精品解析：2024年河南省周口市沈丘县模拟联考中考二模数学试题

2024年河南省中招考试模拟试题（二）数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 B. 旅客上飞机前的安检 C. 学校招聘教师，对应聘人员面试 D. 了解全市中小学生每天的零花钱 4. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 计算 的结果是（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. x 6. 若点，，都是反比例函数图象上的点，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是（ ） A. 寸 B. 25寸 C. 24寸 D. 7寸 9. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 12. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=8，BD=3，则DF的值是______． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 14. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）． 15. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某篮球训练营在一次投篮训练中，A组的20名运动员均参加训练，训练方式为每人定点投篮10次，以命中次数作为训练成绩．据统计，此次投篮训练的成绩如下表： 命中次数（次〕 4 5 6 7 8 9 人数（人） 2 4 5 6 2 1 （1）已知这20名运动员此次训练成绩的平均数是6.25、中位数是b、众数是c，直接写出b、c的值； （2）若A组某运动员的训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次，则此次训练成绩的统计数据中不受影响的是___．（填“平均数”、“众数”、“中位数”） （3）已知B组的20名运动员在本次训练中的成绩统计如下表： 平均数 中位数 众数 6.5 6.5 7 你认为哪组运动员本次的训练成绩更好？为什么？ 18. 【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决． 【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：． 小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决． （1）【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______； （2）【尝试应用】 如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________； （3）如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积为3． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （3）设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长到D，使，连接并延长交y轴于点E．求证：． 20. 为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得cm，，与的夹角分别为45°与60°． （1）求点到的距离（结果保留一位小数）； （2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm．根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，） 21. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值． 22. 已知抛物线． （1）抛物线的顶点坐标为 ； （2）当时，的最大值为，求出的值； （3）在（2）的条件下，若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在、之间的部分为图像包含、两点，当、两点在抛物线的对称轴的两侧时，图像上最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省中招考试模拟试题（二）数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数. 【详解】解：由图可知，，，，， 比较四个数的绝对值排除和， 根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离， ， 这四个数中绝对值最小的是. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小. 2. 2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据122254用科学记数法表示为， 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是科学记数法—表示较绝对值较大的数．把一个大于等于10的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式． 3. 以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 B. 旅客上飞机前的安检 C. 学校招聘教师，对应聘人员面试 D. 了解全市中小学生每天的零花钱 【答案】D 【解析】 【详解】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，因此， A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故本选项不符合题意； B、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故本选项不符合题意； C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故本选项不符合题意； D、了解全市中小学生每天的零花钱，工作量大，且普查的意义不大，不适合全面调查，故本选项符合题意． 故选D． 4. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解； 【详解】， , 又 故选择：C 【点睛】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质得到是解题的关键． 5. 计算 的结果是（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. x 【答案】C 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： = = =-1． 故选：C 【点睛】此题主要考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 6. 若点，，都是反比例函数图象上的点，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可判断该反比例函数比例系数k>0，即得出其图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小，从而即得出结论． 【详解】∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小． ∵， ∴，即， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．掌握反比例函数，当k>0时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大是解题关键． 7. 几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方体的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积； 【详解】由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正方体，可以画出左视图如图， 所以这个几何体的左视图的面积为4 故选：B 【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图． 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是（ ） A. 寸 B. 25寸 C. 24寸 D. 7寸 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，勾股定理求解． 【详解】由题意知，四边形是矩形， 在中， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理；由矩形的性质得出直角三角形是解题的关键． 9. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键． 10. 如图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象可得t=8（s）时，P点到达B点，t=18（s）时，P点到达C点，可得AB=8（cm），BC=10（cm）；t=13（s）时，P点到达BC中点，此时如图1，过点P作PH⊥AB于H，连接AP，由三角形中位线的性质求得PH的长，在Rt△PHA中用勾股定理求解即可； 【详解】解：由函数图象可得：t=8（s）时，P点到达B点，即AB=8（cm），t=18（s）时，P点到达C点，即BC=18-8=10（cm）， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=（cm）， 当t=13（s）时，PB=13-8=5（cm），即P点到达BC中点， 如图1，过点P作PH⊥AB于H，连接AP， 则， ∴PH是△BCA的中位线， ∴PH=CA=3（cm），HA=HB=4（cm）， 在Rt△PHA中，由勾股定理得PA=（cm）， ∴P点坐标为（13，5）， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点的函数图象问题，三角形中位线的性质，勾股定理等知识；做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，确定三角形各线段的长度． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 12. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=8，BD=3，则DF的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得，即可得出DF值． 【详解】解：∵直线a∥b∥c， ∴即， ∴DF＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为． 15. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 又 ∴ ∴， 当点在点的右侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中，， 则， ∵， ∴ ∴， 当点在点的左侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中， 则， ∵， ∴ ∴， 综上所述，的长为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2022 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零次幂、负指数幂及算术平方根可进行求解； （2）根据分式的运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查零次幂、负指数幂、分式的运算及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键． 17. 某篮球训练营在一次投篮训练中，A组的20名运动员均参加训练，训练方式为每人定点投篮10次，以命中次数作为训练成绩．据统计，此次投篮训练的成绩如下表： 命中次数（次〕 4 5 6 7 8 9 人数（人） 2 4 5 6 2 1 （1）已知这20名运动员此次训练成绩的平均数是6.25、中位数是b、众数是c，直接写出b、c的值； （2）若A组某运动员的训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次，则此次训练成绩的统计数据中不受影响的是___．（填“平均数”、“众数”、“中位数”） （3）已知B组的20名运动员在本次训练中的成绩统计如下表： 平均数 中位数 众数 6.5 6.5 7 你认为哪组运动员本次的训练成绩更好？为什么？ 【答案】（1）， （2）中位数 （3）B组成绩更好；理由：两组成绩的众数均相同，但B组的平均数、中位数较大，说明B组运动员的平均成绩及中等偏上的成绩更好 【解析】 【分析】（1）结合图表，利用中位数、众数的定义进行计算即可； （2）数据变更之后，对“平均数”、“众数”、“中位数”进行分析即可； （3）比较数据可知：两组成绩的众数均相同，但B组的平均数、中位数较大，说明B组运动员的平均成绩及中等偏上的成绩更好． 【小问1详解】 解：∵A组有20名运动员参加训练， ∴中位数为第10、11两人的平均数，即为6， 故中位数b=6； ∵从成绩表中可以看出：命中次数为7次的有6人，人数最多， 故众数c=7； 【小问2详解】 由于某运动员的训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次， 即：命中次数6次的变为6人，命中次数7次的变为6人， 可知：平均数变化，中位数仍为6，众数变为6、7， 即：此次训练成绩的统计数据中不受影响的是中位数； 【小问3详解】 B组成绩更好；理由：两组成绩的众数均相同，但B组的平均数、中位数较大，说明B组运动员的平均成绩及中等偏上的成绩更好 【点睛】本题主要考查的是数据的应用，中位数，众数，平均数的定义及运算方法，掌握数据中的基础运算是解题的关键． 18. 【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决． 【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：． 小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决． （1）【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______； （2）【尝试应用】 如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________； （3）如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据正方形的性质得出两组角及夹边对应相等，即可得出答案； 对于（2），平移至，根据勾股定理可得是直角三角形，进而求出，根据平行线的性质得出答案； 对于（3），平移至，根据勾股定理可知是直角三角形，即可得出，再根据平行线的性质得出答案． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴≌． 故答案为：； 【小问2详解】 将平移至， 设正方形的边长为1，根据勾股定理可知，，， ∴，且， ∴是直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 将平移至， 设正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， 则． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平移的应用，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数值等，根据平移构造直角三角形是解题的关键． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积为3． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （3）设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长到D，使，连接并延长交y轴于点E．求证：． 【答案】（1） （2）画图见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及反比例函数的几何意义，角平分线的画法，全等的判定与性质，熟练掌握这些性质与画法是解题的关键． （1）设点的坐标为，利用即可解答； （2）根据角平分线的画法即可解答； （3）证明，得，再证即可解得． 【小问1详解】 解：设点的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 如图，射线即为的角平分线； 【小问3详解】 如图，设与相交于点， 由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 即． 20. 为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得cm，，与的夹角分别为45°与60°． （1）求点到的距离（结果保留一位小数）； （2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm．根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，） 【答案】（1）点到的距离为38.1cm （2）能达到最佳舒适度 【解析】 【分析】（1）过点作，设cm，根据已知角度，解和即可求解； （2）过点作，由对顶角相等得，解求出EN，判断 是否在73cm至74cm之间即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 设cm，在中，， ∴（cm）， ∵cm， ∴cm， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴cm， ∴点到的距离为38.1cm； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得： ， 在中，cm， ∴（cm）， ∴坐垫到地面的距离为：（cm）， ∵坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适， ∴李豪同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值． 【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元， （2）一共有六种购买方案 （3） 【解析】 【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可； （3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出． 【小问1详解】 解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元， 答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元； 【小问2详解】 解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件， 由题意得，， 解得， ∵a是正整数， ∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280， ∴一共有六种购买方案； 【小问3详解】 解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件， 由题意得， ， ∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同， ∴W的取值与a的值无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． 22. 已知抛物线． （1）抛物线的顶点坐标为 ； （2）当时，的最大值为，求出的值； （3）在（2）的条件下，若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在、之间的部分为图像包含、两点，当、两点在抛物线的对称轴的两侧时，图像上最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可； （2）分情况讨论：若，则当时，的最大值为，不符合题意；当时，由二次函数的性质可求出的值； （3）求出抛物线最高点的纵坐标为，求出，由或可求出答案． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， ∴若，则当时，的最大值为，不符合题意， ，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，取最大值，即抛物线过点． ∴，解得：． 【小问3详解】 解：由得， 对称轴为直线，顶点为， 最小值是， 、两点在对称轴两侧，即，最高点与最低点的纵坐标之差为， 抛物线最高点的纵坐标为． ∴当时得，解得，． 当时，则满足题意，解得， 当时，则满足题意；解得． 综上所述． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用、二次函数的性质、配方法等知识点，掌握二次函数与方程的关系以及分类讨论思想是关键的解题． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $