专题07 立体几何小题常考题型归类（考题猜想，10题型）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）

专题07 立体几何小题 一．空间几何体的结构特征 1．（23-24高一下·四川眉山·月考）下列说法错误的是（    ） A．棱台侧棱的延长线必相交于一点 B．正四棱锥的侧面可以是等边三角形 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．矩形旋转一周一定能形成一个圆柱 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 3．（23-24高一下·重庆璧山·月考）（多选）下列说法错误的是（    ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．棱台的所有侧棱交于同一点 D．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）（多选）下列命题正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 5．（23-24高一下·福建·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为4个部分 C．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 二．斜二测画法的相关计算 1．（23-24高一下·河南郑州·月考）如图，△是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（    ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来实际图形的周长是（    ） A． B． C．6 D．8 3．（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河北张家口·月考）已知是的直观图，其中，轴，那么一定不是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．（23-24高一下·山东泰安·期中）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 三．几何体的表面积和体积 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北张家口·月考）已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·安徽合肥·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（    ） A． B． C．9 D．6 5．（23-24高一下·云南昆明·月考）（多选）如图，圆台，在轴截面ABCD中，，下面说法正确的是（    ） A．线段 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5 四．异面直线夹角计算 1．（23-24高一下·山东聊城·月考）如图，在正三棱锥中，分别为的中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西运城·月考）已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏盐城·月考）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2018·河北衡水·一模）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B．2 C． D．4 5．（23-24高一下·吉林长春·期中）（多选）在正方体中，下列结论正确的有（    ） A．和所成的角是 B．AC和所成的角是 C．和所成的角是 D．和所成的角是 五．平行与垂直的命题判断 1．（23-24高一下·河南新乡·月考）已知表示两条不同的直线，表示两个不重合的平面，且，下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（22-23高一下·北京通州·期末）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（23-24高一下·天津·月考）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 六．直线、平面平行的判定与性质 1．（22-23高一下·河南洛阳·月考）已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（    ） ①若，且，则； ②若相交且都在平面外，，则； ③若，则； ④若，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·福建南安·期中）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·浙江温州·月考）下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 5．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 七．直线、平面垂直的判定与性质 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西南昌·二模）在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．，是异面直线， B．，是相交直线， C．，是异面直线，与不垂直 D．，是相交直线，与不垂直 3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（    ） A．五边形 B．四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 5．（23-24高一下·江苏宿迁·月考）（多选）如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 八．几何体的外接球和内切球 1．（23-24高一下·河北张家口·月考）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南信阳·月考）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏扬州·月考）设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，是斜边为的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．64 C． D．128 4．（23-24高一下·天津·开学考试）正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为 . 5．（23-24高一下·江苏南京·月考）正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 九．空间几何体截面问题 1．（2024·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北张家口·月考）（多选）已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东韶关·月考）（多选）如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．当时，为等腰梯形 C．当时，与交于点，则 D．当时，为四边形 4．（23-24高一下·重庆·月考）（多选）已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（    ） A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为 C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为 5．（23-24高一下·安徽·月考）（多选）正三棱柱中，为棱的中点，为线段(不包括端点)上一动点，分别为棱上靠近点的三等分点，过作三棱柱的截面，使得垂直于且交于点，下列结论正确的是（   ） A．截面 B．存在点使得平面截面 C．当时，截面的面积为 D．三棱锥体积的最大值为 十．空间几何体中的动点探究问题 1．（23-24高一下·河南商丘·月考）如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中不正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，四边形均为平行四边形 C．四边形的面积随点位置的变化而变化 D．三棱锥的体积随点位置的变化而变化 2．（23-24高一下·江苏镇江·月考）（多选）如图，正方体中，E，F分别为棱，的中点，P为线段上的动点，则（    ） A．对任意的点，总有 B．对任意的点，总有与是异面直线 C．过点E，F，D的平面截该立方体的截面形状是四边形 D．异面直线与所成角的正切值的最小值为 3．（23-24高一下·福建莆田·期中）（多选）如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（    ） A．对于任意点G，平面EFG B．存在点G，使得平面EFG C．直线EF被球O截得的弦长为 D．过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为 4．（23-24高一下·四川南充·月考）（多选）已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（ ） A．时，平面 B．不存在，使得平面 C．任意，三棱锥的体积为定值 D．过点的平面分别交于，则的范围是 5．（2024·湖南·模拟预测）（多选）在棱长为2的正方体中，分别是侧棱的中点，是侧面（含边界）内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若点与顶点重合，则异面直线与所成角的大小为 B．若点在线段上运动，则三棱锥的体积为定值 C．若点在线段上，则 D．若点为的中点，则三棱锥的外接球的体积为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 立体几何小题 一．空间几何体的结构特征 1．（23-24高一下·四川眉山·月考）下列说法错误的是（    ） A．棱台侧棱的延长线必相交于一点 B．正四棱锥的侧面可以是等边三角形 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．矩形旋转一周一定能形成一个圆柱 【答案】D 【解析】对于A，根据棱台的定义，其侧棱的延长线必交于一点，故A说法正确； 对于B，根据棱锥的定义，当正四棱锥的高为底面正方形对角线的一半时， 正四棱锥的侧面可以是等边三角形，故B说法正确； 对于C，根据棱柱的定义，棱柱的侧面都是平行四边形，故C说法正确； 对于D，矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱， 若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误.故选：D. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【答案】D 【解析】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确.故选：D 3．（23-24高一下·重庆璧山·月考）（多选）下列说法错误的是（    ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．棱台的所有侧棱交于同一点 D．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 【答案】ABD 【解析】A选项，由如图所示多面体可知A错误； B选项，由圆柱的定义，是由一个长方形绕着它的一条边旋转得到的图形，故B错误； C选项，由棱台的结构特征值知，棱台的各条侧棱所在的直线一定相交于一点，故C正确； D选项，当截面与圆锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是圆台，故D错误.故选：ABD. 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）（多选）下列命题正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】BCD 【解析】对于A，三棱锥只有4个面，故A错误； 对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥， 从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确； 对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.故选：BCD. 5．（23-24高一下·福建·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为4个部分 C．