精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2024年05月高二数学月考试题 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知是实数集，，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A,B,由图可知阴影部分表示集合为，根据交集、补集运算即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为, ，， 故选：A 2. 已知四组不同数据的两变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确的是（ ） A. 数据组①对应的数据点都在同一直线上 B. 数据组②中的两变量线性相关性最强 C. 数据组③中的两变量线性相关性最强 D. 数据组④中的两变量线性相关性最弱 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性相关系数的性质逐个判断即可 【详解】对A，数据组①的相关系数，故数据组①对应的数据点无线性关系，故A错误； 对BC，数据组②的相关系数为4组中绝对值的最大值，故数据组②中的两变量线性相关性最强，故B正确，C错误； 对D，数据组①的相关系数为4组中绝对值最小，故数据组①中的两变量线性相关性最弱，故D错误 故选：B 3. 郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，用间接法分析，先分4步进行不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，从而可得答案 【详解】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析： 先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况， 再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况， 所以小李和小王不受限制的排法有种， 若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况： 在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有种， 所以小李和小不在一起的排法有种， 故选：B 4. 在等差数列中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质即可解出． 【详解】因为，解得：，所以． 故选：D． 5. 已知A（，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，，且∠AOC=，设（），则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由∠AOC=，从而设，则，利用向量相等的坐标表示可得． 【详解】根据已知条件得：. 设，则， ∵，∴，∴∴. 故选：D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再利用导数的定义可得，进而代入求解即可 【详解】因为，则，所以，故，故，解得 故选：B. 7. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得且，则，令，，，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】，，，即有且， 将代入得， 令，，， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值，即的最小值是. 故选：D. 8. 已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可 【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号. 故选：A. 二、多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】∵，∴， ∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则， ∴，故B正确； 因为，所以为递减数列， 故C错误； 数列的前n项和 ，故D错误. 故选：AB. 10. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. D. 的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，再根据与的公式可得，进而求得与的通项公式，再逐个判定即可 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，故，. 故是递减数列，A错误；，B正确；，，故C正确；，当时，，因为函数的对称轴为，开口向下，故当时，取得最小值；当时，，函数的对称轴为，开口向上，故当时，取得最小值，综上有的最小值为3，故D正确； 故选：BCD 11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 事件B与事件相互独立 D. ，，是两两互斥的事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用条件概率公式求出，可以判断A；利用贝叶斯公式求出，可以判断B；利用可以判断C；由题意直接分析出，，是两两互斥的事件，即可判断D. 【详解】由题意分析可知：，，是两两互斥的事件.故D正确； ，，. 所以.故A正确； 同理，可得， 所以.， 所以，故B正确； 因为,而， 所以, 所以事件B与事件不是相互独立事件，故C错误. 故选：ABD 12. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. D. 的极小值大于0 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可得得到关于对称，故可考虑设，分析的单调性，数形结合分析的正负区间，从而得到的单调性，进而得到的单调性与极值即可 【详解】因为， 故，即，故关于对称.故可设，即，为偶函数，则，画出与，考虑时的情况，易得两图象交点为与，当时，在上方，故，当时，在下，故.故当时，单调递增，当时，单调递减. 又，故为的图象往左平移个单位，故当时，单调递增，当时，单调递减.又关于对称，故当时，单调递增，当时，单调递减.故A正确，B错误； 又最大值，故C正确； 又极小值，故D正确 故选：ACD 三、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 给出下列四个结论： ①若角为第一象限的角，则角必为锐角； ②对任意的复数z，都有； ③设是空间一个平面，m，n是空间两条不同的直线，且.则“nm”是“n”的充分条件； ④在三角形ABC中，若A<B，则. 所有正确的结论序号为___________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据象限角和锐角的定义判断①，设后计算和判断②，由线面间的位置关系判断③，结合正弦定理判断④． 【详解】例如是第一象限角，但它不是锐角，①错； 设，则，②正确； ，，则与可能平行，也可能直线在平面内，③错； 在三角形ABC中，，由正弦定理，又等价于，④正确． 故答案为：②④ 14. 已知函数的定义域为为的导函数，若具有下列性质：①的值域为；② 为奇函数；③对任意的，且，都有.则的一个解析式为___________. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据③ 可取函数为二次函数，再结合② ① 可确定函数解析式. 【详解】由③ 知可为不含常数项的一次函数，所以函数可为二次函数， 由② 可知由① 知所以满足题意， 故答案为：(答案不唯一) 15. 若点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点，点M是棱A1D1的中点，当AP⊥DM时，线段AP长度的最大值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】分别取棱的中点E，F，证明平面，得点轨迹，从而可得的最大值． 【详解】分别取棱的中点E，F，连接，，共面，， 由，所以， 所以，所以，， 又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 要使，则平面， 所以P点轨迹是矩形（除去A点）， 当P与F重合时，最大， 最大值为. 故答案为：3． 16. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】依题可知，各等边三角形的面积成等比数列，公比为，首项为，即可求出以及，再根据分组求和法以及错位相减法求出． 【详解】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为，首项为，所以，即； ，而，设 ， ，作差得： ，所以，所以 ． 故答案为：；． 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求C； （2）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化、两角和的正弦公式可求得tanC的值，再结合C∈(0,π)可得出角C的值； （2）利用三角形的面积公式可得出ab=40，利用余弦定理结合基本不等式可求得BD的最小值. 【小问1详解】 解：因为，所以， 由正弦定理得， 所以， 即. 又，所以， 所以，即. 由，得. 【小问2详解】 解：，所以. 在中，由余弦定理得： ， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为. 18. 