期末强化练05 复数小题10种常见考法归类（63题）-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练05 复数小题10种常见考法归类（63题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 复数的实部与虚部 题型2 复数的分类 题型3 复数的相等 题型4 共轭复数 题型5 复数的模 题型6 复数的几何意义 题型7 复数代数形式的四则运算 题型8 复数范围内方程的根 题型9 与复数模相关的轨迹（图形）问题 题型10 复数的新定义 题型1 复数的实部与虚部 1．（22-23高一下·北京大兴·期末）复数满足为纯虚数，则的实部为 ． 2．（22-23高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数 . 3．（23-24高三上·上海普陀·期末）复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为 ． 4．（23-24高一下·北京·期中）若复数，则的虚部为 . 5．（23-24高一下·辽宁·期末）已知（为实数）为纯虚数，则的虚部为 . 6．（23-24高一下·北京·期中）已知复数满足，则的虚部为 . 7．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，，则的实部的最大值为 ． 题型2 复数的分类 8．（21-22高一下·全国·期末）若复数为纯虚数，则实数 . 9．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A．6 B． C． D．7 10．（23-24高一下·上海徐汇·期末）“”是“复数是纯虚数”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 11．（2022高三上·河南·专题练习）若复数为纯虚数，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 . 13．（23-24高三上·天津南开·期末）已知复数，若是实数，则实数的值为 . 题型3 复数的相等 14．（22-23高二下·西藏林芝·期末）设，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 15．（22-23高一下·新疆和田·期末）若，其中，是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·青海西宁·期末）复数，满足，则（    ） A． B． C．-3 D．-4 17．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知复数且，其中为虚数单位，则（   ） A．－4 B．－3 C．－2 D．0 18．（22-23高一下·广西·期末）已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 19．（2024·宁夏固原·一模）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·浙江台州·期末）复数及其共轭复数满足（其中i是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 题型4 共轭复数 21．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·山西长治·期末）已知（），且，则（    ） A． B． C． D． 25．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 26．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型5 复数的模 27．（23-24高一下·四川·期末）若复数满足，则（    ） A．8 B．10 C．14 D．25 28．（23-24高二下·浙江·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．2 D． 29．（22-23高一下·河北石家庄·期末）已知复数z满足，若复数的模为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 30．（22-23高三上·浙江·期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或5 题型6 复数的几何意义 31．（23-24高一下·江苏连云港·期末）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．（23-24高三上·北京朝阳·期末）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 34．（23-24高三上·北京昌平·期末）在复平面内，复数和对应的点分别为，则（    ）    A． B． C． D． 35．（23-24高三上·安徽六安·期末）已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 37．（2024·湖南长沙·一模）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 38．（23-24高一下·江苏泰州·期末）复数与复平面内的点对应，则（    ） A． B． C．2 D．25 39．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型7 复数代数形式的四则运算 40．（23-24高二下·广东东莞·期中）（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·吉林·期末）复数的虚部为（    ） A．1 B． C．3 D． 42．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知复数 (为虚数单位)，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·江苏扬州·期末）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高二下·江苏连云港·期末）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 46．（23-24高一下·浙江温州·期末）复数（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 题型8 复数范围内方程的根 48．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 49．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（　　） A． B． C． D． 50．（23-24高二下·广东·期中）已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 51．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 52．（23-24高三上·江苏镇江·期末）已知复数是关于x的方程（a，）的一个解，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D．5 53．（23-24高三上·安徽·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高三上·湖南衡阳·期末）在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．或2 题型9 与复数模相关的轨迹（图形）问题 55．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 56．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 57．（2023高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．（23-24高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 题型10 复数的新定义 60．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 61．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 62．（2014·广东·高考真题）对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题： ①； ②； ③； ④. 则真命题的个数是 A． B． C． D． 63．（22-23高三上·江西赣州·期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练05 复数小题10种常见考法归类（63题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 复数的实部与虚部 题型2 复数的分类 题型3 复数的相等 题型4 共轭复数 题型5 复数的模 题型6 复数的几何意义 题型7 复数代数形式的四则运算 题型8 复数范围内方程的根 题型9 与复数模相关的轨迹（图形）问题 题型10 复数的新定义 题型1 复数的实部与虚部 1．（22-23高一下·北京大兴·期末）复数满足为纯虚数，则的实部为 ． 【答案】 【分析】根据纯虚数的定义和复数的概念求解即可. 【详解】设（为虚数单位，）， 因为为纯虚数， 所以，解得， 所以的实部为， 故答案为： 2．（22-23高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数 . 【答案】 【分析】先对复数化简，然后由虚部和实部互为相反数列方程可求出 【详解】（）， 因为复数的虚部与实部互为相反数，所以，得， 故答案为： 3．（23-24高三上·上海普陀·期末）复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为 ． 【答案】 【分析】设，根据复数相等可得答案. 【详解】设， 因为，所以， 可得，解得， 则z的虚部. 故答案为：. 4．（23-24高一下·北京·期中）若复数，则的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数的乘方化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，， 所以， 所以的虚部为. 故答案为： 5．（23-24高一下·辽宁·期末）已知（为实数）为纯虚数，则的虚部为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出方程组，求得的值，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数为纯虚数，可得，解得， 所以，则复数的虚部为. 故答案为： 6．（23-24高一下·北京·期中）已知复数满足，则的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故答案为： 7．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，，则的实部的最大值为 ． 【答案】/1.5 【分析】直接计算可知的实部为，然后求的最大值即可. 【详解】直接计算知： ， 故的实部为. 而，， 所以的最大值为，故的实部的最大值为. 故答案为：. 题型2 复数的分类 8．（21-22高一下·全国·期末）若复数为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据复数为纯虚数的概念列方程组求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为： 9．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A．6 B． C． D．7 【答案】C 【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得. 【详解】复数，为实数，则， 由为实数，得，解得，又， 显然，由为纯虚数，得，解得， 所以. 故选：C 10．（23-24高一下·上海徐汇·期末）“”是“复数是纯虚数”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据纯虚数定义，得到a，b条件，可解. 【详解】复数是纯虚数，则.则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：A. 11．（2022高三上·河南·专题练习）若复数为纯虚数，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简，根据是纯虚数求得. 【详解】由题意，，因为是纯虚数， 所以，解得. 故选：A 12．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】根据复数为纯虚数，列式求解. 【详解】由复数为纯虚数，可知， ，得. 故答案为： 13．（23-24高三上·天津南开·期末）已知复数，若是实数，则实数的值为 . 【答案】/0.5 【分析】根据复数的乘法运算可得，进而结合题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 若是实数，则，解得. 故答案为：. 题型3 复数的相等 14．（22-23高二下·西藏林芝·期末）设，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故选：B. 15．（22-23高一下·新疆和田·期末）若，其中，是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等的条件，求得，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以. 故选：D. 16．（23-24高三上·青海西宁·期末）复数，满足，则（    ） A． B． C．-3 D．-4 【答案】D 【分析】由复数的运算和复数相等解方程即可. 【详解】由题意得， 则， 故. 故选：D. 17．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知复数且，其中为虚数单位，则（   ） A．－4 B．－3 C．－2 D．0 【答案】A 【分析】先化简复数，然后根据复数相等求出，可得答案. 【详解】， 因为，即， 所以，即， 所以． 故选：A． 18．（22-23高一下·广西·期末）已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 【答案】D 【分析】根据 复数相等列出方程组，解出a,b再计算即可. 【详解】因为,即， 所以，解得，所以； 故选：D 19．（2024·宁夏固原·一模）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设，利用复数的除法运算与共轭复数的定义，结合复数相等的性质得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设，则， 因为， 所以由，可得， 则， 所以，解得， 所以. 故选：A. 20．（23-24高二下·浙江台州·期末）复数及其共轭复数满足（其中i是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数及复数相等求出即可. 【详解】设，由，得，即， 因此，所以. 故选：D 题型4 共轭复数 21．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的定义可以求得. 【详解】由共轭复数的定义可得，复数的共轭复数为， 故选：B. 22．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数除法运算，先求得，再根据共轭复数概念求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 23．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念求出，然后由共轭复数定义可得. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得， 所以，所以. 故选：B 24．（23-24高二下·山西长治·期末）已知（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件得出，再使用共轭复数的定义即可. 【详解】由于，故，而，故. 所以. 故选：B. 25．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法运算化简可得，即可由共轭复数的定义求解. 【详解】由得， 故， 故选：D 26．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数模的运算及四则运算化简复数，再由共轭复数的概念求出，即可得解. 【详解】因为， 所以，故复数在复平面中对应的点为，位于第一象限. 故选：A 题型5 复数的模 27．（23-24高一下·四川·期末）若复数满足，则（    ） A．8 B．10 C．14 D．25 【答案】B 【分析】先利用复数运算法则化简复数，然后利用复数模的运算公式求解即可. 【详解】由条件可知，所以. 故选：B. 28．（23-24高二下·浙江·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用复数模的运算性质来计算即可. 【详解】由，可得， 故选：A. 29．（22-23高一下·河北石家庄·期末）已知复数z满足，若复数的模为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】先化简复数z，再根据复数的模为求实数即可. 【详解】, 因为复数的模为，所以, 故选:D. 30．（22-23高三上·浙江·期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或5 【答案】C 【分析】根据复数的除法求得，再根据复数的模的计算公式，求得答案. 【详解】由题意得，则， 所以，解得或， 故选：C 题型6 复数的几何意义 31．（23-24高一下·江苏连云港·期末）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 32．（23-24高三上·北京朝阳·期末）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由复数乘法运算可得该复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可解得. 【详解】根据题意可得， 所以在复平面内对应的点为，即在虚轴上， 因此可得，即； 故选：B 33．（22-23高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 34．（23-24高三上·北京昌平·期末）在复平面内，复数和对应的点分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义可得复数，利用乘法运算，可得答案. 【详解】由题意可知：，， 则. 故选：A. 35．（23-24高三上·安徽六安·期末）已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】得到，利用复数除法法则得到，求出虚部. 【详解】由已知得，， 则复数的虚部为. 故选：C 36．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案． 【详解】∵， ∴，则 ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D． 37．（2024·湖南长沙·一模）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数四则运算以及几何意义即可得解. 【详解】由题意，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 38．（23-24高一下·江苏泰州·期末）复数与复平面内的点对应，则（    ） A． B． C．2 D．25 【答案】A 【分析】由坐标写出对应复数，再求出其共轭复数，代入计算即可. 【详解】由题意复数与复平面内的点对应， 所以， 所以，所以. 故选：. 39．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 而成立推不出成立，， 所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件， 故选：B 题型7 复数代数形式的四则运算 40．（23-24高二下·广东东莞·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：D. 41．（23-24高一下·吉林·期末）复数的虚部为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘方化简，即可判断. 【详解】因为，所以的虚部为1. 故选：A 42．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用纯虚数的定义求出，再利用复数的乘法计算得解. 【详解】由为纯虚数，得且，解得，即， 所以. 故选：B 43．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知复数 (为虚数单位)，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算可得答案. 【详解】， 所以复数的虚部是. 故选：C. 44．（23-24高一下·江苏扬州·期末）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：B 45．（23-24高二下·江苏连云港·期末）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法加法运算可解. 【详解】. 故选：B 46．（23-24高一下·浙江温州·期末）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可. 【详解】. 故选：C. 47．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合复数的四则运算分析求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 题型8 复数范围内方程的根 48．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意将代入方程，整理并根据复数为0的条件即可得解. 【详解】由题意，整理得，所以，解得. 故选：C. 49．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先代入实数根，即可求得的值，即可求解复数和其共轭复数. 【详解】由题意可知，，， 即， 则，得， 所以，. 故选：B 50．（23-24高二下·广东·期中）已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理结合复数的加法运算和乘法运算计算即可. 【详解】因为是关于复数z的方程的一根， 所以也是关于复数z的方程的一根， 则，， 所以， 所以. 故选：C. 51．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 52．（23-24高三上·江苏镇江·期末）已知复数是关于x的方程（a，）的一个解，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系求出即可得解. 【详解】因为是关于x的方程（a，）的一个解， 所以是一元二次方程的另一个解， 由根与系数的关系可知， 即， 所以，虚部为， 故选：B 53．（23-24高三上·安徽·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出、，再由复数的运算和共轭复数可得结果． 【分析】若是关于的实系数方程的一个复数根， 则另一个复数根为， 由韦达定理可得得，解得， 则，所以， 故有. 故选：A． 54．（23-24高三上·湖南衡阳·期末）在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．或2 【答案】D 【分析】分解因式解方程,再求模长即可求解. 【详解】由， 得. 因为，所以或， 当或，； 当或，. 故选：D 题型9 与复数模相关的轨迹（图形）问题 55．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义求得正确答案. 【详解】由于，所以对应点在单位圆上， 表示单位圆上的点和点的距离， 其最小值为. 故选：D 56．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可. 【详解】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1， 即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义是点Z到点的距离． 如图所示，故． 故选：B． 57．（2023高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离的最小值即可. 【详解】设，， 则复数对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 如图， 的几何意义是点到点的距离， 的最小值是复数对应的点到原点的距离减去半径1， 即. 故选：B. 58．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为. 故选：A 59．（23-24高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据和分别得到到两点的距离相等从而在线段的垂直平分线上， 由两条垂直平分线的交点得到复数对应的点的坐标，进而得到复数和. 【详解】由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 因为直线和直线的交点为，所以，所以. 故选：C. 题型10 复数的新定义 60．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论. 【详解】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 61．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据定义结合复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由题意可得， 即， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 62．（2014·广东·高考真题）对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题： ①； ②； ③； ④. 则真命题的个数是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：对于命题①，，命题①正确； 对于命题②，，命题②正确； 对于命题③，左边，右边 ，左边右边，命题③错误； 对于命题④，取，，则，， 命题④错误.故选B. 考点：本题考查复数中的新定义运算，考查复数的概念，属于中等偏难题. 63．（22-23高三上·江西赣州·期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】A选项，利用复数模长公式计算出； B选项，利用复数加法法则计算得到； C选项，利用复数乘法法则计算得到； D选项，利用复数除法法则计算得到，当，此时不一定是纯虚数. 【详解】，，， 则，，， 故，正确； ，正确； ， ， 则，错误； ， 若，且，此时为实数， 故错误； 故选：B $$