精品解析：2024年山东省枣庄市市中区初中学业水平第三次模拟考试数学试题

2024年初中学业水平第三次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分.第I卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分.考试时间为120分钟. 2.答卷时，务必将第I卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上. 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上. 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 鲁班锁 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2024 年 3 月 12 日是我国第 46 个植树节，昆明市绿化委员会办公室将紧紧围绕绿美城市、绿美社区、绿美乡镇、绿美村庄、绿美交通、绿美河湖、绿美校园、绿美园区、绿美景区等9个主题组织开展义务植树活动，今年全市计划实施全民义务植树11500 000株．数据11 500 000用科学记数法可表示为( ) A. B. C. D. 5 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 6. 将一副三角板按如图所示摆放，点恰好是边中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．①分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接；②以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交线段于点．根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 对a、b定义一种新运算T，规定：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，则下列结论正确的个数为（　　） ①；②若，则；③若，则；④若，则m、n有且仅有6组整数解． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，已知点A在反比例函数上，点B，C在x轴上，使得，点D在线段上，也在反比例函数的图象上，且满足，连接并延长交y轴于点E，若的面积为6，则k的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点Q从点C出发；以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，的面积为S，则S随t变化的函数关系图像大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 分解因式：__________． 12. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 13. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点P的坐标为____________． 14. 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度．坡底，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是，点E，A，C在同一水平线上，则建筑物的高为________（结果用含有根号的式子表示） 15. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________． 16. 如下图，四边形是边长为1的正方形，曲线…是由多段的 圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为A，半径为；弧的圆心为B，半径为；弧的圆心为C，半径为；弧的圆心为D，半径为…．弧、弧、弧、弧…的圆心依次按点循环，则弧的长是______________（结果保留） 三、解答题：本题共8小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17. （1）计算：． （2）先化简，在求值：，从0，1，2，四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 18. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐：B．体育：C．美术；D．阅读：E．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②A组人数______，C组人数______； ③扇形统计图中，圆心角______度； （2）若该校有名学生，估计该校参加D组（阅读）学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 19. 小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 （1）小明以折扣价购买门票是第　　次参观； （2）求出每张成人票和每张学生票的标准票价； （3）如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 20. 如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，，求和的长． 21. 如图，点在双曲线上，点B在x轴上．将线段平移到，点C仍在双曲线上，点D在y轴上，． （1）求m和k值； （2）直线与x轴交于E，与y轴交于F．求证：． 22. 如图，以为直径的交于点D，点E为弧的中点，连结交于点F，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为4，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标中，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c表达式； （2）点P在第一象限抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标； （3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 24. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． （1）【问题解决】 如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______； （2）【问题探究】 如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】若，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业水平第三次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分.第I卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分.考试时间为120分钟. 2.答卷时，务必将第I卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上. 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上. 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式，单项式乘以单项式，积的乘方运算，合并同类项，根据以上运算的运算法则逐一分析即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 鲁班锁 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，根据主视图是从正面看的，结合选项图形，即可作答． 【详解】解：依题意，鲁班锁的主视图是 故选：B 4. 2024 年 3 月 12 日是我国第 46 个植树节，昆明市绿化委员会办公室将紧紧围绕绿美城市、绿美社区、绿美乡镇、绿美村庄、绿美交通、绿美河湖、绿美校园、绿美园区、绿美景区等9个主题组织开展义务植树活动，今年全市计划实施全民义务植树11500 000株．数据11 500 000用科学记数法可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键． 用科学记数法表示较大数时的形式为，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1，据此求解即可． 【详解】， 故选：B． 5. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【答案】B 【解析】 【详解】设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：， 即：． 故选B． 6. 