设数列是等比数列，其前项和为. （1）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求的通项公式； ①是等比数列；②. （2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】设等比数列的公比为 （1）若选①，根据是等比数列可知，再化简求解即可； 若选②，根据两式相减可得公比，再代入求得即可 （2）代入（1）中可得，再根据等比数列的前项和公式求解即可 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 若选①，根据是等比数列可知，又，故，，故，，，故，即，解得，故，此时，故即为等比数列符合题意，故 若选②，由可得，即，故，故，解得，故 【小问2详解】 ，故 19. 某超市为了回馈新老顾客，决定在2023年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某中学学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖一次中奖的礼品价值为. （1）求； （2）凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值20元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列答案见解析，数学期望： 【解析】 【分析】（1）确定三面着色、两面着色、一面着色、没有面着色的小正方体的个数，然后求出事件含有的基本事件的个数，从而由概率公式计算概率； （2）由题意的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为30，20，10，0，求出各概率后得分布列，再由期望公式计算期望． 【小问1详解】 64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色， ∴； 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为30，20，10，0， ， ， ， . 所以随机变量的分布列为 30 20 10 0 P ∴. 20. 某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量（单位：千辆）与月份的关系，统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值. 表中. （1）根据散点图判断两变量的关系用与哪一个比较合适？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（的值精确到），并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于万辆？ 附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合散点图可知合适； （2）由题中所给的数据及公式计算回归方程，并进行估计即可. 【小问1详解】 比较合适(散点图中点的分布不是一条直线,相邻两点的纵坐标的差值是增大趋势,所以比较合适) 【小问2详解】 设,则， 先建立y关于t的回归方程 则 所以y关于t的回归方程为， 因此y关于x的回归方程为 令，解得或（舍去）， 故估计从今年8月份起该地区的月销售量不低于万辆. 21. 已知抛物线，过点作直线与抛物线交于两点，点是抛物线上异于两点的一动点，直线与直线交于两点. （1）证明：两点的纵坐标之积为定值； （2）求面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】(1) 设直线,联立直线与抛物线:,根据韦达定理求得,再根据直线的方程求出的纵坐标,然后相乘可证; (2)利用面积公式求得面积的表达式,再用基本不等式求得最值即可. 【详解】（1）证明:设直线，设， 由消去并整理得： ∴， ∵直线分别与直线分别交于两点， ∴，∴， 直线， 令， 同理：， ∴ , 所以两点的纵坐标之积为定值-8. （2）设直线与轴交于点， ∵，∴， 当且仅当时取等号， ∴的面积的最小值为. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,直线方程,斜率公式,面积公式,基本不等式,字母运算求解能力,本题属于中档题. 22. 已知函数. （1）求的极大值； （2）设、是两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的极大值； （2）由已知条件可得出，设，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，可推导出，再利用函数在上的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 解：因为的定义域为，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数的极大值为. 【小问2详解】 证明：因为，则，即， 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为、是两个不相等的正数，，且满足，不妨设， 构造函数，则， 令，则. 当时，，则，此时函数单调递减， 当时，，则，此时函数单调递减， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递减， 当时，，即，故函数在上为增函数， 故，所以，， 且，函数在上为减函数，故，则. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年05月高二数学月考试题 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知是实数集，，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知四组不同数据的两变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确的是（ ） A. 数据组①对应的数据点都在同一直线上 B. 数据组②中的两变量线性相关性最强 C. 数据组③中的两变量线性相关性最强 D. 数据组④中的两变量线性相关性最弱 3. 郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种 4. 在等差数列中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知A（，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，，且∠AOC=，设（），则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 10. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. D. 的最小值为3 11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 事件B与事件相互独立 D. ，，是两两互斥的事件 12. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. D. 的极小值大于0 三、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 给出下列四个结论： ①若角为第一象限的角，则角必为锐角； ②对任意的复数z，都有； ③设是空间一个平面，m，n是空间两条不同的直线，且.则“nm”是“n”的充分条件； ④在三角形ABC中，若A<B，则. 所有正确的结论序号为___________. 14. 已知函数的定义域为为的导函数，若具有下列性质：①的值域为；② 为奇函数；③对任意的，且，都有.则的一个解析式为___________. 15. 若点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点，点M是棱A1D1的中点，当AP⊥DM时，线段AP长度的最大值为___________. 16. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________. 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求C； （2）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值. 18. 设数列是等比数列，其前项和为. （1）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求的通项公式； ①是等比数列；②. （2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 19. 某超市为了回馈新老顾客，决定在2023年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某中学学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖一次中奖的礼品价值为. （1）求； （2）凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值20元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望. 20. 某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量（单位：千辆）与月份的关系，统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值. 表中. （1）根据散点图判断两变量的关系用与哪一个比较合适？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（的值精确到），并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于万辆？ 附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为. 21. 已知抛物线，过点作直线与抛物线交于两点，点是抛物线上异于两点的一动点，直线与直线交于两点. （1）证明：两点的纵坐标之积为定值； （2）求面积的最小值. 22. 已知函数. （1）求的极大值； （2）设、是两个不相等的正数，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $