课后分层练(十九)　两点间的距离公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十九)]　两点间的距离公式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　 ) A．2 B．3 C． D． 解析：选C.由中点坐标公式可得BC边的中点D，由两点间的距离公式得|AD|＝＝. 2．(多选)已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，则x＝(　　 ) A．－9 B．－5 C．5 D．9 解析：选BD.由|MN|＝7， 得|MN|＝＝7， 即x2－4x－45＝0，解得x＝9或x＝－5， 故所求x的值为9或－5. 3．(多选)在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B的坐标可能是(　　 ) A．(2，0) B．(6，4) C．(4，6) D．(0，2) 解析：选AC.设B(x，y)， 则 解得或故点B的坐标是(2，0)或(4，6). 4．(易错题)已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　 ) A．0 B．2 C．4 D． 解析：选B.∵S＝＋＝＋，∴S可以看作点(x，y)到点(－1，0)和点(1，0)的距离之和， 如图所示，∴当点(x，y)在x轴上，且位于点(－1，0)和点(1，0)之间时，S取最小值，最小值是2. 5．(学科融合)光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A走到B的路程为(　　 ) A．5 B．2 C．5 D．10 解析：选C.如图，作点A(－3，5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，连接A′B，则光线从A到B走过的路程等于|A′ B|，即＝5. 6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点P(2，－1)，则|AB|＝________． 解析：设A(x，0)，B(0，y)，由中点坐标公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝2. 答案：2 7．已知点P(－2，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则直线l过定点________，点P到直线l的距离d的最大值为________． 解析：直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0， 令解得x＝y＝1，因此直线l经过定点Q(1，1)， 当直线PQ⊥直线l时，点P到直线l的距离d有最大值，最大值为|PQ|＝＝. 答案：(1，1)　 8．(2025·石家庄高二期末)已知两点P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，则|PQ|的最大值为________． 解析：因为P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)， 所以|PQ|＝ ＝ ＝ ＝， 因为cos (α－β)∈[－1，1]，所以|PQ|∈[0，2]，即|PQ|的最大值为2. 答案：2 9．在△ABC中，AO是BC边上的中线，用坐标法求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 证明：以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则O(0，0)，设B(－a，0)，C(a，0)，A(m，n)， 其中a>0， 则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 【综合运用】 10．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　 ) A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－1，2) D．(0，1) 解析：选BC.设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或 11．已知菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，D(－3，1)，A(－1，0)，则点C的坐标为(　　 ) A．(－1，2) B．(－2，1) C．(－1，1) D．(2，2) 解析：选A.∵四边形ABCD为菱形，BD∥x轴， ∴AC⊥x轴，∴可设C(－1，t)，∵|AD|＝|CD|， ∴＝，解得t＝0(舍)或t＝2，∴C(－1，2). 12．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________． 解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)， 所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2， |PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，即＝10. 答案：10 13．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则|PQ|的最小值为________． 解析：易知A(0，1)，B(1，0)，所以直线AB：y＝1－x. 又Q(0，－2)，设P(x0，y0)，则y0＝1－x0， 所以|PQ|＝＝＝≥＝(当且仅当x0＝时等号成立)，所以|PQ|的最小值为. 答案： 14．如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明|AE|＝|CD|. 证明：如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则A(－a，0)，C(c，0)，E，D， 由距离公式得 |AE|＝＝， |CD|＝＝. 所以|AE|＝|CD|. 【创新探索】 15．(2025·云南高二期末模拟)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a，0)， 依题意得A(－a，0). |AB|2＋|BC|2－|AC|2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 学科网（北京）股份有限公司 $