数学试题-【名校面对面】河南省三甲名校2023-2024学年高三4月校内自测卷（二）（word版)

河南省三甲名校四月校内自测卷（二）（ssyzx-1） 数学 试题 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则　　 A．， B．，1， C．， D．，0，1， 2．已知，则　　 A． B． C． D． 3．在中，，，则　　 A． B． C． D． 4．若，则下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 5．过，，三点的圆与轴交于，两点，则　　 A．3 B．4 C．8 D．6 6．已知数列的前项和为，且，，则　　 A．1056 B．1123 C．1315 D．2627 7．函数，则使不等式成立的的取值范围是 A． B． C． D． 8．是椭圆上一点，，是椭圆的左、右顶点，若，则的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为方程的两根，则　　 A． B． C． D． 10. 已知函数，满足，且在上单调递减，则　　 A． B．为奇函数 C．的对称轴为， D．在，上有3个零点 11．已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是　　 A．有无数个点，使得平面 B．有无数个点，使得平面 C．若点平面，则四棱锥的体积的最大值为 D．若点平面，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知两点，，若向量与垂直，则　　． 13. 有5位大学生要分配到，，三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有　 　种．（用数字作答） 14．已知函数恰有3个零点，则的取值范围是　 　． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知不透明的袋子中装有6个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，4个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个． （1）求前两次取出的球颜色不同的概率； （2）当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望． 16．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围． 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，． （1）证明：； （2）若二面角为，求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，点，为的左、右焦点，经过且垂直于椭圆长轴的弦长为3． （1）求椭圆的方程； （2）过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于，两点，与直线交于点，若，且点满足，求线段的最小值． 19. 已知数列为有限数列，满足，则称满足性质． （1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质，请说明理由； （2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围； （3）若是1，2，3，，的一个排列，符合，2，，，、都具有性质，求所有满足条件的数列． 数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省三甲名校四月校内自测卷（二）（ssyzx-1） 数学 答案 1-4 BADB 5-8 DDCD 9 .BCD 10. AC 11.ACD 12. 13. 50 14. ，，， 8．【解答】解：由题意令，，，则，，则，，由题意不妨设，，又，，则，，， 所以， 则的离心率为．故选：． 10．【解答】解：由题意可知，直线是图象的一条对称轴，且图象的一个对称中心为，，因为在上单调递减，所以周期， 周期，所以，则， 又，，得，所以，故正确； 不是奇函数，故错误； 令，，得，，故正确； 令，，得，，因为，，所以或， 故在，上有2个零点，故错误．故选：． 11．【解答】解：对于，由题意平面，在平面内建立平面直角坐标系，如图， 令点，，则，，，， ， ，令， ， 当且仅当取等号，此时，即， 的最大值为，故正确．故选：． 14．【解答】解：令，得或； 作出的大致图象，如图所示， 这两个函数的图象的交点为，，因为，， 所以由图可知的取值范围是，，，． 15．【解答】解：（1）设事件为“前两次取出的球颜色不同”，事件为“第一次取黑球，第二次取白球”，则，事件为“第一次取白球，第二次取黑球”，则， 因为事件与互斥，所以（A），即前两次取出的球颜色不同的概率为； （2）由题意知，随机变量的可能取值为2，3，4，5，6， 计算，，，，．所以的分布列为： 2 3 4 5 6 数学期望为． 16．【解答】解：（1）当时，，，， 令得，所以在上，单调递减， 在上，单调递增，所以单调递减区间为，单调递增区间为． （2）若恒成立，即恒成立， 令，，，， 令，得，所以在上，单调递减，在，上，单调递增，所以， 所以，又，所以，所以的取值范围为． 17．【解答】（1）证明：如图取的中点，连接，，，在菱形中，，则为等边三角形，所以，因为，所以， 因为，，平面，所以平面，又因为， 所以平面，又平面，所以； （2）解：因为，，平面，平面，所以即为二面角的平面角，所以，如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，则， 故，设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，可取， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18.【解答】解；（1）对于方程，令，则，解得，由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为； （2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件，设直线，若，则，则不满足，所以． 设，，，，，，由得：，△，所以，． 因为，即，则，， 所以，解得，则，即， 直线，联立，解得，即， ， 当且仅当或时，等号成立，的最小值为5． 19.【解答】解：（1）对于数列3，2，5，1，有，，，满足题意，该数列满足性质；对于第二个数列4、3、2、5、1，，，．不满足题意，该数列不满足性质． （2）由题意：，可得：，，3，，， 两边平方可得：，整理可得：，当时，得此时关于恒成立，所以等价于时，， 所以，，所以，或，所以取， 当时，得，此时关于恒成立，所以等价于时，， 所以，所以，所以取． 当时：，当为奇数时，得，恒成立，当为偶数时，，不恒成立；故当时，矛盾，舍去． 当时，得，当为奇数时，得，恒成立， 当为偶数时，，恒成立；故等价于时，， 所以，所以或，所以取，综上，． （3）设，，4，，，， 因为，可以取，或，可以取，或， 如果或取了或，将使不满足性质；所以的前5项有以下组合： ①，；；；； ②，；；；； ③，；；；； ④，；；；； 对于①，，，，与满足性质矛盾，舍去； 对于②，，，，与满足性质矛盾，舍去； 对于③，，，，与满足性质矛盾，舍去； 对于④，，，与满足性质矛盾，舍去； 所以，4，，，，均不能同时使、都具有性质． 当时，有数列，2，3，，，满足题意． 当时，有数列，，，3，2，1满足题意． 当时，有数列，1，3，，，满足题意． 当时，有数列，，，，，3，2，1满足题意． 所以满足题意的数列只有以上四种． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$