精品解析：2024年内蒙古自治区赤峰市松山区中考三模数学试题

2024松山区中考模拟测试（三）数学 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利元记作元，那么亏本元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在式子中，x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正（ ）边形 A. 六 B. 八 C. 十 D. 十二 7. 从1，2，3，4四个数字中随机选出两个不同的数，分别记作，则关于x的一元二次方程只有两个相等实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 九年级某班点名簿上记载，在5月21日至24日这4天中出现缺勤的人数如表所示，若缺勤人数的唯一众数为1，则数据的方差等于（ ） 日期 5月21日 5月22日 5月23日 5月24日 缺勤人数（个） 1 0 2 a A. 0.2 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.5 11. 如图1，从边长为m的正方形中去掉一个边长为n的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成如图2的长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A. （m+n）2＝m2+2mn+n2 B. （m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 C. m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） D. m2+mn＝m（m+n） 12. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为．则围成的小正方形与大正方形面积的比为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AE＝8，则AB的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 14. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 15. 分解因式：a3－a=___________ 16. 如图，A、B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________． 17. 如图，已知在中，为的中点，的延长线交的延长线于点，则______． 18. 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则______． 三、解答题（共8小题，满分96分） 19. 计算：，其中，． 20. 按如下规律摆放黑色棋子： （1）填写表格 图案序号 棋子个数 （2）直接写出第18个图案的棋子个数为______． （3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有1443个棋子，如果有，请求出来；如果不存在，说明理由． 21. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图． 请你根据图中信息，回答下列问题： （1）本次共调查了　　名学生． （2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于　　度． （3）补全条形统计图（标注频数）． （4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为　　人． （5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？ 22. 某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 23. 如图，为的直径，是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若图阴影部分面积为，求的半径． 24. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点，且对称轴是直线． （1）求直线l的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 26. （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F． 填空：①的度数是____；②线段AD，BE之间的数量关系为________； （2）类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由， （3）如图3，在中，，点D在AB边上，， ，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024松山区中考模拟测试（三）数学 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利元记作元，那么亏本元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：盈利元记作元，那么亏本元记作 元， 故选：B． 2. 卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴与中心对称图形在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心结合各图形的特点求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， B、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意， C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意， D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称图形和中心对称图形的定义，比较简单，中考常考题型. 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法、合并同类项、幂的乘方等知识点，根据同底数幂乘法、合并同类项、幂的乘方的运算法则逐项判断即可解答． 【详解】A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、 ，故该选项不正确，不符合题意； D、 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 在式子中，x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件分母不等于0和二次根式有意义的条件被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：依题意，， 解得：且 故选：C． 6. 如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正（ ）边形 A. 六 B. 八 C. 十 D. 十二 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，根据正多边形的外角都相等以及外角和为，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正多边形的一个外角是， ∴， ∴这个正多边形是正八边形， 故选：B． 7. 从1，2，3，4四个数字中随机选出两个不同的数，分别记作，则关于x的一元二次方程只有两个相等实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，一元二次方程根的判别式；根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中满足的结果数有1种，， 则关于的一元二次方程有两个相等实数根的概率． 故选：D． 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行计算即可求解． 【详解】解： 去分母得， 移项合并同类项得， 化系数为1得，， 故选：C． 9. 将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，先得出，结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 10. 九年级某班点名簿上记载，在5月21日至24日这4天中出现缺勤的人数如表所示，若缺勤人数的唯一众数为1，则数据的方差等于（ ） 日期 5月21日 5月22日 5月23日 5月24日 缺勤人数（个） 1 0 2 a A. 0.2 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，平均数、方差，先根据出现次数最多的数为众数得出，根据平均数的公式算出平均数为1，结合方差公式计算，即可作答． 【详解】解：∵缺勤人数的唯一众数为1， ∴， 则数据的方差等于数据的方差， ∴平均数为， 则， 故选：D． 11. 如图1，从边长为m的正方形中去掉一个边长为n的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成如图2的长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A. （m+n）2＝m2+2mn+n2 B. （m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 C. m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） D. m2+mn＝m（m+n） 【答案】C 【解析】 【分析】用代数式表示图1和图2的阴影部分的面积，即可得出等式． 【详解】图1阴影部分的面积为：， 图2是长为，宽为，其面积为：， ． 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用不同方法表示面积是解题的关键． 12. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为．则围成的小正方形与大正方形面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形短直角边长为，长直角边长为，则中间空白部分的正方形面积为，由勾股定理可得大正方形边长的平方为，即大正方形的面积为，据此可得答案． 【详解】解：设直角三角形短直角边长为，长直角边长为， ∴中间空白部分的正方形边长为， ∴中间空白部分的正方形面积为， 由勾股定理得大正方形边长的平方为，即大正方形的面积为， ∴围成的小正方形与大正方形面积的比为， 故选：A． 13. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AE＝8，则AB的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】连接EF，设AE交BF于点O．证明四边形ABEF是菱形，再利用勾股定理求解． 【详解】解：连接EF，设AE交BF于点O． ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠DAG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAG， ∴∠BAG＝∠AEB， ∴AB＝BE， 由作图可知：AB＝AF， ∴BE＝AF， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AO＝OE＝4，OB＝OF＝3，AE⊥BF， ∴AB＝， 故选：A． 【点睛】本题考查作图——基本作图，角平分线的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是证明四边形ABEF是菱形． 14. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线可知：， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 抛物线过点， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④正确； 故正确的有：①②③④． 故选：D． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 15. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 16. 如图，A、B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设．根据中点坐标公式和△ODC的面积确定mn=16，再结合反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：设． ∵D为OB中点， ∴． ∵AC⊥x轴， ∴，． ∵△ODC的面积为1， ∴． ∴mn=8． ∵点B在反比例函数上， ∴． ∴k=mn． ∴k=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查中点坐标公式，根据图形面积求反比例函数比例系数k，熟练掌握这些知识点是解题关键． 17. 如图，已知在中，为的中点，的延长线交的延长线于点，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行线之间的距离处处相等，先得出，结合为的中点，得出再记之间的距离为，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴之间的距离处处相等， ∵为的中点， ∴， 则记之间的距离为， ∴， 故答案为：． 18. 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由折叠可知，，进而得到，由同角的余角相等可得，则，在中，，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， 根据折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ， 在中，，即， 解得：． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理论证得出，进而利用锐角三角函数解决问题． 三、解答题（共8小题，满分96分） 19. 计算：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的运算，分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂， 化简分式得，再运算，，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：原式 ， ，， 原式． 20. 按如下规律摆放黑色棋子： （1）填写表格 图案序号 棋子个数 （2）直接写出第18个图案的棋子个数为______． （3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有1443个棋子，如果有，请求出来；如果不存在，说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）有，第个图案 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，解一元二次方程； （1）观察图象，找到规律，棋子的个数为序号的平方加上序号的2倍，完成填表即可； （2）根据（1）的结论，当时，即可求解； （3）设第个图案的棋子数为个，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：填写表格 图案序号 1 2 3 4 … n 棋子个数 3 8 15 24 … 【小问2详解】当时，， 故答案为：． 【小问3详解】 设第个图案的棋子数为个，列方程得， 解得或（舍去） 答：存在第个图案，恰好含有个棋子． 21. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图． 请你根据图中信息，回答下列问题： （1）本次共调查了　　名学生． （2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于　　度． （3）补全条形统计图（标注频数）． （4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为　　人． （5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？ 【答案】（1）50； （2）72°； （3）补全条形统计图为： （4）640； （5）抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为． 【解析】 【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图； （4）用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可； （5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）14÷28%=50， 所以本次共调查了50名学生； （2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数=360°×=72°； （3）最喜欢舞蹈类的人数为50-10-14-16=10（人）； （4）2000×=640， 估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人； 故答案为50；72；640； （5）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4， 所以抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 22. 某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）该校此次最多可购买20个B品牌篮球 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 【小问2详解】 设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 23. 如图，为的直径，是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若图阴影部分面积为，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 是半圆的三等分点， ，， ， ． 又， ， 是的切线． （2）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，扇形面积； （1）根据点为半圆的三等分点，则，得出，再根据可得为的切线； （2）根据题意可得是等边三角形，，，可得，根据图阴影部分面积为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 是等边三角形， ， ， ， ，（舍） 的半径为2 24. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 【答案】任务一：；任务二：；任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等． 【解析】 【分析】任务一：两数之和除以2，即可作答； 任务二：设，解直角三角形即可得到结论； 任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）． 【详解】任务一：平均值：， 故答案为：； 任务二：由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（m）， 答：旗杆GH的高度为． 任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点，且对称轴是直线． （1）求直线l的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最大值是，此时点 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，线段最值问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴是直线，则，代入，待定系数法求解析式，即可求解． （3）证明得出，设点，表示出，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线l的解析式为， 直线l与x轴交于点，与y轴交于点， ， 解得：， 直线l的解析式为； 【小问2详解】 设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 ，， ， 在中，， ， 轴，， ， 在中， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， 设点， ， ， ， 当时，有最大值是，此时最大， ， 当时，， ， 的最大值是，此时点． 26. （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F． 填空：①的度数是____；②线段AD，BE之间的数量关系为________； （2）类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由， （3）如图3，在中，，点D在AB边上，， ，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离． 【答案】（1）①60º；②； （2）∠AFB=45°，AD=BE；理由：如图2中， ∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC， ∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE，， ∴△ACD∽△BCE， ∴，∠CBF=∠CAF， ∴AD=BE ∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF， ∴∠AFB=∠ACB=45°． （3）± 【解析】 【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题； （2）结论：∠AFB=45°，AD=BE．证明△ACD∽△BCE，可得 ，∠CBF=∠CAF，由此即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， ∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠ACD=∠CBF， 设BC交AF于点O． ∵∠AOC=∠BOF， ∴∠BFO=∠ACO=60°， ∴∠AFB=60°， 故答案为60°，AD=BE． （2）略 （3）如图3中， ∵AEB=∠ACB=90°， ∴A，B，C，E四点共圆， ∴∠CEB=∠CAB=30°，∠ABD=∠ACE， ∵∠FAE=∠BAC=30°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴=cos30°= ， ∴EC=BD， 在Rt△ADE中，∵DE=，∠DAE=30°， ∴AE=DE=3， ∴BE==4， ∴BD=BE-DE=4-， ∴CE=BD=2-， ∵∠BEC=30°， ∴点C到直线DE的距离等于CE•sin30°=-． 如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD=DE+EB=4+，CE=BD=2+， 点C到直线DE的距离等于CE•sin30°=+． 综上所述，点C到直线DE的距离等于±． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $