精品解析：2024年河南省周口市郸城县中招考试模拟冲刺联考二模数学试题

2024 年河南省中招考试押题冲刺试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下图是四个小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 央视网报道：2024 年的3·15晚会聚焦“共筑诚信共享安全”的主题，涉及消防安全、食品安全、金融安全、数据安全等领域，截至3月16日8时，央视财经新媒体发布相关报道共148篇，总阅读播放量近5亿次，推出的两场直播观看量总计4110万，特别是央视财经抖音、快手号“2024年晚会合辑”视频播放量达亿次．数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某书店2024年1至4月A类图书每月销售额占该书店当月销售总额的百分比的统计图，下列说法正确的是（ ） A. 1月 A类图书的销售额最高 B. 2月 A类图书的销售额最低 C. 3 月 A 类图书的销售额比4月的高 D. 1月与2月的A类图书销售额无法比较 5. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 一次函数（a，b为常数）的图象如图所示，则二次函数 的图象是（ ）． A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，点A是上优弧的中点，，，则的半径是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图是某厂家的图标，小明在研究时发现这个图标的四个角都是正方形，中间是一个平行四边形（A，E在同一水平线上），若，，则的周长是（ ） A. 4 B. C. 4+2cosα D. 10. 如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象过点，且y随x的增大而增大的函数解析式：__________． 12. 某天气预报的中可根据当天气温提供穿衣指导，穿衣指导共分为8级，其中2级指恤衫、薄衬衫、连衣裙等，3级指衬衫、休闲服、薄牛仔衫等，4级指风衣、休闲服、薄毛衣等，5级指风衣、大衣、毛套装等，若某日该推荐休闲服，则该日气温的范围为____________． 13. 开学后，李老师采用抽签的方式决定本班四个卫生小组的分组名单，王朝与好朋友马汉分在同一组的概率是________． 14. 如图是一个圆形分格干果盒，它的中间是圆形，周围是5个完全相同的扇形环．它的俯视图如图2（小格的厚度忽略不计）所示，，则图中阴影部分的面积是________ ．（结果用含π的式子表示） 15. 如图，在矩形中，，点 E，F分别是线段的中点，将绕点 B 顺时针旋转至，点E，F 的对应点分别是，边与线段的交点为 O，当被分得的与中有一个是等腰三角形时，这个等腰三角形的面积是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 某银行根据顾客当月评价反馈，对员工实行奖励．现抽取了名顾客对甲、乙两位员工的服务满意程度的评价分数（5分：非常满意；4分：满意；3分：一般；2分：不满意；1分：非常不满意）进行分析，结果如下表所示： 顾客 A 顾客 B 顾客 C 顾客D 顾客 E 顾客 F 顾客G 顾客H 顾客I 顾客J 员工甲 3 3 5 5 4 5 4 4 4 5 员工乙 5 5 3 4 5 4 5 3 5 3 银行负责人进行数据分析时首先计算了两位员工评价得分的平均分：员工甲分，员工乙分． （1）为更全面地了解顾客对甲、乙两位员工的服务满意程度，请你根据表格写出两位员工评价分数的中位数和众数； （2）你认为顾客对哪位员工的服务满意程度更高，为什么? 18. 为方便同学们更好地放置自己的物品，某校新购进了一批课桌便携式挂钩（如图1）．将其抽象成如图2的示意图，经过测量得到课桌高度为，，．请计算挂钩底端C到地面的距离．（结果精确到．参考数据： 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，B． （1）求k，b的值和点 B 的坐标； （2）直接写出不等式 的解集； （3）在x轴上是否存在一点 P 使得 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 河南某农业公司为增强土地肥力，增加农作物产量，计划购进复合肥与有机肥若干．购买过程中发现，每复合肥比有机肥贵0.5元，用4000元购买的复合肥与用3000元购买的有机肥质量相同． （1）求每千克有机肥与每千克复合肥的价格； （2）该公司共有500亩土地，每亩需撒复合肥或有机肥，为方便操作，用无人机辅助播撒复合肥，人工播撒有机肥，现需要播撒复合肥的亩数不低于播撒有机肥的亩数的4倍，求多少亩播撒复合肥、多少亩播撒有机肥能使肥料成本最低． 21. 如图，已知中，，以为直径的交边于点．过点作的切线交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． （1）请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； （2）因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边电线形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆上电线离地面的距离． 23. 周长与面积数值相等的图形叫做“等量图形”．小月在学习《正多边形》这一节时发现正三角形、正方形、矩形中存在“等量图形”，并进行了如下探究： 【探究一】正方形中的“等量图形” 设正方形的边长为a，周长为C，面积为S，则 当 时，可以求出a，所以当正方形的边长为 ① 时，它是“等量图形”． 【探究二】等边三角形中的“等量图形” 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S，则② ，③ ，当时，可以求出b，所以，当等边三角形的边长为 ④ 时，它是“等量图形”． 【探究三】矩形中的“等量图形” 设矩形的长为x，宽为y，周长为C，面积为S，则 ． （1）根据题意，完成上面的填空：① ，② ，③ ，④ ； （2）请你用图象法（可在网格上画图表示）与代数法分别研究：当时，是否存在一个矩形是“等量图形”，如果存在，它的长和宽分别为何值；如果不存在，请说明理由； （3）若，请你直接写出当m满足什么样的条件时，能使矩形是“等量图形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 年河南省中招考试押题冲刺试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据实数的大小比较方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为． 故选：A． 2. 下图是四个小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形分为上下两层，共两列，从左边数，第一列上下楼层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：C． 3. 央视网报道：2024 年的3·15晚会聚焦“共筑诚信共享安全”的主题，涉及消防安全、食品安全、金融安全、数据安全等领域，截至3月16日8时，央视财经新媒体发布相关报道共148篇，总阅读播放量近5亿次，推出的两场直播观看量总计4110万，特别是央视财经抖音、快手号“2024年晚会合辑”视频播放量达亿次．数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 如图是某书店2024年1至4月A类图书每月销售额占该书店当月销售总额的百分比的统计图，下列说法正确的是（ ） A. 1月 A类图书的销售额最高 B. 2月 A类图书的销售额最低 C. 3 月 A 类图书的销售额比4月的高 D. 1月与2月的A类图书销售额无法比较 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．从统计图中提取信息，即可得出答案． 【详解】解：从统计图看，是表示书店2024年1至4月A类图书每月销售额占该书店当月销售总额的百分比，没有具体数值， 无法比较是几月份A类图书的销售额最高、最低，也无法比较那个月分的销售额高， 故选：D． 5. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算方法是解题的关键，根据分式的同分母运算法则：分母不变，分子相加减，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 6. 一次函数（a，b为常数）的图象如图所示，则二次函数 的图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数图像的关系，掌握一次函数、二次函数图像与各项系数的关系成为解题的关键． 根据一次函数的图像可得，然后再判定抛物线的开口方向、与y轴的交点以及对称轴即可解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知， ∵二次函数， ∴抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的正半轴， 对称轴为， ∴满足条件的函数图象只有A． 故选：A． 7. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将x=0代入方程计算即可． 【详解】把x=0代入方程 得m2-4=0， 解得m=±2， 又因m-2≠0，即m≠2， 所以m=-2， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 如图，点A是上优弧的中点，，，则的半径是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，弧与弦之间的关系等等．连接、，先根据题意得到，进而求得，由圆周角定理得，再证明是等边三角形，得到，则的半径是2． 【详解】解：如图所示，连接、， 点是优弧的中点， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 又， 是等边三角形， ， 的半径是2． 故选：B． 9. 如图是某厂家的图标，小明在研究时发现这个图标的四个角都是正方形，中间是一个平行四边形（A，E在同一水平线上），若，，则的周长是（ ） A. 4 B. C. 4+2cosα D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和解直角三角形，连接，则是直角三角形，求得，运用平行四边形的性质可求其周长 【详解】解：连接，如图， 则是直角三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形的周长为， 故选：D 10. 如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解． 【详解】解：连接、，与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∵点G是线段上的动点，， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象过点，且y随x的增大而增大的函数解析式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数（，k，b为常数）的性质．它的图象为一条直线，当， y随x的增大而增大；当， y随x的增大而减小．根据图象经过点，且y随x的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：图象经过点，且y随x的增大而增大，取， 这样满足条件的函数可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某天气预报的中可根据当天气温提供穿衣指导，穿衣指导共分为8级，其中2级指恤衫、薄衬衫、连衣裙等，3级指衬衫、休闲服、薄牛仔衫等，4级指风衣、休闲服、薄毛衣等，5级指风衣、大衣、毛套装等，若某日该推荐休闲服，则该日气温的范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可，理解题意，正确列出不等式组是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：某日该推荐休闲服在3级与4级的范围内， 则该日气温的范围为， 故答案为：． 13. 开学后，李老师采用抽签的方式决定本班四个卫生小组的分组名单，王朝与好朋友马汉分在同一组的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表或画树状图求概率，列表后利用概率计算公式求解即可，掌握列表或画树状图求概率的方法是解题的关键． 【详解】解：四个卫生小组分别表示为：、、、，画树状图如下： 共有种等可能结果，其中王朝与好朋友马汉分在同一组的结果有种， 王朝与好朋友马汉分在同一组的概率是； 故答案：． 14. 如图是一个圆形分格干果盒，它的中间是圆形，周围是5个完全相同的扇形环．它的俯视图如图2（小格的厚度忽略不计）所示，，则图中阴影部分的面积是________ ．（结果用含π的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键． 根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点 E，F分别是线段的中点，将绕点 B 顺时针旋转至，点E，F 的对应点分别是，边与线段的交点为 O，当被分得的与中有一个是等腰三角形时，这个等腰三角形的面积是____________． 【答案】或2##2或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、正切的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键 根据矩形的性质及勾股定理可得，再根据中点的定义、中位线的性质可得、；再根据旋转的性质可得,,，然后再分解或是等腰三角形两种情况解答即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴, ∵点 E，F分别是线段的中点， ∴,, ∵将绕点 B 顺时针旋转至， ∴,,； 当是等腰三角形，即, ∵， ∴； 当是等腰三角形，即, 如图：过O作, ∴, ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：2或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、绝对值、负整数指数幂，再运算加减，即可作答． （2）先运算完全平方公式、多项式乘多项式，进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：（1） （2） ． 17. 某银行根据顾客当月评价反馈，对员工实行奖励．现抽取了名顾客对甲、乙两位员工的服务满意程度的评价分数（5分：非常满意；4分：满意；3分：一般；2分：不满意；1分：非常不满意）进行分析，结果如下表所示： 顾客 A 顾客 B 顾客 C 顾客D 顾客 E 顾客 F 顾客G 顾客H 顾客I 顾客J 员工甲 3 3 5 5 4 5 4 4 4 5 员工乙 5 5 3 4 5 4 5 3 5 3 银行负责人进行数据分析时首先计算了两位员工评价得分的平均分：员工甲分，员工乙分． （1）为更全面地了解顾客对甲、乙两位员工的服务满意程度，请你根据表格写出两位员工评价分数的中位数和众数； （2）你认为顾客对哪位员工的服务满意程度更高，为什么? 【答案】（1）中位数：员工甲4分，员工乙分．众数：员工甲4分和5分，员工乙5分 （2）对员工乙的服务满意程度更高，甲、乙两位员工评价得分的平均分均为分，但是员工乙的中位数高于员工甲 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，利用中位数进行决策等知识．熟练掌握中位数，众数，利用中位数进行决策是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义求解作答即可； （2）利用中位数进行决策即可． 【小问1详解】 解：由题意知，甲评分从小到大依次排序为：3，3，4，4，4，4，5，5，5，5； ∴中位数为第 5，6位数的平均数为，众数为4和5； 乙评分从小到大依次排序为：3，3，3，4，4，5，5，5，5，5； 中位数为第 5，6位数的平均数为，众数为5； ∴中位数：员工甲4分，员工乙分．众数：员工甲4分和5分，员工乙5分； 【小问2详解】 解：对员工乙的服务满意程度更高，理由如下； ∵甲、乙两位员工评价得分的平均分均为分，但是员工乙的中位数高于员工甲， ∴对员工乙的服务满意程度更高． 18. 为方便同学们更好地放置自己的物品，某校新购进了一批课桌便携式挂钩（如图1）．将其抽象成如图2的示意图，经过测量得到课桌高度为，，．请计算挂钩底端C到地面的距离．（结果精确到．参考数据： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．过点 B 作交的延长线于点F，延长交的延长线于点 G，则．根据含角的直角三角形的性质可得，进而得到，再求出，解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过点 B 作交的延长线于点F，延长交的延长线于点 G，则． ∵， ∴， 在中，， ∵， ， 在中， ， ∴． ∵课桌高度为， ∴． ∴． 答：挂钩底端C 到地面的距离约为． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，B． （1）求k，b的值和点 B 的坐标； （2）直接写出不等式 的解集； （3）在x轴上是否存在一点 P 使得 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把分别代入一次函数与反比例函数，即可求出k，b的值，再解方程组求出点B的坐标； （2）结合函数图象，写出一次函数在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可； （3）直线与轴的交点坐标为，利用三角形面积公式得到的面积，即可得到，设，根据列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把分别代入一次函数与反比例函数， ∴解得：， ∴一次函数与反比例函数， 联立 解得： ∴． 【小问2详解】 解：由图象可得： 的解集为：或． 【小问3详解】 解： 存在；理由如下： 由（1）得：直线与轴的交点坐标为， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴或． 20. 河南某农业公司为增强土地肥力，增加农作物产量，计划购进复合肥与有机肥若干．购买过程中发现，每复合肥比有机肥贵0.5元，用4000元购买的复合肥与用3000元购买的有机肥质量相同． （1）求每千克有机肥与每千克复合肥的价格； （2）该公司共有500亩土地，每亩需撒复合肥或有机肥，为方便操作，用无人机辅助播撒复合肥，人工播撒有机肥，现需要播撒复合肥的亩数不低于播撒有机肥的亩数的4倍，求多少亩播撒复合肥、多少亩播撒有机肥能使肥料成本最低． 【答案】（1）每千克有机肥的价格为元，每千克复合肥的价格为2元 （2）400亩播撒复合肥、100亩播撒有机肥能使肥料成本最低 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设每千克有机肥的价格为元，则每千克复合肥的价格为元，根据“用4000元购买的复合肥与用3000元购买的有机肥质量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设亩播撒复合肥，则亩播撒有机肥，根据“现需要播撒复合肥的亩数不低于播撒有机肥的亩数的4倍”列出一元一次不等式，得出，设肥料成本为元，求出关于的关系式，再根据一次函数的性质求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每千克有机肥的价格为元，则每千克复合肥的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：每千克有机肥的价格为元，每千克复合肥的价格为2元． 【小问2详解】 解：设亩播撒复合肥，则亩播撒有机肥， 根据题意，得． 解得． 设肥料成本为元， 则． ∵， ∴随的增大而增大． ∵，取整数， ∴当取时，有最小值．（亩）． 答：400亩播撒复合肥、100亩播撒有机肥能使肥料成本最低． 21. 如图，已知中，，以为直径的交边于点．过点作的切线交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明，得出，再证明，即可得证； （2）连接，则．证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，则． ， ∵， ∴． ∵ 在与中，， ∴． ∴ ∴． 即． 22. 某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． （1）请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； （2）因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边电线形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆上电线离地面的距离． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数解析式等知识，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式为，将代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）根据题意得左侧抛物线的顶点为，且过点，设左侧抛物线的函数表达式为 ，将代入函数表达式即可求得左侧抛物线的函数表达式，当时，代入函数表达式即可求解． 【小问1详解】 解：以A 为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． ∵，两电线杆间的距离为， ∴抛物线的顶点为； 设抛物线的函数表达式为 ， 将代入 ， 得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：距离 为，，左侧抛物线的最低点到地面的距离为， ∴左侧抛物线的顶点为，且过点． 设左侧抛物线的函数表达式为 ， 将代入 得．解得． ∴左侧抛物线的函数表达式为 ， ∴当时， ， ， ∴电线杆上电线离地面的距离为． 23. 周长与面积数值相等的图形叫做“等量图形”．小月在学习《正多边形》这一节时发现正三角形、正方形、矩形中存在“等量图形”，并进行了如下探究： 【探究一】正方形中的“等量图形” 设正方形的边长为a，周长为C，面积为S，则 当 时，可以求出a，所以当正方形的边长为 ① 时，它是“等量图形”． 【探究二】等边三角形中的“等量图形” 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S，则② ，③ ，当时，可以求出b，所以，当等边三角形的边长为 ④ 时，它是“等量图形”． 【探究三】矩形中的“等量图形” 设矩形的长为x，宽为y，周长为C，面积为S，则 ． （1）根据题意，完成上面的填空：① ，② ，③ ，④ ； （2）请你用图象法（可在网格上画图表示）与代数法分别研究：当时，是否存在一个矩形是“等量图形”，如果存在，它的长和宽分别为何值；如果不存在，请说明理由； （3）若，请你直接写出当m满足什么样的条件时，能使矩形是“等量图形”． 【答案】（1）①4；②；③；④ （2）不存在，理由如下： 由题意知，，即， ，即， 作图象如下： 由图象可知，当时，不存在一个矩形是“等量图形”； ∵，即，，即， 令，整理得，， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在一个矩形是“等量图形”； （3） 【解析】 【分析】（1）令，可求满足要求的解为； 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S，则，如图，等边三角形，过作于，则，，令，可求满足要求的解为； （2）由题意知，，即，，即，建立平面直角坐标系，然后作图象，根据图象无交点，判断作答即可； 令，整理得，，由，可知方程无解，然后判断作答即可； （3）由，可得，，令，整理得，，由矩形是“等量图形”，可知，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：∵， 当时，， 解得，或（舍去）， ∴当正方形的边长为4时，它是“等量图形”． 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S， ∴， 如图，等边三角形，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴当等边三角形的边长为时，它是“等量图形”． 故答案为：4；；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 令，整理得，， ∵矩形是“等量图形”， ∴， 令， 解得，或， ∵， ∴或（舍去）， ∴当时，能使矩形是“等量图形”． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，一次函数与反比例函数综合，等边三角形的性质，正弦等知识．熟练掌握解一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，一次函数与反比例函数综合，等边三角形的性质，正弦是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $