第07讲 二次函数（2个知识点+3个考点+易错分析）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第07讲 二次函数（2个知识点+3个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式 2.能根据概念判断函数是不是二次函数 3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。 知识点1．二次函数 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2.二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【例1-1】下列函数中是二次函数的是(      ) A． B． C． D． 【例1-2】已知是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 【变式1-3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【例1-4】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列每组变量之间的关系为二次函数的是（    ） A．正方形周长与边长的关系 B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系 C．速度一定时，路程与时间的关系 D．等边三角形的面积与边长的关系 【变式1-1】以下函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C． D．0 【变式1-3】二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【变式1-4】当为何值时，函数是二次函数． 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【例2】某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（　　） A．y＝x2+a B．y＝a（x﹣1）2 C．y＝a（1﹣x）2 D．y＝a（1+x）2 【变式2-1】在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】一件商品原价为元，连续两次降价，降价率均为，两次降价后该商品的售价价格为元，则与的函数关系式为（        ） A． B． C． D． 【变式2-3】半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s与x之间的关系表达式为__________． 易错点：根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而导致错误 【例3】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 考点1：根据二次函数的概念确定字母取值 1.已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（　　） A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1 2.若函数是关于的二次函数，则____． 3．已知函数是二次函数，求m的值． 4．若． (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 考点2：根据实际问题列二次函数的表达式 5．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（400﹣5x） B．y＝（x﹣35）（600﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 6.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为　 　． 7．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式． 8．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 9．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 考点3：根据动态问题列二次函数的表达式 10．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF． (1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？ (2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？ 12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）． （2）当点Q与点C重合时，求t的值． （3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 二、填空题 5．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是 ． 6．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 8．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是 ． 三、解答题 9.把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 10．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 11．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 12．（22-23九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二次函数（2个知识点+3个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式 2.能根据概念判断函数是不是二次函数 3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。 知识点1．二次函数 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2.二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【例1-1】下列函数中是二次函数的是(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：是一次函数，故此选项错误； B选项：，是二次函数，故此选项正确； C选项：，为一次函数，故此选项错误； D选项：是组合函数，不是二次函数，故此选项错误． 故选：B． 【例1-2】已知是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 【答案】C 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可． 【详解】由题意得：，且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数． 【变式1-3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【答案】(1)不是二次函数，是一次函数 (2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数 (4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3 (5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数 【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数； （2）根据二次函数的定义即可判断； （3）根据二次函数的定义即可判断； （4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断； （6）根据二次函数的定义即可判断． 【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是； （5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【例1-4】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列每组变量之间的关系为二次函数的是（    ） A．正方形周长与边长的关系 B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系 C．速度一定时，路程与时间的关系 D．等边三角形的面积与边长的关系 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义．分别列出关系式，根据二次函数的定义，进行选择即可． 【详解】解：A. 正方形周长与边长的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； B. 菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系，是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； C. 速度一定时，路程与时间的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； D. 等边三角形的面积与边长的关系，是二次函数关系，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】以下函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误； B、由得到，是一次函数，故本选项错误； C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确． 应选：D． 【例1-2】二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】根据二次函数定义：是二次项；是一次项；是常数项，从而得到答案． 【详解】解：根据二次函数定义可知，二次函数的常数项是， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义：是二次项；是一次项；是常数项是解决问题的关键． 【变式1-3】二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3， 故答案为：；3． 【变式1-4】当为何值时，函数是二次函数． 【答案】 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 即当为时，函数是二次函数． 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键． 【详解】解：A、，是一次函数，错误； B、，v一定，是一次函数，错误； C、，是二次函数，正确； D、，h一定，是一次函数，错误； 故选C． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【例2】某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（　　） A．y＝x2+a B．y＝a（x﹣1）2 C．y＝a（1﹣x）2 D．y＝a（1+x）2 【解答】解：依题意， 得y＝a（1+x）2． 故选：D． 【变式2-1】在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 【变式2-2】一件商品原价为元，连续两次降价，降价率均为，两次降价后该商品的售价价格为元，则与的函数关系式为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题的数量关系是：原价×（1-x）（1-x）=售价，设出原价，列出方程即可解答． 【详解】∵降价率为x，根据题意列方程得， ∴y=50（1-x）（1-x）=50（1-x）2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解答此题注意两次降价x的标准不同，第一次x以原价为标准，第二次x以第一次降价后的价格为标准． 【变式2-3】半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s与x之间的关系表达式为__________． 【答案】 【分析】根据增加的面积=增加后的面积-原来的面积建立等式就可以得出结论． 【详解】解：由题意，得 S=π（2+x）2-4π， S=πx2+4πx． 故答案为：S=πx2+4πx． 【点睛】本题考查了圆的面积公式的运用，根据圆的面积公式求二次函数的解析式的运用，灵活运用圆的面积公式是解题的关键． 易错点：根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而导致错误 【例3】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数， ∴|a+3|＝2且a+1≠0， 解得a＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 易错总结：求二次函数中字母参数的值，要根据二次函数定义，在保证二次函数中含自变量的代数式是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0的条件。解此题时，容易忽略二次项次数不为0这个条件，得出错解-5或-1. 考点1：根据二次函数的概念确定字母取值 1.已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（　　） A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1 【解答】解：由题意得： |m|＝2且m﹣2≠0， ∴m＝±2且m≠2， ∴m＝﹣2， 故选：C． 2.若函数是关于的二次函数，则____． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 3．已知函数是二次函数，求m的值． 【答案】 【详解】解：是二次函数，得 ， 解得：． 4．若． (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：(1)当是二次函数时， 有， 解得， ∴当时，此函数是二次函数； （2）当是一次函数时， 有， 解得或， ∴或时，此函数是一次函数． 考点2：根据实际问题列二次函数的表达式 5．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（400﹣5x） B．y＝（x﹣35）（600﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【解答】解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：y＝（x﹣35）（400﹣5x）， 故选：A． 6.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为　 　． 【解答】解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝100（1+x）2（x＞0）． 故答案为：y＝100（1+x）2（x＞0）． 7．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式． 【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30） 【详解】∵铁丝的长是60cm，一边长xcm， ∴另一边长是（30-x）cm， ∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）. 8．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 9．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ； （2）． 考点3：根据动态问题列二次函数的表达式 10．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【详解】，， ． 四边形 是 的内接矩形， ，，， ， ． ，， ∴， ， ． 11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF． (1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？ (2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？ 【答案】(1)5s (2) 【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C=30°， ∴CD=2DF，AC=2AB， ∵AC＝30cm， ∴AB=15cm， 根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm， ∴DF=2tcm， ∴DF=AE， ∵DF⊥BC， ∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当DF=AD时，四边形AEFD为菱形， 即30-4t=2t，解得：t=5； （2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm， ∴，， 由（1）得：四边形AEFD是平行四边形， ∴． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）． （2）当点Q与点C重合时，求t的值． （3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）；（2）；（3）当0＜t≤1时，，当1＜t＜2时，. 【详解】解：（1）∵PD⊥AC， ∴ ， ∵∠A=45°， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动， ∴ ， ∴ ，解得： ， ∵AC=， ∴； （2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°， ∴∠A=∠PQD=45°， ∴PA=PQ， ∴AD=DQ ，   ∵点Q与点C重合， ∴AD+DQ=AC， ∴2AD=AC， 即， 解得；   （3）①当0＜t≤1时， ，   ②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ， ， ∴ ∴． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意； B，，是的一次函数，不合题意； C，，一定是的二次函数，符合题意； D，中含有分式，不是二次函数，不合题意； 故选C． 2．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】二次函数的常数项为， 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 二、填空题 5．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到，，即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，，即， ， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据第一个月投放2000辆单车，第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，得到第二个月投放单车的数量为，第三个月投放单车的数量为，根据计划三个月共投放单车辆，得出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求函数解析式，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数关系式． 8．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是 ． 【答案】/ 【分析】根据增加的面积等于新正方形的面积减去边长为1的正方形的面积，求出即可． 【详解】由题意得： ． 故答案为：． 三、解答题 9.把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 10．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 11．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】(1)； (2)围成面积为的花圃，的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． 【详解】（1）解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 12．（22-23九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即，解得：； （2）解：，，，，， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ． 即 【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$