专题08 立体几何大题常考题型归类（考题猜想，6题型）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）

专题08 立体几何大题 一．共面、共线、共点的证明 1．（23-24高二上·北京·月考）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且. (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 2．（23-24高一下·江苏高邮·月考） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 3．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 4．（22-23高一下·四川绵阳·月考）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点. (1)已知点满足，求证四点共面； (2)求三棱柱的表面积. 5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 二．平行与垂直证明综合 1．（23-24高一下·河北张家口·月考）在正方体中，O是的中点，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若P是的中点，求证：平面平面. 2．（23-24高一下·天津·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点F. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 3．（23-24高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： (1)平面； (2) 4．（23-24高一下·江苏盐城·月考）在三棱柱中，侧面底面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 5．（23-24高一下·安徽·月考）如图，在直四棱柱中，四边形为等腰梯形，，，，点E是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证：平面. 三．直线与平面所成角求解 1．（23-24高一下·湖南永州·月考）如图，在长方体中，， (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正切值. 2．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 3．（23-24高一下·山西运城·月考）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 4．（23-24高一下·河北沧州·月考）如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，. (1)证明：. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 5．（23-24高二上·河南·月考）如图，已知平面ACD，平面ACD，三角形ACD是正三角形，且，F是CD的中点． (1)求证：平面平面CDE； (2)求直线EF与平面CBE所成角的正弦值． 四．空间二面角求解 1．（23-24高一下·江苏·月考）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算） 2．（23-24高一下·广西南宁·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正切值. 3．（23-24高一下·河南郑州·月考）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面. (1)求证：； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 4．（23-24高三下·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（23-24高一下·浙江·月考）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 五．等体积法求点到平面的距离 1．（23-24高一下·河南周口·月考）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. (1)证明：平面； (2)求点C到平面的距离. 2．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知正方体的棱长为. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 3．（2024·四川·三模）正方体的棱长为2，分别是的中点. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离. 4．（23-24高一下·河南安阳·月考）如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求到平面的距离． 5．（23-24高一下·福建莆田·期中）正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离. 六．立体几何中的动点探究问题 1．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 2．（23-24高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 3．（2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 4．（22-23高一下·广东广州·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，且侧面面ABCD，O是AD的中点，. (1)求证：平面平面POB； (2)当时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 5．（2023高一·全国·专题练习）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 立体几何大题 一．共面、共线、共点的证明 1．（23-24高二上·北京·月考）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且. (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）、分别是、的中点，， ，，. （2）因为，，平面， 所以平面，同理平面. 所以是平面与平面的公共点， 又平面平面， 所以，所以三点共线 2．（23-24高一下·江苏高邮·月考） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以. 又因为，所以.所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内，即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，， 所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M，即， 因为平面，所以点平面， 可得点平面. 又因为平面平面，所以点直线，所以直线，，三线共点． 3．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则，即， 所以四点共面. 4．（22-23高一下·四川绵阳·月考）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.    (1)已知点满足，求证四点共面； (2)求三棱柱的表面积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）在正方体中，取中点，连接，如图， 因为是的中点，则， 即四边形是平行四边形，则有， 由，知为的中点，而为中点，于是，即有， 所以四点共面. （2）显然三棱柱是直三棱柱，， 上下两个底面的面积和为， 侧面积， 所以三棱柱的表面积. 5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【解析】（1）连接，如图： 分别是的中点，，， 且， ∴四边形为平行四边形，， 在中，分别是的中点，，， 且四点共面， 设，平面，平面， 平面，平面， 平面平面， 三条直线相交于同一点； （2），三棱锥的高为， 点是棱的中点，， 点分别是棱的中点，，， ． ． 二．平行与垂直证明综合 1．（23-24高一下·河北张家口·月考）在正方体中，O是的中点，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若P是的中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）连接， 因为分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面， 所以平面平面. 2．（23-24高一下·天津·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点F. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）连接，交于，连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点， 在中，是中位线，所以， 而平面且平面， 所以，平面. （2）证明：由底面，面，得， 因为底面是正方形，有， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又，，平面，所以平面． 3．（23-24高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： (1)平面； (2) 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）取线段的中点，连接， 分别为中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 取线段的中点，连接，则，， 又，，∴四边形为正方形， 设，则， ，， ，； 又，平面，平面， 平面，. 4．（23-24高一下·江苏盐城·月考）在三棱柱中，侧面底面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：连接，设， 因为四边形为平行四边形，所以为的中点. 因为为的中点，所以. 又平面平面，所以平面. （2）证明：在中，由，得，即； 在中，同理可得. 因为侧面底面，侧面底面， 底面，所以平面 又平面，所以， 又， 平面平面，所以平面 5．（23-24高一下·安徽·月考）如图，在直四棱柱中，四边形为等腰梯形，，，，点E是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：（1）因为，点E是线段的中点， 所以，所以， 又，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. 同理，，平面，平面， 所以平面. 又，，平面．所以平面平面. （2）如图，作，垂足为F. 因为，所以， 又因为，所以，所以 由勾股定理得， 所以，所以， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面. 因为平面平面，所以平面. 三．直线与平面所成角求解 1．（23-24高一下·湖南永州·月考）如图，在长方体中，， (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接， 由题意可知：为正方体，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得. （2）由题意可知：平面，则即为直线与平面所成角， 又因为，则， 所以所求角的正切值为 2．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形，则， 又在平面外，平面，故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为，即平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，，即， 故直线与平面所成角的大小为. 3．（23-24高一下·山西运城·月考）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，分别为线段，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面.    因为，分别为线段，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面平面. （2）由题知平面，平面，故，故， 因为四边形是菱形，且， 则，所以. 而，故.     设为点到平面的距离，与平面所成的角为，故. 又， 而，故，故.     故，即与平面所成角的正弦值为. 4．（23-24高一下·河北沧州·月考）如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，. (1)证明：. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为为的中点，所以 又，所以， 因为，所以，所以四点共面， 因为且都在面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）因为平面，面，所以. 又，由，即， 因为，所以，则 由题设知，因为，且都在内， 所以平面，面，所以，且 设到平面的距离为， 由，且都在面内，故面， 因为，平面，平面，所以平面， 综上， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．（23-24高二上·河南·月考）如图，已知平面ACD，平面ACD，三角形ACD是正三角形，且，F是CD的中点． (1)求证：平面平面CDE； (2)求直线EF与平面CBE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为平面ACD，平面CDE，所以平面平面ACD． 在底面ACD中，，平面平面， 由面面垂直的性质定理知，平面CDE． 取CE的中点M，连接BM，FM， 由已知可得且，则四边形FMBA为平行四边形，从而． 所以平面CDE． 又平面BCE，则平面平面CDE． （2）过F作交CE于N，则平面CBE，连接EF， 则就是直线EF与平面CBE所成的角． 设，则，，，， 在中，∴． 故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为． 四．空间二面角求解 1．（23-24高一下·江苏·月考）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算） 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）已知底面是菱形，如图，设其中心为，则是线段和的中点. 由于是的中点，故， 而在平面内，不在平面内，所以平面. （2）我们有，. 而是的中点，所以，， 从而二面角的正切值就是. 而由于，， 故. 所以二面角的正切值为. 2．（23-24高一下·广西南宁·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为平面平面，平面平面，且，即，面， 所以平面，而平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面，面，即， 由面，则， 又，，， 所以，， 则，故， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以点到平面的距离即为点到直线的距离； 设点到平面的距离为，则， 设点到平面的距离为，则， 所以，即， 解得，即点到平面的距离为. （2）如图：取中点，连结BD，取中点，连结， 因为，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，面，所以平面， 又，，所以，， 由题设易知为正方形，则，且， 所以且， 则平面， 所以平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，即为二面角的平面角， . 3．（23-24高一下·河南郑州·月考）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面. (1)求证：； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以； （2）延长与交于点，连接，则平面平面， 因为，,所以是的中点， 又因为，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面与平面所成角的平面角， 在中，因为，可得， 在中，因为，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．（23-24高三下·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为平面平面，平面平面， 又平面，，所以平面， 又平面，所以， 过C作交于点G，则由题意， 所以，， 所以，即， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）过A作交于点E， 由（1）可得平面平面，又平面平面， 所以平面，点A到平面PBC的距离为，所以， 又由（1）平面可得， 所以，所以， 延长交于点S，则平面平面， 又由为等腰梯形，且以及，可得 ，分别为的中点， 连接，则，且， 又由平面，可得，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以，过D作，交于点，连接， 则由得平面，所以为二面角的的平面角， 又在和中，， 所以，故， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 5．（23-24高一下·浙江·月考）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由平面为正方形，因为，所以， 又因为，，所以，所以， 又，且，平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，平面平面. （2）因为直角三角形中，. 所以，所以为等边三角形. 又因为为等腰三角形. 所以取得中点，连结，，则，， 所以为二面角的平面角. 因为直角三角形中，. 在等边三角形中， 所以在三角形中，. 所以二面角的余弦值为. 五．等体积法求点到平面的距离 1．（23-24高一下·河南周口·月考）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. (1)证明：平面； (2)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）∵，，，∴， 又为等边三角形，∴， 在中，由余弦定理得， 解得，∴，即． ∵，，平面，∴平面. （2）取中点，连接，∵为等边三角形，∴， 又由（1）可知平面，平面，∴， 又∵，且平面，∴平面. ∵为的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离． 在中，可知，在中，可知， ∵是的中位线，∴， 可得的面积 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 又的面积， 点E到平面的距离为， ∴三棱锥的体积. 由，得，即点到平面的距离为. 2．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知正方体的棱长为. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图，连接，因为平面，平面,则， 又因为，且平面，得平面， 又平面，所以； 因为平面，平面，则， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. （2）由为的中点，得，且， 所以， 由，得， 即，解得， 即点到平面的距离为. 3．（2024·四川·三模）正方体的棱长为2，分别是的中点. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1） 连接，因为分别是的中点， 由中位线定理得，又， 所以，所以四点共面，由于是AD的中点， 则且那么四边形为平行四边形， 从而，又面面故面， （2）由上问结论知点到平面的距离等于点到平面的距离. 易得， 利用余弦定理得 则 设点到平面的距离， 利用等体积法， 可得， 即点到平面的距离为. 4．（23-24高一下·河南安阳·月考）如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接，交于，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为D为线段AC的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，，D为线段AC的中点， 所以，且，， 因为直棱柱中平面，面，所以， 因为，平面，所以平面， 即点到平面的距离为，由线面垂直的性质易得， 在直角三角形中，，， 所以面积，又三角形的面积为. 设到平面的距离为，因为，所以， 所以，解得，即到平面的距离为. 5．（23-24高一下·福建莆田·期中）正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接，设，连接 因为是正三棱柱的侧面，所以为矩形， 所以是的中点，所以是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为，为的中点，， 所以，， 故， 又平面，， 所以 又， 由正三棱柱的性质可知，平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 设点到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点到平面的距离为. 六．立体几何中的动点探究问题 1．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点为的中点 【解析】（1）证明：如图，连接交于，连接． 正方体，底面为正方形，， 为的中点，又为的中点， 是的中位线，‖， 又平面，平面， ‖平面． （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下：连接，， 为的中点，为的中点，‖，， 四边形为平行四边形，‖， 又平面，平面，‖平面． 由（1）知‖平面， 又，，平面，平面‖平面． 2．（23-24高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)点为的中点，理由见解析. 【解析】（1）取点为棱的中点， 又因为点为棱的中点，所以，且， 又因为，且，所以 则四边形是平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面； （2）存在点为的中点，满足平面. 因为点为的中点，点为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 再由平面，，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面. 3．（2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，且点为棱的中点 【解析】（1）证明：取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形，所以，且， 因为为的中点，则且， 因为、分别为、的中点，所以，且， 所以，且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为、分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2）当点为的中点时，平面平面， 因为四边形为矩形，则，因为，则， 因为四边形为菱形，则， 因为，则为等边三角形， 因为为的中点，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 因此，当点为的中点时，平面平面. 4．（22-23高一下·广东广州·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，且侧面面ABCD，O是AD的中点，.    (1)求证：平面平面POB； (2)当时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1），为中点，所以， 因为侧面面ABCD，且侧面面，平面， 所以面ABCD，因为面，所以， 因为底面ABCD是直角梯形，，，则， 因为，为中点， 则，则四边形为平行四边形， 又因为，， 则四边形为正方形，则， 又因为，面，所以面， 又因为面，所以平面平面POB. （2）假设在棱PC上是否存在一点M满足题意， 当时，则，因为为中点，则， 则， 则， ，， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则， 5．（2023高一·全国·专题练习）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，或 【解析】（1）过点在平面内作，垂足为点， ，，，则平面， 平面，， ，，平面， 平面，则， 故当平面时，四棱锥的体积取最大值， ，，，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 平面，平面，平面， 因为平面，平面平面，，因此，平面. （2）因为平面，与平面所成角为， 因为平面，， 所以，，解得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，，解得或. 因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$