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【解析】对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若两个平面相交，已可将空间分为4个部分，第三个平面与前两个平面的交线相交时， 将空间分成8个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形， 所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D正确.故选：CD 二．斜二测画法的相关计算 1．（23-24高一下·河南郑州·月考）如图，△是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】在△，，， 由余弦定理可得：， 即，而，解得； 由斜二测画法可知：△中，，，， 故.故选：C. 2．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来实际图形的周长是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【解析】如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形， 其中，，所以， 故周长为.故选：D. 3．（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为.故选：C. 4．（23-24高一下·河北张家口·月考）已知是的直观图，其中，轴，那么一定不是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】依题意，还原，如图， 因为，轴， 所以，轴，则， 所以是等腰直角三角形，即A符合题意，BCD不符合题意.故选：A. 5．（23-24高一下·山东泰安·期中）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是.故选：A. 三．几何体的表面积和体积 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】以长的矩形边所在直线为轴所得圆柱的侧面积为， 以长的矩形边所在直线为轴所得圆柱的侧面积为， 所以圆柱的侧面积为.故选：D 2．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，，； ，几何体为三棱台， 设三棱柱的高为， ， ，.故选：A. 3．（23-24高一下·河北张家口·月考）已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令正三棱台的上底面积为，则下底面积为， 依题意，，解得， 而，则，同理， 为两底面的中心，为的中点，过作下底面垂线，垂足为， 则在上. ，，， 则斜高， 所以正三棱台的侧面积.故选：A 4．（22-23高二下·安徽合肥·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（    ） A． B． C．9 D．6 【答案】D 【解析】如图，设E、F在底面的投影分别为， 过分别作交正方形对应边于I、J、K、L， 易知该刍甍被分割为四棱锥E-ADJI和F-BCLK，及三棱柱EIJ-FKL， 设，则， 故则该刍瞢的体积为： ． 故选：D． 5．（23-24高一下·云南昆明·月考）（多选）如图，圆台，在轴截面ABCD中，，下面说法正确的是（    ） A．线段 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5 【答案】ACD 【解析】对于A，如图： 在截面ABCD中，， 因为为CD的中点，所以，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以为等边三角形， 所以，， 在等腰中，，正确； 对于B，设圆台上底面半径为，下底面半径为，母线为l，则，，， 则圆台的表面积，错误； 对于C，由B知圆台的高为， 所以圆台的体积，正确； 对于D，将圆台一半侧面展开，如图中ABCD，且E为AD的中点， 而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD，且，， 所以在中，，即C到AD中点的最短距离为5，正确. 故选：ACD. 四．异面直线夹角计算 1．（23-24高一下·山东聊城·月考）如图，在正三棱锥中，分别为的中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为分别为的中点，所以， 则是异面直线与所成的角. 因为三棱锥为正三棱锥，所以是等边三角形，于是. 故异面直线与所成的角为.故选：A. 2．（23-24高一下·山西运城·月考）已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接，，如图， 又为的中点，所以，， 同理可得，， 又，所以，则为与所成的角， 中，，所以与所成的角为.故选：A. 3．（23-24高一下·江苏盐城·月考）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为.故选：D 4．（2018·河北衡水·一模）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】取的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以为异面直线与所成的角， 在直角中，.故选：A. 5．（23-24高一下·吉林长春·期中）（多选）在正方体中，下列结论正确的有（    ） A．和所成的角是 B．AC和所成的角是 C．和所成的角是 D．和所成的角是 【答案】AC 【解析】对A，在正方体中，底面底面， 所以，所以和所成的角是，所以A正确； 对B，因为，所以和所成的角等于与所成的角， 正方体中，与所成的角为，即和所成的角是，所以B不正确； 对C，正方体中，因为，，则四边形为平行四边形， 所以，而，所以和所成的角是，所以C正确； 对D，在正方体中，因为，，则四边形为平行四边形，则， 所以和所成的角等于与所成的角， 设正方体棱长为，则，则为等边三角形，所以与所成的角为， 所以和所成的角是，所以D不正确.故选：AC. 五．平行与垂直的命题判断 1．（23-24高一下·河南新乡·月考）已知表示两条不同的直线，表示两个不重合的平面，且，下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A中，由，则平面与平面平行或相交，所以A不正确； 对于B中，由，则直线或，所以B不正确； 对于C中，如图所示，过直线作平面，使得， 因为，且，可得，又因为，所以， 因为，可得，所以C正确； 对于D中， 由，则直线与平面平行、相交或，所以D不正确.故选：C. 2．（22-23高一下·北京通州·期末）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】A：若，，则或相交，故A错误； B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确； C：若，，则或，故C错误； D：若，，则或或，故D错误；故选：B. 3．（23-24高一下·天津·月考）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对于A，比如教室的一角三个面相互垂直，故A不正确； 对于B，若，，，此时与可能相交或平行，故B不正确； 对于C，若，，此时或，由线面平行的判定定理可知，或，故C不正确； 对于D，若，，则，而，所以，故D正确.故选：D 4．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】 对于A，把底面看成平面，把看成，把看成，此时不平行，故A是错误的； 对于B，把底面看成平面，把看成，把看成，此时，故B是错误的； 对于D，由于题目中没有告知，所以不能判断，故D是错误的； 对于C，由，，可得， 由，可知在内一定有一条直线满足， 而，则必有，所以，故C是正确的；故选：C． 5．（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】A 【解析】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中，记平面为，平面为， 为，为，则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误.故选：A 六．直线、平面平行的判定与性质 1．（22-23高一下·河南洛阳·月考）已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（    ） ①若，且，则； ②若相交且都在平面外，，则； ③若，则； ④若，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】对于①，若，且，则或相交，故①错误； 对于③和④，与也可能相交，均错误； 对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知， 根据平行平面的传递性得知．故选：A． 2．（23-24高一下·福建南安·期中）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A,如下图所示， 易得,则， 又平面,平面,则平面，故A满足； 对于B，如下图所示，为所在棱的中点，连接, 易得,则四边形为平行四边形，四点共面， 又易知， 又平面,平面,则平面，故B满足； 对于C,如下图所示，点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面，且, 又平面,平面,则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足，故选：D. 3．（22-23高一下·浙江温州·月考）下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接， 因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，，， 平面，平面，平面， 同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示： 在正方体中，若平面平面，且平面平面， 则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以，平面， 同理可证平面，，所以，平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.故选：B. 4．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 【答案】D 【解析】因为，，所以四边形是梯形，所以与共面，且不平行，AB错误； 则与相交， 对于C，因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面，则， 又平面，且平面平面，则， 所以，与四边形是梯形矛盾，所以与不平行， 又平面，所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确.故选：D 5．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 【答案】D 【解析】因为分别为的中点，所以且， 因为分别为上的点，且所以且， 所以且，所以四边形为梯形， 又平面，平面，所以平面. 故选：D. 七．直线、平面垂直的判定与性质 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，平面，则平面， 而平面，因此，而不重合，C正确，A错误； 显然，B错误； 若，而，平面， 则平面，又平面，于是， 在中，为斜边的中点，，矛盾，D错误.故选：C 2．（2024·江西南昌·二模）在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．，是异面直线， B．，是相交直线， C．，是异面直线，与不垂直 D．，是相交直线，与不垂直 【答案】A 【解析】显然根据异面直线判定方法： 经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过点的直线是异面直线． 下面证明与垂直： 证明：因为平面，平面，所以， 因为，分别为的中点，连接，所以， 因为，平面，所以平面， 如图：取的中点，连接，， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 又因为为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以．故选：A． 3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（    ） A．五边形 B．四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】A 【解析】对于B：当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，延长交的延长线于点， 连接交于点，连接， 此时过点、、作正三棱柱的截面为四边形 （当在线段（除端点外）时截面也为四边形），故B正确； 对于A：当的延长线与线段、（除点外）相交 （或点在线段、（除点外）上时）截面为三角形， 结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误； 对于C：取的中点，连接、，又为线段的中点， 所以，所以为等腰三角形，故C正确； 对于D：取的中点，连接、， 因为三棱柱为正三棱柱，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以为直角三角形，故D正确； 故选：A 4．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【解析】, ,又平面⊥平面， 且平面平面，平面， 又面，， ，且平面，平面， 又平面，平面平面,故选：AD. 5．（23-24高一下·江苏宿迁·月考）（多选）如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【解析】因为，且，平面，所以平面． 又平面平面， 所以平面平面，平面平面，故A，B正确． 如图（1），取的中点，连接，交于点， 则和均为等腰直角三角形， 所以，所以，即， 如图（2），连接，因为，，所以为二面角的平面角． 设，则，在中，，为的中点， 故． 所以，所以， 所以平面平面，则平面与平面不垂直，故C错误，D正确． 故选：ABD． 八．几何体的外接球和内切球 1．（23-24高一下·河北张家口·月考）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在三棱锥中，，，， 将三棱锥放到长方体中，设长方体同个顶点的三条棱长分别为，如图， 则，所以， 因为长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的直径为，半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为.故选：D. 2．（23-24高一下·河南信阳·月考）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中由余弦定理 ，所以, 设外接圆的半径为，则，所以， 又平面，，设三棱锥外接球的半径为， 则， 所以三棱锥外接球的表面积.故选：C 3．（23-24高一下·江苏扬州·月考）设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，是斜边为的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．64 C． D．128 【答案】C 【解析】是斜边为的直角三角形， 的外接圆的半径，又球的半径， 球心到平面的距离， 又面积的最大值为， 点到平面的距离的最大值为， 三棱锥体积的最大值为．故选：C． 4．（23-24高一下·天津·开学考试）正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为 . 【答案】或 【解析】设正四棱锥的底面中心为，外接球球心为，显然球心在直线上， 由四棱锥的外接球的表面积为，得球半径，由正方形面积为3，得 球心到面的距离为，正方形的外接圆半径， 于是，即，解得或， 所以或. 5．（23-24高一下·江苏南京·月考）正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 【答案】或. 【解析】设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得. 取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则， 可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，. 设上、下底面正方形的边长分别为，， 则，，解得，，故，. 设， 当在线段上时，则， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为； 当在的延长线上时，， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为. 综上所述：该正四棱台的体积为或. 九．空间几何体截面问题 1．（2024·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形， 所求面积.故选：D. 2．（23-24高一下·河北张家口·月考）（多选）已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】在直三棱柱中，，， 显然四边形是正方形，的截面小圆圆心分别为， 线段中点即为直三棱柱的外接球的球心， 平面过球心，截球及内接直三棱柱得球的截面大圆及内接正方形，B是； 矩形所在平面过球心，截球及内接直三棱柱所得截面如选项D所示，D是； 过三条侧棱中点的平面过球心，截球及内接直三棱柱所得截面如选项C所示，C是； 过球心的截面截直三棱柱所得三角形不可能为球的截面大圆的内接等腰直角三角形， A不是.故选：BCD 3．（23-24高一下·广东韶关·月考）（多选）如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．当时，为等腰梯形 C．当时，与交于点，则 D．当时，为四边形 【答案】ABC 【解析】正方体的棱长为为的中点， 对于A，，直线与直线所成角为，则，A正确； 对于B，，即为中点，此时，， ，则截面为等腰梯形，B正确； 对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于， 由，得，由是的中点，，得， 因此，C正确； 对于D，，连接并延长交延长线于，直线交于， 交延长线于点，连接交于点，连接得截面， 过点的平面与正方体的5个表面相交， 因此截面是五边形，D错误.故选：ABC 4．（23-24高一下·重庆·月考）（多选）已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（    ） A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为 C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为 【答案】ABD 【解析】正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面， 对A,连，延长交直线，的延长线于点，， 连交于，连交于， 连，得到截面五边形， 由，为中点，则，，， 同理，又，，因此周长为，故B正确． 对B,易知，，， ， 又， 故， 截面多边形的面积为，故B正确； 对C:与是公有一个项点的全等三角形，两个三角形的外心不重合， 这个五边形没有外接圆，故C错误； 对D,，，， ，，， 根据二面角的定义得是截面与底面所成角， ，， 根据余弦定理得，，故D正确．故选：ABD． 5．（23-24高一下·安徽·月考）（多选）正三棱柱中，为棱的中点，为线段(不包括端点)上一动点，分别为棱上靠近点的三等分点，过作三棱柱的截面，使得垂直于且交于点，下列结论正确的是（   ） A．截面 B．存在点使得平面截面 C．当时，截面的面积为 D．三棱锥体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A，因为棱柱为正三棱柱，所以, 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，取，中点为，连接，交于于点，则， 因为分别为棱上靠近点的三等分点， 所以，，则， 因为正三棱柱，所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以，即， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，且，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面与不平行，故B错误； 对于C，当时，作出截面图如图所示， 设延长线交于点，则， 因为，所以，所以， 所以，则，， 过点作，交于点，连接， 则，且， 因为，所以， 在中，由勾股定理得，同理可得，所以， 所以截三棱柱的截面四边形为等腰梯形，高的长为， 所以，故C正确； 对于D，作出截面图如图所示， 因为，，所以，所以点在以为直径的圆上， 当点在的中点时，点到底面距离最大，且最大值为， 因为，所以此时点在线段上，符合条件， 所以三棱锥的体积最大值为，故D正确； 故选：ACD． 十．空间几何体中的动点探究问题 1．（23-24高一下·河南商丘·月考）如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中不正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，四边形均为平行四边形 C．四边形的面积随点位置的变化而变化 D．三棱锥的体积随点位置的变化而变化 【答案】D 【解析】对于B，显然四点共面，平面平面， 平面平面，平面平面， 则，同理可证，即四边形为平行四边形，B正确； 对于A，令正方体的棱长为2， 当F为的中点时，，即，解得，即E也为的中点， 连接，而，则四边形为平行四边形， 则，平面平面，因此平面，A正确； 对于C，令，设，则，而， ， 四边形面积 ， 因此四边形的面积随点位置的变化而变化，C正确； 对于D，由，平面，平面， 得平面，即点F到平面的距离为定值，而的面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，即对于任意点F，三棱锥的体积均不变，D错误．故选：D 2．（23-24高一下·江苏镇江·月考）（多选）如图，正方体中，E，F分别为棱，的中点，P为线段上的动点，则（    ） A．对任意的点，总有 B．对任意的点，总有与是异面直线 C．过点E，F，D的平面截该立方体的截面形状是四边形 D．异面直线与所成角的正切值的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于选项A， 由正方体性知可知，平面，又因为平面， 所以，又由正方形，E，F分别为棱，的中点可知：， 又因为，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对于选项B，由点与确定唯一平面，而点P在与平面平行的平面内， 所以与不是共面直线，再取的中点为M，可知， 根据过一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以一定与不平行，则既不平行又不相交的两直线一定是异面直线，故B正确； 对于选项C， 延长直线分别与延长线相交于，连接分别与相交于， 再连接，可得截面五边形，故C错误； 对于选项D， 取的中点为，可知，即异面直线与所成角为或其补角， 设正方体的边长为，则，而的最小值就是点到直线的距离， 即，所以的最小值是，故D正确，故选：. 3．（23-24高一下·福建莆田·期中）（多选）如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（    ） A．对于任意点G，平面EFG B．存在点G，使得平面EFG C．直线EF被球O截得的弦长为 D．过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，当与重合时，平面，平面， 此时直线与平面相交，A错误； 对于B，因为四边形为正方形，则， 当为的中点时，，则， 因为平面，平面，则， 因为，平面，则平面， 因为平面，所以，同理，， 因为，平面，所以平面，即平面，B正确； 对于C，取的中点，因为，为的中点，则， 所以，同理可得，则. 因为平面，平面，则， 所以，，则， 球的半径为， 所以直线被球截得的弦长为，C正确； 设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则. 因为，则，所以截面圆面积， 即截面圆面积的最小值为，D正确.故选：BCD. 4．（23-24高一下·四川南充·月考）（多选）已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（ ） A．时，平面 B．不存在，使得平面 C．任意，三棱锥的体积为定值 D．过点的平面分别交于，则的范围是 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，是的中点，而是的中点，则， 而平面，平面，于是平面，A正确； 对于B，当，即点与重合时，由平面，平面，则， 又平面，则平面， 而平面，于是，又，则，同理， 又平面，因此平面，B错误； 对于C，显然，而平面，平面，则平面， 因此点到平面的距离为定值，在中，，其面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，直线与直线和分别交于点，则，， 而有，， 当时，有，， 则，， 从而，， 当时，分别与重合； 当时，点为中点，与重合，，亦成立， 则，，所以的取值范围是，D正确. 故选：ACD. 5．（2024·湖南·模拟预测）（多选）在棱长为2的正方体中，分别是侧棱的中点，是侧面（含边界）内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若点与顶点重合，则异面直线与所成角的大小为 B．若点在线段上运动，则三棱锥的体积为定值 C．若点在线段上，则 D．若点为的中点，则三棱锥的外接球的体积为 【答案】BCD 【解析】A，因为，又点与顶点重合， 所以是异面直线与所成角，其大小为，故A错误； B，因为是侧棱的中点，所以，又点在线段上， 所以三棱锥的体积（定值），故B正确； C，因为点在线段上，连接， 因为平面平面，则， 又为正方形，则，且平面， 则平面，且平面，可得，同理可得， 又平面，则平面， 因为平面，所以，故C正确； D，因为点为的中点，连接，记与的交点为， 取的中点为，连接，则， 又，所以点为三棱锥的外接球的球心， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的体积为，故D正确. 故选:BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$