精品解析：浙江省绍兴市新昌县拔茅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023学年第二学期期中试卷八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断根式最简二次根式的两个条件：被开方数中，不含能开的得尽方的因数或因式；被开方数是整数或整式． 【详解】A、，被开方数有能开方开的尽的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、符合最简二次根式的概念 D、，不是最简二次根式； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，满足被开方数中不含能开的尽方的因数或因式以及被开方数的因数是整数，因式是整式的根式叫做最简二次根式． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（　　） A. B. 6 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式后，常数项为， 一般形式为， 一次项系数是， 故选：A． 3. 已知一组数据是8，4，7，，10，其平均数是7.4，则的值为（ ） A 7.4 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数的概念．熟记“公式：”是解决本题的关键．利用平均数公式计算即可求出a的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：B． 4. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、将二次项系数化为1、配方即可求解． 【详解】解：， 移项：， 配方：， 即：， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式加减乘除运算，根据运算法则依次判断即可，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：A、不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系．求出根的判别式，判断其的符号即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴没有实数根， 故选：C． 7. 经过某公司统计，年该企业员工所创收入额与其所对应的人数如下表： 收入额/万元 人数/人 那么关于如上统计描述正确的是（ ） A. 中位数，众数是 B. 中位数是，众数是 C. 中位数是，平均数是 D. 众数是，平均数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，根据表格数据求得中位数，众数，平均数即可求解． 【详解】解：众数为：13， 中位数为第个数据，为， 平均数为， 故选：C． 8. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长，宽的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出正确的方程是解答本题的关键． 根据题意，设边框的宽度为，则长为，宽为，列出方程为：，由此得到答案． 【详解】解：根据题意， 设边框的宽度为， 则整个挂图的长为，宽为， 列出方程为：， 故选：． 10. 已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（　　） A. 17或19 B. 15或17 C. 13或15 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．根据方程有两个实数根，得到6是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ， ； 不管m去何值，方程都有两个不相等的实数根， 一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根， ∴6是腰长，是方程的一个根， ∴，整理，得：， 解得：或， 当时，， 解得， 此时等腰三角形的三边长：，周长； 当时，， 解得， 此时等腰三角形的三边长：，周长． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案． 【详解】解：∵次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠D=_____． 【答案】130° 【解析】 【详解】解：由平行四边形对角相等可得∠A=∠C， 又因∠A+∠C=100°， 所以∠A=∠C=50°. 根据平行四边形的邻角互补可求的∠D=130°. 考点：平行四边形的性质. 13. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 14. 已知a，b是方程的两个根，则数据：4，a，b，b，7的平均数是______． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查了求平均数及解一元二次方程，先求得一元二次方程的解，，再分类讨论：当，时及当，时，利用求平均数的方法即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：， 解得：，， 当，时， 数据：4，1，2，2，7的平均数为：， 当，时， 数据：4，2，1，1，7的平均数为：， 故答案为：或3． 15. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，当时，原方程为，此时原方程有实数根；当时，原方程为一元二次方程，则，据此求解即可． 【详解】解：当时，原方程为，解得，原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程，则， ∴， ∴且； 综上所述，， 故答案为：． 16. 对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分母有理化，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 三、解答题（本大题有8小题，第17~18题每题5分，第19~22题每题6分，第23题8分，第24题10分，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解题的关键． （1）先把化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方程是解题关键． （1）利用直接开方法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解方求一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ． 19. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 （1）填空：________，________，________； （2）求乙组的值； （3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选________组． 【答案】（1）6，7，7 （2） （3）乙 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据方差的计算公式计算即可得出答案； （3）根据平均数，众数，中位数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：甲组位于正中间的两个数均为6，乙组中出现次数最多的是7， ∴；； ； 故答案为：6；7；7 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：根据题意得：两组的平均数相同，乙组的中位数，众数均高于甲组，且乙组的方差小于甲组的， ∴乙组的成绩较好， ∴选乙组． 故答案为：乙 20. 如图，在五边形中，，的平分线与的平分线交于点P，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式以及三角形内角和、角平分线的定义，根据三角形内角和、角平分线的定义，得出，结合正多边形的内角和公式，代入化简得出，即可作答． 【详解】∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ 21. 某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？ 【答案】每件工艺品单价应降25元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件，根据总利润等于每件的销售利润乘以销售数量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量件， 依题意，得：， 整理，得， 解得：， 尽快减少库存，（舍去）， 答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元． 22. 如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，，连接，． （1）求证：． （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．证明是解题的关键． （1）利用角角边证明即可； （2）证明四边形为平行四边形，求得中、的长，再根据勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由得：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）若；则______，______． （2）的值为_________． （3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1），； （2）； （3），证明见详解； 【解析】 【分析】（1）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第8个等式，即可答案； （2）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第100个等式：即可答案； （3）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第个等式：，再证明即可 【小问1详解】 解：由题意可得， ， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可得， 第n个等式为：， 证明：左边 右边， ∴． 24. 如果关于一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________． 【答案】（1）是 （2）26或5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力． （1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义解得或，然后把或代入所求的代数式中运算即可； （3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以， 则方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 解：， 或， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式值为26或5； 【小问3详解】 解：根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得 ， 解得 或（舍去）， ∴m的值为； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期期中试卷八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（　　） A. B. 6 C. 2 D. 3. 已知一组数据是8，4，7，，10，其平均数是7.4，则的值为（ ） A. 7.4 B. 8 C. 9 D. 10 4. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 无法判断 7. 经过某公司统计，年该企业员工所创收入额与其所对应的人数如下表： 收入额/万元 人数/人 那么关于如上统计描述正确的是（ ） A. 中位数，众数是 B. 中位数是，众数是 C. 中位数是，平均数是 D. 众数是，平均数是 8. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 9. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长，宽的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（　　） A. 17或19 B. 15或17 C. 13或15 D. 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠D=_____． 13. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 14. 已知a，b是方程的两个根，则数据：4，a，b，b，7的平均数是______． 15. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围________． 16. 对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ______ ． 三、解答题（本大题有8小题，第17~18题每题5分，第19~22题每题6分，第23题8分，第24题10分，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 （1）填空：________，________，________； （2）求乙组的值； （3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选________组． 20. 如图，在五边形中，，的平分线与的平分线交于点P，求． 21. 某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？ 22. 如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，，连接，． （1）求证：． （2）连接交于点，若，，求的长． 23. 观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）若；则______，______． （2）值为_________． （3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $