　海里． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG（SAS），可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF（SAS），可得EF＝FG，即可得出结论； （2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG（SAS），可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF（SAS），可得EF＝FG，即可证明结论； （3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，与（2）同理可得出结论EF＝AE+BF，则可求出答案． 【解答】解：（1）EF＝BE+DF，如图1， 证明如下： 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为 EF＝BE+DF． （2）结论EF＝BE+DF仍然成立； 理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图2， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C， ∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°， ∴∠EOF∠AOB， 又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+BF成立， 即EF＝1.5×（60+80）＝210海里． 故答案为：210． 【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优1 三角形全等模型 题型01 倍长中线 1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 2．如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝7，AE＝ED＝8，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝9，EM＝10，则五边形ABCDE的面积为＝　 　． 3．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 　 　； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 4．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　　． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　　． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 题型02 一线三等角 1．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，对角线BD⊥CD，若BD＝14，则△ABD的面积为 　　． 3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长． 4．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　　，BD，CE与DE的数量关系为 　　． （2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 题型03 手拉手模型 1．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 2．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． （1）求证：EC＝BF； （2）求证：EC⊥BF． 3．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：∠AEB的度数为 　 　；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　． （3）拓展探究 如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 题型04 半角模型 1．已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC，CD上的动点． （1）如图①，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求证：BM＝CN， （2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为4cm，求四边形MONC的面积； （3）如图②，若∠MAN＝45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半． 2．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　　； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； 题型05 对角互补模型 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 2．【问题背景】 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 ． 【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长． 3．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD． 求证：∠EAF∠BAD （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论． 提优练习 1．如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．0.7cm2 2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．如图，已知△ABC中，BD＝AD，F是高AD和BE的交点，FD＝4，AF＝2，则线段BC的长度为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，则中线AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜7 B．1＜AD＜8 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜5 5．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是（　　） A．a B．2a C．3a D．不能确定 6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝4，BE＝3，则DE＝　 　． 7．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为 　 　． 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是 　 　． 9．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，AC﹣AB＝5，若S△BDC的最大值为30，则BC长为　 　 　． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°．P是BC边上一点，CP＝CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB＝5，则点Q到边AB的距离为 　 　． 11．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝　 　． 12．如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CAF； （2）若CF＝5，BE＝2，求EF的长． 13．（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． 填空：①∠AEB的度数为　 　； ②线段AD，BE之间的数量关系为　 　． （2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． 14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； 15．已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明． 16．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　度． （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由． ②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论． 17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D，E分别为AB，AC上的点，BE＝CD． （1）△ABD与△ACE全等吗？为什么？ （2）连接AF，DE，求证：AF垂直平分DE． 18．如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； 拓展延伸 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°（即∠AON＝30°）的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心的夹角∠EOF＝70°，请直接写出两舰艇之间的距离为　 　海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$