精品解析：2024年河南省周口市沈丘县联考押题卷二模数学试题

2024年河南省中考模拟第二次调研测试 数学试题卷 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行4层楼记为，则电梯下行3层楼应记为（ ） A B. C. D. 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 风云二号是我国自行研制第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 一副三角板如图摆放，直线，则的度数是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 如图，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图（1），在中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为1cm/s，设点的运动时间为，的长度（cm），与的函数图象如图（2）所示．当AP恰好平分时的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 12. 不等式组：的解集为______． 13. 我国古代数学家名著《九章算术》记载“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米512石，验得其中夹有谷粒．从中抽取谷米一把，共数得256粒，其中夹有谷粒16粒，估计这批谷米内夹有谷粒约______石． 14. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为______． 15. 如图，在矩形中，，E是边上一动点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A对应点为F．再作点B关于直线的对称点G，连接．当点G恰好落在矩形的边上时，线段的长为______． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. （1）计算：． （2）化简： 17. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min) 数据统计表 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24 数据折线统计图 根据以上信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 A线路所用时间 22 a 15 63.2 B线路所用时间 b 26.5 c 6.36 （1）填空：__________；___________；___________； （2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 18. 如图，中，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交于点； ②作的垂直平分线，垂足为点，交于点； （2）连接，求证：． 19. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：） 20. 为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗．经咨询，这两种花苗的价格都有零售价和批发价之分（若按批发价购买，则每种花苗购买数量不少于100株），零售时每株甲种花苗比每株乙种花苗多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，所用费用分别是100元、50元． （1）求甲、乙两种花苗的零售价； （2）该校预计批发这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株．设甲种花苗的批发数量为m株，相比按零售价购买可节约的资金总额为W元，求W与m之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值． 21. 如图，直线与反比例函数交于点和点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆，连接，取的中点，连接． （1）求和的值； （2）当时，直接写出的解集； （3）求阴影部分的面积． 22. 已知二次函数的图象经过点和，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）将二次函数的图象在点，之间的部分（包含点，）记为图象．已知直线：恒过点，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围； （3）在第（2）题的条件下，取最大值时，将直线向下平移，交抛物线于点和点，交线段于点，结合函数的图象，求的取值范围． 23. 如图，在矩形中，，点是对角线上一点，，延长交于点，过点作，交于点，交于点，点是的中点，连接． （1）问题提出： ①如图1，若，则______，______； ②如图2，若，求和的长度． （2）推广应用：若，请直接写出和的长．（用已知数或含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年河南省中考模拟第二次调研测试 数学试题卷 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行4层楼记为，则电梯下行3层楼应记为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】根据正数和负数的意义，将电梯上行4层楼记为，则电梯下行3层楼应记为． 故选A 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 3. 风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以 【详解】解：35800 故选D 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 4. 一副三角板如图摆放，直线，则的度数是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的性质，平行线的性质，即可求出角的度数． 【详解】解：如图， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识进行计算． 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据合并同类项，积的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，逐一进行计算，即可得出结果． 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项正确，符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种， 小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为， 故选：． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选B． 8. 如图，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，过点B作于点E，由点B的坐标可得，利用勾股定理求出，根据菱形的性质得到，且，即可得到点C的坐标． 【详解】解：过点B作于点E， 点的坐标为， ， ， 四边形是菱形， ，且与x轴重合， ， ， 故选：C． 9. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案． 【详解】解：设， 则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点． 故选：D 【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键． 10. 如图（1），在中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点运动速度为1cm/s，设点的运动时间为，的长度（cm），与的函数图象如图（2）所示．当AP恰好平分时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，求出，用P点移动的距离除以速度即可得出t的值． 【详解】解：如图，作的平分线交于点P，由题意中的函数图像知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或（舍）， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，解题的关键是证明． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 12. 不等式组：的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 我国古代数学家名著《九章算术》记载“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米512石，验得其中夹有谷粒．从中抽取谷米一把，共数得256粒，其中夹有谷粒16粒，估计这批谷米内夹有谷粒约是______石． 【答案】32 【解析】 【分析】根据样本中谷粒所占的比例即可判断总量中谷粒的占比． 【详解】样本中谷粒所占比例为：， 则总的512石谷米中含谷粒的量为：（石）， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了通过所占样本比例估算总体的知识，读懂题意是解答本题的关键． 14. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键．连接，，根据等腰三角形可求出，可证 ，求出，为等边三角形，根据切线的性质，可证，再证，在直角三角形中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 在中，，， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，，E是边上一动点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为F．再作点B关于直线的对称点G，连接．当点G恰好落在矩形的边上时，线段的长为______． 【答案】或3 【解析】 【分析】分点G落在上或者落在上两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图①，点G落在上， 沿直线BE翻折，点A的对应点为F， ， 点B，点G关于直线EF的对称，， ∴B、F、G三点共线， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图②，点G在上， 由上可知，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为或3， 故答案为：或3 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质等知识点，分类讨论的思想是解决本题的关键． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及立方根的求解，化简绝对值，平方差公式的运用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据乘方运算法则，绝对值的意义，立方根的求解计算各项再算加减即可； （2）先根据平方差公式，单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min) 数据统计表 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24 数据折线统计图 根据以上信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 A线路所用时间 22 a 15 63.2 B线路所用时间 b 26.5 c 6.36 （1）填空：__________；___________；___________； （2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 【答案】（1）19，26.8，25 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义将A线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为A线路所用时间的中位数a，利用平均数的定义求出B线路所用时间的平均数b，找出B线路所用时间中出现次数最多的数据即为B线路所用时间的众数c，从而得解； （2）根据四个统计量分析，然后根据分析结果提出建议即可． 【小问1详解】 解：将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数是18，20， ∴A线路所用时间的中位数为：， 由题意可知B线路所用时间得平均数为： ， ∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次， ∴B线路所用时间的众数为： 故答案为：19，26.8，25； 【小问2详解】 根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线． 因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线． 【点睛】本题考查求平均数，中位数和众数，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量求法是解题的关键． 18. 如图，中，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交于点； ②作的垂直平分线，垂足为点，交于点； （2）连接，求证：． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握尺规作图，线段垂直平分线，角平分线是解题的关键． （1）①根据作已知角的平分线的作法，即可求解；②根据作已知线段的垂直平分线的作法，即可求解； （2）连接，根据直线垂直平分，是的平分线，以及等腰三角形的三线合一的性质即可证明． 【小问1详解】 解：①如图所示，的平分线为所求； ②如图所示，的垂直平分线为所求； 【小问2详解】 证明：连接， 直线垂直平分， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， ，且， 是的垂直平分线， ， ． 19. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，垂足分别为M、N， 由题意可知，，，米，米， ∵， ∴， ∴（米）， 在中， ∴（米）， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约米． 20. 为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗．经咨询，这两种花苗的价格都有零售价和批发价之分（若按批发价购买，则每种花苗购买数量不少于100株），零售时每株甲种花苗比每株乙种花苗多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，所用费用分别是100元、50元． （1）求甲、乙两种花苗的零售价； （2）该校预计批发这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株．设甲种花苗的批发数量为m株，相比按零售价购买可节约的资金总额为W元，求W与m之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值． 【答案】（1）甲、乙两种花苗的零售价分别为10元/株、5元/株 （2）与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元 【解析】 【分析】（1）设乙种花苗的零售价为x元/株，则甲种花苗的零售价为（x＋5）元/株，根据数量＝总价÷单价，结合该单位以零售价分别用100元和50元采购了相同株数的甲、乙两种花苗，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲种花苗m株，则购买乙种花苗（1000−m）株，根据购进甲种花苗株数不少于乙种花苗株数的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额＝甲种花苗的批发价×购进数量＋乙种花苗的批发价×购进数量，即可得出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 设乙种花苗的零售价为元/株，则甲种花苗的零售价为元/株． 由题意，可得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲、乙两种花苗的零售价分别为10元/株、5元/株． 【小问2详解】 由题意，可得． ∵甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的， ∴， 解得， 故当时，取得最大值，为2750． 答：与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m的函数关系式． 21. 如图，直线与反比例函数交于点和点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆，连接，取的中点，连接． （1）求和的值； （2）当时，直接写出的解集； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别将代入与中，即可求出和的值； （2）联立直线与反比例函数，求出点B的坐标，再根据即为反比例函数图象在一次函数图象的上方时自变量的取值，结合图象即可解答； （3）由点A，点B的坐标得出点C的坐标，再根据点，为等腰两腰的中点，由勾股定理求出的长，根据即可求解． 【小问1详解】 解：将代入中，则，解得：； 将代入中，则，解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知直线与反比例函数， 联立，则，即， 解得：或， 当，， 根据题意：， 即为反比例函数图象在一次函数图象的上方， 或； 【小问3详解】 解：∵点，点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ 又 ∴ 又点，为的中点， ∴, ∴，即是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是的直径， ∴的半径长为， ． 【点睛】本题主要考查求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比函数交点问题，等腰三角形的性质以及求不规则图形的面积，勾股定理，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． 22. 已知二次函数的图象经过点和，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）将二次函数的图象在点，之间的部分（包含点，）记为图象．已知直线：恒过点，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围； （3）在第（2）题的条件下，取最大值时，将直线向下平移，交抛物线于点和点，交线段于点，结合函数的图象，求的取值范围． 【答案】（1）二次函数的表达式为，顶点坐标 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标； （2）二次函数的图象在点，之间的部分（包含点，）记为图象，求出点C的坐标，再根据直线：与图象有两个公共点，当直线：过点C，且在点C的下方和过点D在点D的下方时，直线：与图象有两个公共点，将点求出据此判断的范围； （3）先求出点B的坐标，可得，根据，则直线为：，易得轴，由二次函数的对称轴是直线，推出，故． 【小问1详解】 解：根据题意得：，即， 解得：， 二次函数的表达式为． ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， ， 直线恒过定点，． 如图，当直线：过点C，且在点C的下方和过点D在点D的下方时，直线：与图象有两个公共点， 当直线经过点C时， 轴， ， 当直线经过点时，与y轴交于点E， 根据题意得：， 解得：，， 时，直线：与图象有两个公共点； 【小问3详解】 解：令，则或， 根据题意得：， ， 如图， 由题意，则直线为：， 轴， 二次函数的对称轴是直线， ． ． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象的几何变换，一次函数与二次函数交点问题．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，点是对角线上一点，，延长交于点，过点作，交于点，交于点，点是的中点，连接． （1）问题提出： ①如图1，若，则______，______； ②如图2，若，求和的长度． （2）推广应用：若，请直接写出和的长．（用已知数或含的式子表示） 【答案】（1）①，；②， （2）， 【解析】 【分析】（1）①由，点是的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出，根据题意，易证，得到，再证明，得到，求出，即；②同理①，同理①易证，得到，即可求出，再证明，得到，由矩形中，，即可求出； （2）同理（1）求解即可． 【小问1详解】 解：①，点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； ②同理①， 同理①得：， ， ， ， ， ， ， ， 矩形中，， ； 【小问2详解】 解：同理（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 矩形中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握相似三角形判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$