第03讲 一元二次方程的解法（公式法）（5个知识点+5个考点+易错分析）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第03讲 一元二次方程的解法（公式法）（5个知识点+5个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．知道一元二次方程根的判别式的概念． 2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围． 3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程． 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 4、 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 考点1：判断一元二次方程根的情况 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋＝0； (3)x2－x＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程有两个相等的实数根． (3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根． 【变式1-1】不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】 【解析】（1），，，，方程有两不等实根； （2） ，，，，方程无实数根； （3） ，，，，方程有两相等实根； （4），，，，方程有两不等实根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根． 【变式1-2】.已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况． 【答案】方程无实数根．【答案】【答案】 【解析】方程组的解是，代入即得：，可解得：， 此时方程即为，其中，，，，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其值，判定方程解的情况． 【变式1-3】.当取何值时，关于的方程， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】对此方程，，，，则 ，由此可知， （1）当，即时，方程有两个不相等的实数根； （2）当，即时，方程有两两个相等的实数根； （3）当，即时，方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论． 考点2：由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值 【例2】已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【变式2-1】（2023·云南楚雄·统考三模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义则，再根据一元二次方程有实数根，则，即可得到的范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：且， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，本题的关键是理解一元二次方程有实数根，包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况． 【变式2-2】．（2023·云南楚雄·统考一模）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A． B． C．，或 D．，或 【答案】B 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可知，即可求出的值． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，或. 故选：B． 【点睛】本题考查根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式2-3】．（2023·江苏扬州·统考二模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程没有实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可. 【详解】解： 关于x的一元二次方程没有实数根， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ， ，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练由根的情况求解字母参数的取值范围是解题的关键. 【变式2-4】小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由． 解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的． 考点3：说明含有字母系数的一元二次方程根的情况 【例3】 已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根． 方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论． 【变式3-1】证明：方程有两个不相等的实数根． 【解析】证明：对原方程进行整理，即为： 其中，，， 则恒成立， 由此可证得方程有两个不相等的实数根． 【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的值即可以确定下来． 【变式3-2】如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何? 【答案】方程无实根．【答案】【答案】 【解析】由的解集是，可知，即， 对一元二次方程而言，其中，，， 则，时，恒成立， 由此可知方程无实数根． 【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其值确定相关方程根的情况． 【变式3-3】已知关于的方程总有实数根，求的取值范围． 【答案】．【答案】【答案】 【解析】（1）当，即时，方程为一元一次方程，方程有实根； （2） 当，即时，方程为一元二次方程， 其中，，，方程有实根，则必有： ，可解得且； 综上所述，的取值范围为． 【总结】对于形如的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 考点4：用公式法解一元二次方程 【例4】用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－6＝0； (2)x2＋4x＝2； (3)5x2－4x＋12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x. 解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解． 解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝＝＝，即原方程的解是x1＝－2，x2＝. (2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝＝－2±.∴原方程的解是x1＝－2＋，x2＝－2－. (3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根． (4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－. 方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值． 【变式4-1】（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则，∴； （2），则，则，∴． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【变式4-2】.用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方程可化为：，，则， 则，∴； （2）方程可化为：，则． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解． 【变式4-3】.用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方程可化为，，则，则 ，∴ （2）两边同时乘以10，方程可化为，，则， 则，∴． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解． 【变式4-4】.用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则， ∴原方程的解为：； （2） ，则，则， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 考点5：用一元二次方程的公式法解决实际问题 【例5】三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为(　　) A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定 解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A. 方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍． 【变式5-1】某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？ 【答案】60元． 【解析】设这种衬衫每件涨价元． 则根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，． 当时，； 当时，． 因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元． 【总结】本题中主要考查对减少库存的理解． 【变式5-2】（2023·安徽淮北·校考模拟预测）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：    (1)图6中的“☆”的个数有_________个； (2)图中的“☆”的个数有_________个； (3)图中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由． 【答案】(1)35 (2) (3)图中的“☆”的个数不可能是100个，理由见解析 【分析】（1）图1中的“☆”的个数有个，图2中的“☆”的个数有个，图3中的“☆”的个数有个，图4中的“☆”的个数有个，由此得到规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）令，解方程求出n的值，看n是否是正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：图1中的“☆”的个数有个， 图2中的“☆”的个数有个， 图3中的“☆”的个数有个， 图4中的“☆”的个数有个， …… ∴可以得到规律，图n中的“☆”的个数有个， ∴图6中的“☆”的个数有个， 故答案为：； （2）解：由（1）得图n中的“☆”的个数有个， 故答案为：； （3）解：图中的“☆”的个数不可能是100个，理由如下： 令，则， 解得， 又∵为整数， ∴图中的“☆”的个数不可能是100个． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，正确理解题意找到规律是解题的关键 【变式5-3】（2023·广东广州·统考二模）已知正方形中，，E是边上的动点，连接和． (1)尺规作图：在图中分别作线段和的中点F和G，连接FG；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹） (2)当时，求（1）中所作的线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出和的线段垂直平分线，对应线段与对应的线段垂直平分线的交点即为所求； （2）设，则，，利用勾股定理建立方程求出的长，再由三角形中位线定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式5-4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y． (1)当点E与点C重合时，求ME的长； (2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）连接MD，结合题意，根据含角直角三角形、直角三角形斜边中线、垂直平分线的性质分析，结合勾股定理性质计算，即可得到答案； （2）连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，根据垂直平分线、勾股定理的性质，得，结合（1）的结论，通过列一元二次方程并求解，得函数的定义域，即可得到答案； （3）分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况，结合（2）的结论，根据垂直平分线、勾股定理、二次根式、三角形中位线的性质计算，即可得到答案． (1) 连接MD， ∵AB=，BC=， ∴BC=AB， ∵∠C=90， ∴∠A=30 ∵点D是AB的中点， ∴CD=AD， ∴∠ACD=30，∠ADC=120， ∵MN垂直平分CD， ∴CM=DM， ∴∠MDC=30， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴； (2) 连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F， ∵MN垂直平分ED， ∴ME=MD=y， ∵∠A=30 ∴MF=， ∴ ∴FD， 在Rt△MDF中， ∴ ∴ 根据（1）的结论，当点E与点C重合时， ∴ ∴或 ∵ ∴不符合题意 ∴ ∴ ∴y关于x的函数解析式是； (3) 分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况分析， 当MN经过AC中点时，即 ∴，即 当MN经过AB中点时，和MN分别交边AC、BC于点M、N的结论矛盾 ∴MN经过AB中点不成立 当MN经过BC中点时，如图，分别连接EN、DN ∴ ∵ ∴， ∵MN线段DE的垂直平分线 ∴ ∵AM=x，ME=y ∴ ∵∠C=90° ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴或． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂直平分线、三角形中位线、含角直角三角形、直角三角形斜边中线、二次根式、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解． 易错点：忽略了△的取值，直接将系数代入求根公式 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）方程无实数解；（2）方程无实数解． 【解析】（1），则，方程无实数解； （2），则，方程无实数解． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与根的判别式的关系是解决本题的关键．本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与根的判别式的关系是解决本题的关键． 【详解】 解：当，由得，此时方程有解； 当，由题意得，． 且． 综上：． 故选：B． 3．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得， 故选项D中的5不符合题意， 故选：D． 4．（2023·河南新乡·一模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 5．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是本题的关键．根据一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，即根的判别式，结合一元二次方程的定义计算出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵方程是一元二次方程 ∴， ∴且， 故选：D． 6．（2024·河北邢台·一模）嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据题意，先由错误情况下的判别式得到，再计算原方程的判别式即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 【详解】解：嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根， ，即， 原方程的判别式，即原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）一个化简后的多项式，改变若干项的符号，使前后两个多项式中正负号的个数相同，这样的两个多项式互为“亲密多项式”例如是的“亲密多项式”，，是的“亲密多项式”；以下说法正确的个数有（    ） ①若两个二项式和为0，则他们互为“亲密多项式” ②的“亲密多项式”一共有5个 ③的所有“亲密多项式”的和为 ④若关于的二次三项式等于0的方程有解，则它的“亲密多项式”等于0所得到的方程一定也有解 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 本题考查了对“亲密多项式”的理解，合并同类项法则，一元二次方程根的判别式，解题关键是理解“亲密多项式”的定义，并运用相关知识解决问题．根据题目中“亲密多项式”的定义，运用多项式和一元二次方程根的判别式的相关知识即可得解． 【详解】解：①二项式与的和为0，根据已知它们不是“亲密多项式”，故①错误； ②的“亲密多项式”有，，，，共5个，故②正确； ③的“亲密多项式”有：，，，，它们的和为，故③错误； ④方程有解，但是无解，根据已知与互为“亲密多项式”，故④错误． 故选：A． 8．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解方程，得出，由折叠得出，根据勾股定理得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：方程的根为： ， 由折叠可知， ， ． ， ， 的长度是方程的一个根． 【点睛】本题巧妙地将代数问题与几何问题结合在一起，主要考查了二元一次方程根的求解、翻折的性质、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，并能用含，的代数式正确表示出图形中各线段的长度． 二、填空题 9．（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则 0（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键．一元二次方程()的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，即得解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：> 11．（23-24九年级上·江苏·期中）已知代数式的最小值为，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法及一元二次方程的求解．将代数式配方成，即可求解． 【详解】解：∵ ∴的最小值为， ∴ 整理得： 解得： 故答案为： 12．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．解一元一次一次不等式即可得出结果．根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可． 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， ，且， ，且， 满足此条件的k值均可以． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（23-24九年级上·广西柳州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了根据方程根的情况求出参数，根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得 故答案为：． 14．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）关于的方程的实数根的情况是 ． 【答案】有2个不相等的实数根 【分析】本题考查判别式与根的个数关系，熟练掌握时，方程有两个不相等实数根是解题关键，根据判别式进行判断即可． 【详解】解： 方程有两个不相等的实数根 故答案为：有2个不相等的实数根． 16．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程．若等腰的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，则的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的性质．分两种情况：①若2为底，则方程有两个相等的实数根；②若2为腰，则2是方程的一根，分别计算出方程的解，计算出三角形的周长是解题的关键． 【详解】解：①若2为底，则方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 方程为， ∴ ∴的周长； ②若2为腰，则2是方程的一根， 代入方程， 解得， 方程为， 解得， ∴的周长； 由①②得的周长是或． 三、解答题 17．（21-22九年级上·福建泉州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．掌握并灵活选用一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：，即：， 这里，，， ∵， ∴， ∴，． 18．（22-23九年级上·广西防城港·期末）解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用公式法求解可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴，． 19．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）解方程 ． （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）（2）m的值为7或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式等知识． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个相等的实数根可以得到，解关于m的方程即可求解． 【详解】解：（1）， 移项得 ， 配方得 ， 即 ， ∴， ∴； （2）∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴m的值为7或． 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折得到，点在的内部，延长交于点．      (1)如图1， ①求证：； ②若，求的长； (2)延长交的边于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】（1）①如图，连接，先证明，再证明，可得，从而可得结论；②如图，过作于， 求解，，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当在上时，过作于，求解，，，可得，从而可得答案，当在上时，如图，过作于，交的延长线于，连接，过作于，则，设，则，，求解， 设，则，把；，再建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：①如图，连接，    ∵点是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过作于，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 如图，当在上时，过作于，    由折叠可得：，，，， ∵点是边的中点， ∴， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴； 当在上时，如图，过作于，交的延长线于，连接，过作于，则，    同理可得：，，，， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：，（负根舍去） 设，则， 同理可得：， ∴， ∴，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上：为或． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，本题计算量大，难度大，熟练的计算是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程的解法（公式法）（5个知识点+5个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．知道一元二次方程根的判别式的概念． 2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围． 3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程． 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 4、 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 考点1：判断一元二次方程根的情况 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋＝0； (3)x2－x＋1＝0. 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根． 【变式1-1】不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）； （2）； 【变式1-2】.已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况． 【变式1-3】.当取何值时，关于的方程， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 考点2：由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值 【例2】已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2 方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【变式2-1】（2023·云南楚雄·统考三模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【变式2-2】．（2023·云南楚雄·统考一模）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A． B． C．，或 D．，或 【变式2-3】．（2023·江苏扬州·统考二模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则c的取值范围是______． 【变式2-4】小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由． 考点3：说明含有字母系数的一元二次方程根的情况 【例3】 已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根． 方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论． 【变式3-1】证明：方程有两个不相等的实数根． 【变式3-2】如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何? 【变式3-3】已知关于的方程总有实数根，求的取值范围． 考点4：用公式法解一元二次方程 【例4】用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－6＝0； (2)x2＋4x＝2； (3)5x2－4x＋12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x. 方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值． 【变式4-1】（1）； （2）． 【变式4-2】.用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式4-3】.用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式4-4】.用公式法解下列方程： （1）； （2）． 考点5：用一元二次方程的公式法解决实际问题 【例5】三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为(　　) A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定 方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍． 【变式5-1】某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？ 【变式5-2】（2023·安徽淮北·校考模拟预测）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：    (1)图6中的“☆”的个数有_________个； (2)图中的“☆”的个数有_________个； (3)图中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由． 【变式5-3】（2023·广东广州·统考二模）已知正方形中，，E是边上的动点，连接和． (1)尺规作图：在图中分别作线段和的中点F和G，连接FG；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹） (2)当时，求（1）中所作的线段的长度． 【变式5-4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y． (1)当点E与点C重合时，求ME的长； (2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长． 易错点：忽略了△的取值，直接将系数代入求根公式 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 2．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023·河南新乡·一模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．（2024·河北邢台·一模）嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是3 7．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）一个化简后的多项式，改变若干项的符号，使前后两个多项式中正负号的个数相同，这样的两个多项式互为“亲密多项式”例如是的“亲密多项式”，，是的“亲密多项式”；以下说法正确的个数有（    ） ①若两个二项式和为0，则他们互为“亲密多项式” ②的“亲密多项式”一共有5个 ③的所有“亲密多项式”的和为 ④若关于的二次三项式等于0的方程有解，则它的“亲密多项式”等于0所得到的方程一定也有解 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 10．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则 0（填“>”，“<”或“=”） 11．（23-24九年级上·江苏·期中）已知代数式的最小值为，则的值为 ． 12．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是 ． 13．（23-24九年级上·广西柳州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 14．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）一元二次方程根的判别式的值是 ． 15．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）关于的方程的实数根的情况是 ． 16．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程．若等腰的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，则的周长为 ． 三、解答题 17．（21-22九年级上·福建泉州·期中）解方程：． 18．（22-23九年级上·广西防城港·期末）解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） 19．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）解方程 ． （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折得到，点在的内部，延长交于点．      (1)如图1， ①求证：； ②若，求的长； (2)延长交的边于点，若，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$