将一副三角板按如图所示摆放，点恰好是边中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角可得，进而根据三角形的内角和定理与三角形的外角性质，即可求解． 【详解】解：∵点恰好是边中点， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ 故选：D． 7. 如图，在中，，．①分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接；②以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交线段于点．根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．利用基本作图可得到点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：，， ， 由作图痕迹得到平分，点为的垂直平分线与的交点， ，所以A选项不符合题意； ，所以B选项不符合题意； ， ， ， 所以C选项不符合题意； ，， ， ， 选项符合题意． 故选：D 8. 对a、b定义一种新运算T，规定：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，则下列结论正确的个数为（　　） ①；②若，则；③若，则；④若，则m、n有且仅有6组整数解． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】对于①根据定义计算即可判断；由，得方程，求解即可判断②；由，得不等式组，求解即可判断③；由，得，求得，根据、都是整数，可得或或，解得或或0或或或，即可求得所有满足条件的、的值，即可判断④． 【详解】解：①，故①正确； ②，即，解得，故②正确； ③，即，解得，即，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵、都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的、的值可以为：，，，，，，共6组，故④正确； 综上所述，正确有4个， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解方程及不等式组，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 9. 如图，已知点A在反比例函数上，点B，C在x轴上，使得，点D在线段上，也在反比例函数的图象上，且满足，连接并延长交y轴于点E，若的面积为6，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．连接，先根据、三角形的面积公式求出的面积，从而可得的面积，再利用三角形的面积公式可得，设点的坐标为，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ，， 设，则， ， ， 解得， 与是同底等高的三角形， ， ，即， 设点的坐标为，则， 则， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点Q从点C出发；以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，的面积为S，则S随t变化的函数关系图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意当时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，， ，图象为直线的一部分， ∵，点运动时间为秒 当时，点在上，如图所示， ∴，，，， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象、二次函数图象的性质，根据题意求得解析式是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点P的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，P是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 14. 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度．坡底，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是，点E，A，C在同一水平线上，则建筑物的高为________（结果用含有根号的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的应用，过点作，交于点，先证明四边形为矩形，得到，，再根据三角函数值得到，最后利用即可算出答案；掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 15. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答． 【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K， 由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值， 设正方形的边长为a，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取得最小值时，的值是为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 16. 如下图，四边形是边长为1的正方形，曲线…是由多段的 圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为A，半径为；弧的圆心为B，半径为；弧的圆心为C，半径为；弧的圆心为D，半径为…．弧、弧、弧、弧…的圆心依次按点循环，则弧的长是______________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出弧、弧、弧的半径，再归纳类推出一般规律，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：弧的半径， 弧的半径， 弧的半径， 归纳类推得：弧的半径（为正整数）， 则弧长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，正确规律类推出一般规律是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17. （1）计算：． （2）先化简，在求值：，从0，1，2，四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算及代数式化简求值． （1）先算零指数幂，立方根，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂，再算加减； （2）先化简，将多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简为最简式子后，再选择一个使原式有意义的值代入即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ，，， ，，， 取代入，原式． 18. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐：B．体育：C．美术；D．阅读：E．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②A组人数______，C组人数______； ③扇形统计图中，圆心角______度； （2）若该校有名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①；②，；③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据计算求解即可；②由题意知，A组人数为（人），C组人数为，计算求解即可；③根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 ①解：由题意知，此次调查一共随机抽取学生（名）； 故答案为：； ②解：由题意知，A组人数为（人），C组人数为（人）， 故答案为：，； ③解：由题意知，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，（人）， ∴估计该校参加D组（阅读）的学生人数为人； 【小问3详解】 解：由题意画树状图如下： ∵， ∴恰好抽中甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概．从条形统计图，扇形统计图中获取正确的信息是解题的关键． 19. 小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 （1）小明以折扣价购买门票是第　　次参观； （2）求出每张成人票和每张学生票的标准票价； （3）如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 【答案】（1）三 （2）每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元 （3）有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）由表中数据即可得出结论； （2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设每张成人票和学生票都打折，由购买成人票和学生票共15张，结合表中数据列出一元一次方程，解得，再设购买成人票张，则购买学生票张，由题意：购票总费用不超过320元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意得：小明以折扣价购买门票是第三次参观， 故答案为：三； 【小问2详解】 解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元； 【小问3详解】 解：设每张成人票和学生票都打折， 由题意得：， 解得：， 即每张成人票和学生票都打5折， 设购买成人票张，则购买学生票张， 由题意得：， 解得：， 必需购买成人票， 或2， 有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张． 20. 如图，在四边形中，，于点，点延长线上一点，，于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，，求和的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据角平分线的性质可得，利用勾股定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据菱形的性质可得，由此即可得． 小问1详解】 证明：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：，， ， ∵平分，，， ， ， 在和中， ， ， ，即， 解得， 由（1）已证：四边形是菱形， ． 21. 如图，点在双曲线上，点B在x轴上．将线段平移到，点C仍在双曲线上，点D在y轴上，． （1）求m和k的值； （2）直线与x轴交于E，与y轴交于F．求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出B、D坐标，从而确定平移的方式，进而求出点C的坐标，最后把A、C的坐标代入即可求解； （2）利用（1）中A，C的坐标，求出直线解析式，然后求出E，F的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴线段由到，可以是向右平移2个单位，向上平移1个单位， ∵， ∴， 将A，C代入双曲线解析式，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1），得，， 设直线为， 则 解得，， ∴直线为， 当时，， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平移，待定系数法求反比例函数、一次函数解析式等知识，明确题意，数形结合，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 22. 如图，以为直径的交于点D，点E为弧的中点，连结交于点F，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）与相切，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论得到，利用等腰三角形性质得到，利用同圆中，等弧所对的圆周角相等得到，推出，即可证明与相切； （2）利用，推出，利用勾股定理得到，推出，由题证明，得到，设，，利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：与相切， 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， E为弧中点， ， ， ， 为直径， 是的切线 【小问2详解】 解：半径为4， ， 在中，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，，由勾股定理得， 或（负数舍去）， 即． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形性质，在同圆中等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理，并灵活运用． 23. 如图，在平面直角坐标中，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标； （3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P（3，5）；（3）点Q坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，1）或（2，4） 【解析】 【分析】（1）将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式； （2）设P(m，﹣m2+m+4)，先求出AC的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出PE的长，从而求得用m表示的△PCA的面积，最后根据二次函数的性质，求出最值； （3）设设点Q的坐标为（2，m），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出AQ2、PQ2和AP2，存在3种情况，一种是∠QAP=90°，第二种是∠AQP=90°，第三种是∠QPA=90°时，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：（1）把A(6，0)，B(﹣2，0)，C(0，4)的坐标代入y＝ax2+bx+c， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4． （2）作PEOC交AC于E． 设P(m，﹣m2+m+4)． 设直线AC的解析式为y＝kx+d 将点A和点C的坐标代入，得 解得： ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4， ∴E(m，﹣m+4)， ∴PE＝﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)＝﹣m2+2m， ∴S△PAC＝×(﹣m2+2m)×6＝﹣m2+6m＝﹣(m﹣3)2+9， ∵﹣1＜0， ∴m＝3时，△PAC的面积最大， ∴P(3，5)． （3）∵A(6，0)，P(3，5)，抛物线y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x=2 ∴可设点Q的坐标为（2，m） ∴AQ2= PQ2= AP2= ①当∠QAP=90°时，则AQ2＋AP2= PQ2 即＋34= 解得：m= ∴Q(2，) ②当∠AQP=90°时，则AQ2＋PQ2= AP2 即＋=34 解得：m1=1，m2=4 ∴Q(2，1)或(2，4) ③当∠QPA=90°时，则AP2＋PQ2= AQ2 即34＋= 解得：m= ∴Q(2，) 综上所述，满足条件的点Q坐标为(2，)或(2，)或(2，1)或(2，4)． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的综合问题，解题的关键是根据题意设出点的坐标并列出方程求解．第（3）问中，题干仅告知了△APQ是直角三角形，未确定哪个角是直角，故存在多解情况． 24. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． （1）【问题解决】 如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______； （2）【问题探究】 如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】若，求出的最小值． 【答案】（1）， （2）的面积为定值，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过F作于M，由翻折的性质得出垂直平分，利用证明，即可得出结论； （2）作于N，证明，得出，即可得出结论； （3）作点C关于的对称点Q，连接，，，利用证明，得出，则，当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由：过F作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵翻折， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：的面积为定值， 理由：作于N， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作点C关于的对称点Q，连接，，， 则垂直平分， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长， 当时，，， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题等，将转化为的长是解决第（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$