精品解析：2024年江苏省连云港市灌云县西片中考三模数学试题

2023-2024学年度第二学期第二次教学质量检测九年级数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 3. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 一个几何体的三视图都不相同，这个几何体可能是（　　） A. 四棱锥 B. 长、宽、高均不相等的长方体 C. 球体 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的概念逐项判断即可． 【详解】解：A，四棱锥的左视图和主视图都是三角形，不合题意； B，长、宽、高均不相等的长方体的三视图都是长方形，但长、宽不同，符合题意； C，球体的三视图都是圆形，不合题意； D，圆锥的左视图和主视图都是三角形，不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查常见几何体的三视图，具备一定的空间想象能力是解题的关键． 5. 下面各图中的阴影部分，（ ）是扇形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形，据此解答． 【详解】解：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形， A选项不符合扇形特征，不是扇形； B选项符合扇形特征，是扇形； C选项不符合扇形特征，不是扇形； D选项不符合扇形特征，不是扇形； 故选B． 【点睛】掌握扇形的特征是解答本题的关键． 6. 如图是水平放置的圆形瓷砖，瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份．若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定阴影的面积在整个圆形瓷砖中所占的比例，根据这个比例即可求出小球落在阴影部分的概率． 【详解】解：因为在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大圆面积的一半，因此若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比，面积比，体积比等． 7. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醑酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醑酒个各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醑酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由清酒斗，可知醑酒有斗，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设清酒斗，则醑酒有斗， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 8. 如图，在扇形中，已知，，过点作于点，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的面积，涉及扇形、矩形和三角形的面积，解题的关键是数形结合．根据题意可计算出和的长度，在求出的长度，最后根据，即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ，， ， ， 故选：A． 二、填空题（共8小题） 9. 计算的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算求解即可． 【详解】解：， 故答案是：2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则． 10. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则___0（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能根据数轴得出，是解此题的关键． 根据可知a、b异号，结合a、b在数轴上的位置得到：． 【详解】解:，， ． 故答案为：． 11. 已知三角形的三边长分别为2，x，3，且x为奇数，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，进而确定的值即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，3，x，x为奇数， ∴，即：，则． 故答案为：3． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 13. 以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______°． 【答案】 【解析】 【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用． 14. 已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为_______． 【答案】﹣16 【解析】 【分析】先二次函数配方顶点式，再根据二次函数性即可求解． 【详解】解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16， ∵a=1＞0，函数开口向上，函数有最小值， ∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16． 故答案为：﹣16． 【点睛】本题考查二次函数的配方法，函数的性质，掌握二次函数的配方法，函数的性质是解题关键． 15. 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序实数对叫做点P在斜坐标系中的坐标．如图2，在斜坐标系中，已知点、点是线段上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作分别交于点E，F，可得即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作分别交于点E，F， ∵点、点 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】已知，设，，，利用勾股定理求的长，列方程，求出，可求的值．本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角函数的应用，关键是利用三角函数值求各边的长． 【详解】解：∵轴， ， 在中，， ， 设，， ， ． 矩形中，， ． ． ． ． ∵矩形的面积是6， ， ∴． ． ∵反比例函数在第二、四象限 ， ． 故答案为：． 三、解答题（共11小题） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为：． 19. 解方程： 【答案】x=1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边乘， 得， 解得：， 检验：当 时，， 所以，原分式方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 20. 如图，延长菱形边至点E，使得.连结、. （1）求证：； （2）连结.若，，试求的长. 【答案】（1） 证明：∵菱形中，. 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形得到.由，则，得到，，利用三角形内角和定理即可得到，得到结论； （2）过点B作交的延长线于点F. 在菱形中，，，则，，由可设，则，由勾股定理得到，则解得，得到.由得到，同理可得 ，.则，在中，由勾股定理即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点B作交的延长线于点F. 在菱形中，，， ∴，. 在中，， ∴设，则， 由勾股定理得到，， 则， 解得， ∴. ∵， ∴. 同理可得，在中，，. ∴， ∴在中，. 【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键. 21. 某校为了推进拓展性课程建设，计划成立“文学社”、“机器人”、“志愿者”、“健美操”等多个社团，要求每个学生都自主选择其中一个社团，学生会组织调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 某校被调查学生选择社团意向统计表 选择意向 所占百分比 文学社 机器人 a 志愿者 b 健美操 其它 （1）求本次调查的学生总人数及a，b的值； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1500名学生，试估计全校选择“志愿者”社团的学生人数． 【答案】（1）50；； （2） 条形统计图补充如图所示： （3）390人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解题的关键． （1）根据选择“文学社”的人数以及所占百分比即可求出总人数；根据选择“志愿者”人数和总人数即可求出b的值，再根据总百分比和为即可求出a的值． （2）根据总人数计算出选择“机器人”的人数，然后补充统计图即可． （3）根据样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：总人数：（人）， ， ． 【小问2详解】 选择“机器人”的人数：（人） 条形统计图如答案所示： 【小问3详解】 （人） 答：估计全校选择“志愿者”社团的学生人数有390人． 22. 2023年9月5日，长春市第一届运动会开幕式在长春奥林匹克公园体育场举行．本次赛会以 “同享市运精彩，共创长春未来”为主题，会徽取抽象的运动人物造型和长春的首位字母“C”融合变形塑造，吉祥物“鹿娃”充分展现了“宽容大气、自强不息”的长春城市精神．现有三张不透明卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“鹿娃”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀． （1）若小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． （2）若小明从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、） 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，树状图法求概率： （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）画出树状图进行求解即可． 【小问1详解】 解：“抽到卡片上的图案是会徽”可能发生也可能不发生，是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 画出树状图如图： 由图知，共有9种等可能的结果，其中小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的结果有4种， ∴． 23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端B到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）真空管上端B到水平线的距离为 （2）安装热水器的铁架水平横管的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过点作交于点，根据坡度比得到，设，再利用勾股定理建立方程进行求解即可； （2）利用，求出的长，根据，以及，求出的长度，再根据，求出的长，再用即可求出的长度． 【小问1详解】 解：过点作交于点， 由题意，得：， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴真空管上端B到水平线的距离为； 【小问2详解】 解：由题意，得：，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 答：安装热水器的铁架水平横管的长度为． 24. 如图，已知在中，，以为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接． ①试判断直线与的位置关系，并说明理由． ②若，的半径为3，求的长． 【答案】（1） 如图，为所作垂线． （2）①与相切， 理由：在中，，是的垂线， ，且是的垂直平分线， ， ． 与相切于点， ， 即， 与相切． 故与相切． ② 【解析】 【分析】本题考查圆的切线、垂直平分线性质和勾股定理，熟练掌握是解题的关键． （1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点、点为圆心，作半径相同的圆，交点于，连接并延长交的延长线于点． （2）根据垂直平分线性质求得，则与相切． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 解：如图所示： ①与相切． 理由：在中，，是的垂线， ，且是的垂直平分线， ， ． 与相切于点， ， 即， 与相切． 故与相切． ②在中，，， ， 根据勾股定理，可得， ， 在中，， ． 故答案为． 25. 新春佳节来临，某公司组织辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共吨去外地销售，要求辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围． （2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值． 【答案】（1） （2）装运苹果的车辆辆，装运芦柑的车辆辆，运香梨的车辆辆时，此次销售获利最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆，根据表格可列出等量关系式，化简即可得出答案； （2）由利润=车辆数×每车水果获利可得与的函数关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆． ， ． 【小问2详解】 根据题意，得 ， 即， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值万元， 装运苹果的车辆辆，装运芦柑的车辆辆，运香梨的车辆辆时，此次销售获利最大，最大利润为万元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且垂直于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为． 　　 （1）当时，求点的坐标； （2）连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； （3）在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）解：最小值为，理由如下： 如图3，由（2）知，当时，， 此时 则，，则的面积为1，不合题意舍去． 当时，， 则， ∴，此时的面积为3，符合题意 ∴． 依题意，四边形是正方形， ∴． 取的中点，在中可求得． 在中可求得． ∴当三点共线时，取最小值，最小值为． 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在． （3）由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意舍去．当时，，此时的面积为3，符合题意．由题意可求得．取的中点，在中可求得．在中可求得．易知当三点共线时，取最小值，最小值为． 【小问1详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标． ∵，点和点关于直线对称． ∴． 【小问2详解】 由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴，抛物线． ∴当时，可得． ①当时，如图1，过作轴，垂足为． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． ∵直线轴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴． 解得或． ∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意． 将代入， 得． 　　 　　 ②当时，如图2，过作，交的延长线于点． 同理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴．解得或． ∵， ∴．此时符合题意． 将代入，得． ③当时，此情况不存在． 综上，所对应的函数表达式为或． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键． 27. 已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在x轴上方，与y轴的夹角为． （1）如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标； （2）①如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标； ②如图3，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正方形综合，涉及三角函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理，数量掌握这些性质是解题的关键． （1）过点A作轴于点E，设，求出，可得，再用含的式子表示出，即可求解； （2）①过点A作轴于点E，过B作轴于点F，同（1）方法求出，求出、，证即可求出； ②过点A作轴于点H，过点B作延长线于点G，同（1）求出，证即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作轴于点E， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：（负值舍）， ∴， ∴点坐标为； 【小问2详解】 ①如图，过点A作轴于点E，过B作轴于点F， ∴， ∵，， ∴，即，， 设， ∴， 解得：（负值舍）， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，过点A作轴于点H，过点B作延长线于点G， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：（负值舍）， ∴，， ∵，轴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 即． 【点睛】本题考查了反比例函数与正方形综合，涉及三角函数、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，数量掌握这些性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期第二次教学质量检测九年级数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体的三视图都不相同，这个几何体可能是（　　） A. 四棱锥 B. 长、宽、高均不相等的长方体 C. 球体 D. 圆锥 5. 下面各图中的阴影部分，（ ）是扇形． A. B. C. D. 6. 如图是水平放置的圆形瓷砖，瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份．若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醑酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醑酒个各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醑酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，已知，，过点作于点，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题） 9. 计算的结果是______． 10. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则___0（填“”，“”或“”）． 11. 已知三角形的三边长分别为2，x，3，且x为奇数，则_____． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 13. 以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______°． 14. 已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为_______． 15. 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序实数对叫做点P在斜坐标系中的坐标．如图2，在斜坐标系中，已知点、点是线段上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式：____________________． 16. 如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则___． 三、解答题（共11小题） 17. 计算： 18. 解方程组：． 19. 解方程： 20. 如图，延长菱形边至点E，使得.连结、. （1）求证：； （2）连结.若，，试求的长. 21. 某校为了推进拓展性课程建设，计划成立“文学社”、“机器人”、“志愿者”、“健美操”等多个社团，要求每个学生都自主选择其中一个社团，学生会组织调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 某校被调查学生选择社团意向统计表 选择意向 所占百分比 文学社 机器人 a 志愿者 b 健美操 其它 （1）求本次调查的学生总人数及a，b的值； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1500名学生，试估计全校选择“志愿者”社团的学生人数． 22. 2023年9月5日，长春市第一届运动会开幕式在长春奥林匹克公园体育场举行．本次赛会以 “同享市运精彩，共创长春未来”为主题，会徽取抽象的运动人物造型和长春的首位字母“C”融合变形塑造，吉祥物“鹿娃”充分展现了“宽容大气、自强不息”的长春城市精神．现有三张不透明卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“鹿娃”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀． （1）若小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． （2）若小明从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、） 23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端B到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 24. 如图，已知在中，，以为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接． ①试判断直线与的位置关系，并说明理由． ②若，的半径为3，求的长． 25. 新春佳节来临，某公司组织辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共吨去外地销售，要求辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围． （2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且垂直于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为． 　　 （1）当时，求点的坐标； （2）连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； （3）在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 27. 已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在x轴上方，与y轴的夹角为． （1）如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标； （2）①如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标； ②如图3，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $