精品解析：2024年河南省周口市沈丘县联考终极一考卷三模数学试题

2024年河南省中招模拟考试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. 1.23 D. 0 2. “你是那夜空中最美的星星，照亮我一路前行.”这首朗朗上口的湖南本土励志原创歌曲《早安隆回》成为了全球华人圈的超级神曲，该歌曲抖音单日最高播放量超过了亿，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 7. 如图，已知圆心在水面上方，且 被水面截得弦长为米．半径长为米， 若点 为运行轨道的最低点．则点到弦 所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 米 D. 米 8. 如图随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某新能源汽车销售公司2021年盈利a万元，2021年至2023年盈利的年平均增长率为，则该公司2023年的盈利是______万元．（用含a的代数式表示） 12. 已知，，则的值是______． 13. 下表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择________． 甲 乙 丙 丁 平均数（秒） 11.2 11.3 11.3 11.2 方差 5.5 5.5 5.8 5.9 14. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 15. 如图，在平行四边形中，为锐角，且 ，P是边 上的一动点，点C，D 同时绕点 P 按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，线段的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解不等式组： （2）化简：． 17. 某校举行八、九年级学生“普法知识竞赛”，并从两个年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分，分数为整数），通过对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不及格，及格，良好，优秀），下面给出了部分信息：抽取的八年级学生竞赛成绩中“良好”包含的所有数据（单位：分）为：；抽取的九年级学生普法知识竞赛成绩数据为：；抽取的八、九年级学生普法知识竞赛成绩的统计表如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 “优秀”所占百分比 八年级 九年级 抽取的八年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）已知八年级学生普法知识竞赛成绩的方差为，请通过计算说明哪个年级学生普法知识竞赛的成绩较为稳定； （3）若该校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计这两个年级学生中普法知识竞赛成绩为优秀等级的总人数． 18. 如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面的高度恰好相等，C点的仰角为，若小冬的眼睛与地面的距离为米，请计算风筝离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2． （1）求反比例函数的解析式及点E的坐标； （2）连接，求； （3）在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由． 21. 2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件． 22. 综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 23. （1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省中招模拟考试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. 1.23 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可． 【详解】解：在，，1.23，0这四个数中，，1.23，0是有理数，是无理数， 故选：B． 2. “你是那夜空中最美的星星，照亮我一路前行.”这首朗朗上口的湖南本土励志原创歌曲《早安隆回》成为了全球华人圈的超级神曲，该歌曲抖音单日最高播放量超过了亿，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 3. 如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可知，主视图共3列，各列从左到右小正方形个数分别为2，3，1，据此可以得出图形，从而求解. 【详解】主视图是从前往后看到的图形，由俯视图中标的数字可知： 几何体共3列，主视图各列从左到右小正方形个数分别为2，3，1，该几何体的主视图是， 故选A． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字. 4. 如图，，交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式，根据积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式运算法则，进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算错误，不符合题意； D．，计算正确，符合题意． 故选：D． 6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得出，求解即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程（为常数，），当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 如图，已知圆心在水面上方，且 被水面截得弦长为米．半径长为米， 若点 为运行轨道的最低点．则点到弦 所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D， 由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 8. 如图随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由题意可得： 开关 K1K2 K1K3 K2K3 结果 L2亮 L1L2均亮 L1L2均不亮 共有3种等可能结果，其中能让灯泡至少一盏发光的有2种， ∴随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为， 故选：D： 【点睛】此题考查的是列举法求概率．注意不重复不遗漏的列出所有可能的结果，概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象综合问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键． 根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，二次函数开口向下，此选项错误； B、当时，，解得 ，解得或 ∴一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项错误； C、由一次函数图象知，，则，二次函数的对称轴位于轴左侧，又一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项正确； D、由一次函数图象知，二次函数开口向上，此选项错误； 故选：C． 10. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点． ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， ∵当M、N、C共线时，的值最小， ∴y的值最小就是的长， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某新能源汽车销售公司2021年盈利a万元，2021年至2023年盈利的年平均增长率为，则该公司2023年的盈利是______万元．（用含a的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式的相关知识，根据增长率问题列出代数式，即可解题． 【详解】解：由题意得，公司2023年的盈利是， 故答案为：． 12. 已知，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先分解因式，再把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 13. 下表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择________． 甲 乙 丙 丁 平均数（秒） 11.2 11.3 11.3 11.2 方差 5.5 5.5 5.8 5.9 【答案】甲 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵从平均数看，甲、丁成绩更好， ∴从甲和丁中选择一人参加竞赛， 又∵甲的方差较小， ∴选择甲参加比赛， 故答案为：甲． 14. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积问题，掌握割补法求阴影部分的面积，是解题的关键．连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，则， 由折叠得， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，为锐角，且 ，P是边 上的一动点，点C，D 同时绕点 P 按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，线段的长为_____． 【答案】3 或 或 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等，理解题意，综合运用这些知识点进行分情况分析是解题关键． 过点C作 于点H，根据平行四边形的性质及解三角形得出，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，③当以为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可． 【详解】解：过点C作 于点H， ∵在中，， ∴在 中， ， 由旋转的性质，得， ∵，由是直角三角形，可知需分三种情况讨论： ①当以为直角顶点时，如图1， ∵， ∴点落在的延长线上. ∵， ∴， ∴点 P 与点H重合， ∴， ∴； ②当以A为直角顶点时，如图 2， 设 与射线 的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴. 设 t，则， ∴. ， ， ， ， ， 化简得 ， 解得 ， ； ③当以为直角顶点时，点P 在的延长线上，不符合题意. 综上所述，或 或 ； 故答案为：3 或 或 ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解不等式组： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定其解集的公共部分即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得答案． 【详解】（1） 由①得：， 解得：， 由②得：； 解得：， ∴不等式组的解集为：． （2） ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，分式的化简，熟记解不等式组的步骤与分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 17. 某校举行八、九年级学生“普法知识竞赛”，并从两个年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分，分数为整数），通过对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不及格，及格，良好，优秀），下面给出了部分信息：抽取的八年级学生竞赛成绩中“良好”包含的所有数据（单位：分）为：；抽取的九年级学生普法知识竞赛成绩数据为：；抽取的八、九年级学生普法知识竞赛成绩的统计表如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 “优秀”所占百分比 八年级 九年级 抽取的八年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）已知八年级学生普法知识竞赛成绩的方差为，请通过计算说明哪个年级学生普法知识竞赛的成绩较为稳定； （3）若该校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计这两个年级学生中普法知识竞赛成绩为优秀等级的总人数． 【答案】（1） （2） 解：九年级方差为 ， ∴八年级方差九年级方差， ∴八年级学生普法知识竞赛的成绩较为稳定； （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握样本百分比估算总体数量的方法，中位数、众数的计算方法，运用方差作决策的方法是解题的关键． （1）根据样本百分比估算总体数量，中位数、众数的计算方法即可求解； （2）运用方差作决策即可求解； （3）运用样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得 ， ∴； 把八年级学生普法知识竞赛成绩按从小到大排列，排在第位的两个数是 ， ∴， 在九年级学生普法知识竞赛成绩数据中，出现次数最多， ∴众数， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：(人)， 答：这两个年级学生中普法知识竞赛成绩为优秀等级的总人数约为 人． 18. 如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图1所示，直线为所求； （2） 证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面的高度恰好相等，C点的仰角为，若小冬的眼睛与地面的距离为米，请计算风筝离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，分别过点、作于点，于点，设米，则米，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，分别过点、作于点，于点． 由题意得，，，米， 设米，则米， 在中，， 米； 在中，， 米， ，解得；  米， 米． 答：风等离地面的高度约为米． 【点睛】本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2． （1）求反比例函数的解析式及点E的坐标； （2）连接，求； （3）在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）9 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据得出点A、D的坐标，即可求出反比例函数的表达式，因为点E是反比例函数和直线的交点，所以先求出直线的表达式，再将反比例函数的表达式与直线的表达式联立，即可求出点E的坐标； （2）根据即可求出； （3）存在，当时，四边形是平行四边形，当时，可证，此时平行四边形为矩形，利用勾股定理分别求出，即可得到矩形的周长． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，轴于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点 D的纵坐标为2， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为 设直线的解析式为， ∵点A 在直线上， ∴， 解得 ∴直线的解析式为 联立得 解得 或 ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵， ； 【小问3详解】 解：在x轴上存在两点M，N，使以点 E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下： ∵设， ∴， ∵， ∴， ∴四边形 是平行四边形，当 时， ∴，即或， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴此时平行四边形为矩形， ∵点M在点N 的左侧， ∴， ∴矩形周长为 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，求坐标系内图形的面积，平行四边形和矩形的判定，根据要求求出点的坐标是解答本题的关键． 21. 2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件． 【答案】（1）A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元； （2）A种纪念品最多购进400件． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案； （2）设种纪念品最多购进a件，根据“两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元”列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元； 【小问2详解】 解：设A种纪念品购进a件，根据题意： ， 解得， ∴A种纪念品最多购进400件． 22. 综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】（1），最大射程为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】解：（1）如图, 由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当时, ，解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为； 对称轴为直线 ∴点的对称点为， 是由向左平移得到的， 由（1）可得， ∴点的坐标为； （3）∵， ∴点的纵坐标为， ， 解得 ， ∵， ， 当时， 随的增大而减小， ∴当时, 要使， 则， ∵当时, 随的增大而增大，且时， ， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 23. （1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）3；（2）1；（3）或 【解析】 【分析】（1）本题利用折叠和矩形的性质得出，，再利用勾股定理即可解题； （2）本题利用平移的性质证得，设长为，利用勾股定理算出，推出，再利用相似三角形的性质得到，算出，从而求得的长； （3）本题根据A，，E三点共线，分以下两种情况讨论，①当旋转到左侧时，②当旋转到右侧时，根据以上两种情况作辅助线构造直角三角形，利用旋转的性质、矩形的性质和判定、以及勾股定理进行分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：为矩形，，， ，， ； （2）解：为平移后的图形，，， ，， ， 设长为， ，， 解得：， ， ，， ， ， ； （3）解：将绕点旋转至A，，E三点共线， 分以下两种情况： ①当旋转到左侧时，如图所示： 作，交的延长线于点， 由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ②当旋转到右侧时，如图所示： 作，交的延长线于点， 由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $