2.3.2 两点间的距离公式同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.2　两点间的距离公式 一、必备知识基础练 1.[探究点一][2024福建仓山校级期末]已知O为原点,B(4,-3),C(0,5),则△OBC的边BC上的中线长为(　　) A.2 B. C. D.5 2.[探究点一][2024广东香洲校级期末]已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,则实数m等于(　　) A.1 B.3 C.1或3 D.-1或3 3.[探究点一][2024天津河西期末]已知点A(-1,2),B(2,),P为x轴上一点,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为(　　) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 4.[探究点一]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是(　　) A.2 B.4 C.5 D. 5.[探究点三][2024海南琼山校级期末]已知两点A(1,2),B(3,6),动点M在直线y=x上运动,则|MA|+|MB|的最小值为(　　) A.2 B. C.4 D.5 6.[探究点一]已知△ABC的三顶点A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),则BC边上的高AD的长度为　　　　　.  7.[探究点二]如图,△ABC是边长为1的正三角形,M,N分别为线段AC,AB上一点,满足AM∶MC=1∶2,AN∶NB=1∶3,直线CN与BM的交点为P,则线段AP的长度为　　　. 8.[探究点三][2024陕西雁塔校级期末]已知点A(1,1),B(2,2),点P在直线y=x上,求|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标. 二、关键能力提升练 9.[2024江苏高二期末]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且AB线段的中点为P,则线段AB的长为(　　) A.11 B.10 C.9 D.8 10.[2024重庆长寿校级期末]已知点R在直线x-y+1=0上,M(1,3),N(3,-1),则||RM|-|RN||的最大值为(　　) A. B. C. D.2 11.[2024浙江舟山期末]已知点P在直线y=x+3上,A(1,0),B(3,0),则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A. B.5 C. D.2 12.[2024江苏高二期末]直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B,则|AB|=　　　　　.  13. [北师大版教材习题]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=kx+1上的两点,若|x2-x1|=3,且|AB|=6,求直线l的方程. 三、学科素养创新练 14.[2024四川旌阳校级月考]设m∈R,过定点A的动直线x+my-2=0与过定点B的动直线mx-y+4=0交于点P(x,y),则|PA||PB|的最大值是　　　　　. 15.[2024甘肃嘉峪关高二校考期末]函数f(x)=的最小值是　 . 答案 1.B　由题得,线段BC的中点坐标为,即(2,1), 则△OBC的边BC上的中线长为.故选B. 2.C　因为点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2, 所以|MN|==2, 即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3. 故选C. 3.B　由题意设P(a,0),由|PA|=|PB|,可得, 解得a=1, 所以点P的坐标为(1,0).故选B. 4.D　根据中点坐标公式得=1,=y, 解得x=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1), 则点P到原点的距离d=. 5.B　根据题意画出图形,如图所示.作点A关于直线y=x的对称点A'(2,1),连接A'B, 则|A'B|即为|MA|+|MB|的最小值,且|A'B|=. 故选B. 6.　由两点间距离公式得AB=,BC=,AC=. ∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴D为BC的中点. 由中点坐标公式易得D. ∴AD=. 7.　以A为原点,AB边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C,M,N, 所以直线BM的方程为y=(x-1),即x+5y-=0.直线CN的方程为y=, 即4x-2y-=0. 联立解得即P, 所以AP=. 8.解 设P(2t,t),则|PA|2+|PB|2=(2t-1)2+(t-1)2+(2t-2)2+(t-2)2=10t2-18t+10=10,当t=时,|PA|2+|PB|2取得最小值,此时P, 故|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标为. 9.B　因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直, 所以2×=-1,解得a=2,所以线段AB的中点为P(0,5).设A(m,2m),B, 则解得 所以A(4,8),B(-4,2), 故|AB|==10.故选B. 10.C　设点M(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为M'(x,y), 则解得即M'(2,2). ∵N(3,-1), ∴||RM|-|RN||=||RM'|-|RN||≤|M'N|=. 故选C. 11.D　设点A关于直线y=x+3的对称点为C(x,y), 取直线y=x+3上一点P,连接PA,PB,PC.连接BC交直线y=x+3于点P1, 连接AP1,P1C,AC,如图所示, 则 解得即C(-3,4). 因为点A,C关于直线y=x+3对称, 所以直线y=x+3是线段AC的垂直平分线, 所以|PA|=|PC|,则|PA|+|PB|=|PC|+|PB|≥|BC|, 当且仅当点P运动到P1处时,|P1C|+|P1B|=|BC|, 所以|PA|+|PB|的最小值为|BC|==2.故选D. 12.　将直线l1的方程变形为3ax-(y+2)=0,由可得即A(0,-2). 将直线l2的方程变形为a(2x+5y)-(x+1)=0, 由可得即B. 故|AB|=. 13.解 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+1上, 所以y1=kx1+1,y2=kx2+1, 所以y2-y1=k(x2-x1). 所以|AB|=×3=6,所以k=±, 所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1. 14.10　由x+my-2=0,得x-2+my=0,故A(2,0). 由mx-y+4=0,得B(0,4). 由于直线x+my-2=0与直线mx-y+4=0互相垂直,所以PA⊥PB, 故|PA|2+|PB|2=|AB|2=4+16=20, 所以|PA|2+|PB|2≥2|PA||PB|, 则|PA||PB|≤10,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立, 故|PA||PB|的最大值是10. 15.5　因为f(x)=, 设A(-1,2),B(3,1),P(x,0),则f(x)表示点P(x,0)到点A(-1,2),B(3,1)两点的距离之和, 即|PA|+|PB|. 因为P是x轴上的点,则点A关于x轴的对称点为A'(-1,-2), 则|PA|=|PA'|, 所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==5,所以f(x)的最小值是5. 学科网（北京）股份有限公司 $$