第01讲 平面及其基本性质（9个知识点+8种题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第01讲 平面及其基本性质 课程标准 学习目标 1. 理解平面的特性 2. 三个基本公理 3. 水平放置的平面图形的直观图特征 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点) 4.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 5．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点） 【知识点01 平面的概念】 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 【即学即练1】下列说法正确的是(　　) A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【知识点02 平面的画法】 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 【即学即练2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【知识点03 平面的表示】 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 【即学即练3】（23-24高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 【知识点04 点、直线、平面之间位置关系】 【即学即练4】如图所示，用符号语言可表达为　　 A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【知识点05 公理１】　 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 【即学即练5】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为　　 A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【知识点06 公理２】　 不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 【即学即练6】下列命题正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【知识点07 根据公理 ２ 可以得到下面的三个推论 】 （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 【即学即练7】下列命题错误的是　　 A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【知识点08公理３】 如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 【即学即练8】如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点． 【知识点09 空间图形的平面直观图的画法】 我们知道 ， 立体几何的研究对象是空间图形 ． 要将空间图形在一个平面上体现出来 ， 就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图 ． 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 下面 ， 我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ． 【即学即练9】下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有　　 ①三角形的直观图是三角形． ②平行四边形的直观图是平行四边形． ③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形． A．① B．①② C．③④ D．①②③④ 题型01 立体几何三种语言的相互转化 【解题策略】 三种语言的转换方法： (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上． 【变式1-1】．（23-24高二上·上海金山·期中）“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为 ． 【变式1-2】．对于结论“若，且，则”，用文字语言可以叙述为________________________. 【变式1-3】用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 题型02 确定平面的个数 【例2】．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________． 【变式2-1】．已知A、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个． 【变式2-2】三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个． 【变式2-3】．空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是______． 题型03 平面把空间分割问题 【例3】两个平面可以将空间分成 个部分． 【变式3-1】．一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分． 【变式3-2】空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 【变式3-3】．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分 题型04 点、线共面问题 【解题策略】 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”． (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”． 【例4】如图，已知：a ⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 【变式4-1】．如图，已知△ABC的三个顶点A､B､C在平面内，AD是BC边上的中线，求证：AD在平面上. 【变式4-2】．如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面． 【变式4-3】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 题型05 共线、共点问题 【解题策略】 反思感悟　(1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 【例5】如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点). 【变式5-1】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点． 【变式5-2】.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点． 【变式5-3】.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线． 题型06 水平放置的平面图形的直观图的画法 【解题策略】 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 【例6】(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为 ． (2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图． 【变式6-1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【变式6-2】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图． 【变式6-3】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示． 题型07 直观图的还原与计算 【解题策略】 由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的倍． 【例7】如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为________． 【变式7-1】(1)如图，△A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴、y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 (2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 【变式7-2】(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　) A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．4 ①　　　　　　　　② (2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积． 题型08 空间几何体的直观图的画法 【解题策略】 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图． (2)画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． 【例8】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图． 【变式8-1】画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm) 【变式8-2】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 【变式8-3】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图． 一、单选题 1．（22-23高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）三个平面不可能将空间分成（    ）个部分 A．5 B．6 C．7 D．8 4．（22-23高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 二、填空题 5．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是 命题.（填“真”或“假”） 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 8．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 9．（22-23高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）． 10．（23-24高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 11．（23-24高二上·上海·期末）三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个. 12．（21-22高二下·上海闵行·开学考试）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件． 13．（23-24高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 14．（23-24高二上·上海·期中）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为 .    15．（23-24高二上·上海·期末）若，且， （填一符号） 16．（23-24高二上·上海普陀·期中）4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个平面图形． 17．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）空间三个平面最多将空间分成 个部分（填数字）. 三、解答题 18．用集合符号表示下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线a上，直线a在平面内； (2)直线a经过平面外的一点A； (3)直线a既在平面内，又在平面内． 19．（1）如图，在正方体中，试画出平面与平面的交线． （2）如图，直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线． 20．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 21．如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线． 22、如图：在正方体中，，分别为，的中点，，； （1）点，，，是否共面？并说明理由； （2）若直线与平面的交点为证明：点，，共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面及其基本性质 课程标准 学习目标 1. 理解平面的特性 2. 三个基本公理 3. 水平放置的平面图形的直观图特征 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点) 4.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 5．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点） 【知识点01 平面的概念】 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 【即学即练1】下列说法正确的是(　　) A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 答案　D 解析　A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分． 【知识点02 平面的画法】 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 【即学即练2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 【知识点03 平面的表示】 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 【即学即练3】（23-24高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 【答案】 【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果. 【详解】由题意可知：直线在平面内， 所以符号语言为：， 故答案为：. 【知识点04 点、直线、平面之间位置关系】 【即学即练4】如图所示，用符号语言可表达为　　 A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】 【解析】解：如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：． 【知识点05 公理１】　 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 【即学即练5】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为　　 A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】 【解析】解：在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：． 【知识点06 公理２】　 不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 【即学即练6】下列命题正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】 【解析】解：对于选项：当三点共线时，不能确定一个平面，故错误． 对于选项：当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误． 对于选项：由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正确． 对于选项：当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误． 故选：． 【知识点07 根据公理 ２ 可以得到下面的三个推论 】 （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 【即学即练7】下列命题错误的是　　 A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】 【解析】解：由公理二知直线及直线外一点，确定一个平面，故正确； 由公理三知两条平行直线，确定一个平面，故正确；由公理三知两条相交直线，确定一个平面，故正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故错误．故选：． 【知识点08公理３】 如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 【即学即练8】如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点． 【解析】证明：连结、、，由题可知， 、分别是、的中点，，且，，且， 为梯形．则可令．由面，面， 面面，、、共点于． 【知识点09 空间图形的平面直观图的画法】 我们知道 ， 立体几何的研究对象是空间图形 ． 要将空间图形在一个平面上体现出来 ， 就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图 ． 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 下面 ， 我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ． 【即学即练9】下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有　　 ①三角形的直观图是三角形． ②平行四边形的直观图是平行四边形． ③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形． A．① B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】 【解析】解：由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以①正确； 根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以②正确； 根据两轴的夹角为或知，菱形的直观图不再是菱形，所以③错误； 根据平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半知，正方形的直观图不再是正方形，所以④错误． 故选：． 题型01 立体几何三种语言的相互转化 【解题策略】 三种语言的转换方法： (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上． [解]　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图． (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图． 【变式1-1】．（23-24高二上·上海金山·期中）“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为 ． 【答案】 【分析】直接根据直线在平面上的集合符号语言得到答案. 【详解】“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为. 故答案为：. 【变式1-2】．对于结论“若，且，则”，用文字语言可以叙述为________________________. 【答案】若直线在平面内，且直线与直线交于点，则点在平面内. 【分析】根据题意，直接用文字语言叙述即可. 【解析】分清楚点、线、面的关系，直接写出答案即可. 故答案为：若直线在平面内，且直线与直线交于点，则点在平面内. 【变式1-3】用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. [解]　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①. (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②. 题型02 确定平面的个数 【例2】．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________． 【答案】6个 【分析】根据平面的基本性质，交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面，列举出所有可能平面，即可得答案. 【解析】空间中交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面， 任意两条直线确定一个平面，若四条直线分别为， 所以各确定一个平面，共有6个平面. 故答案为：6个 【变式2-1】．已知A、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个． 【答案】1或无数 【分析】根据三点的位置关系，结合确定平面的依据，即可判断. 【解析】当三点A、B、C不共线时，则经过三点的平面有1个，当三点A、B、C共线时，则经过三点的平面有无数个. 故答案为：1或无数 【变式2-2】三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个． 【答案】1或3 【分析】讨论三条平行线是否共面，即可确定平面的个数. 【解析】当三条平行线不共面时，如下图示可确定3个平面； 当三条平行线共面时，如下图示确定1个平面. 故答案为：1或3 【变式2-3】．空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是______． 【答案】4 【分析】根据空间不共线的四个点是否共面分类讨论，即可得出结论． 【解析】若四个点共面，则只能确定一个平面； 若四个点不同在一个面上，则每三个点确定一个平面，此时共可确定4个平面， 所以，空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是4． 故答案为：4． 题型03 平面把空间分割问题 【例3】两个平面可以将空间分成 个部分． 【答案】3或4/4或3 【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果. 【详解】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间分成 3或4个部分. 故答案为：3或4． 【变式3-1】．一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分． 【答案】 2 4 8 【分析】由平面的性质可借助图形说明． 【解析】因为平面是无限延展的，所以一个平面可把空间分成2部分； 两个平面平行时，可把空间分成3部分，两个平面相交时，可把空间分成4部分，； 综上可知，两个平面最多可把空间分成4部分. 三个平面互相平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； 综上可知，三个平面最多可把空间分成8部分. 故答案为：①2；②4；③8.    【变式3-2】空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 【答案】B 【分析】将空间不重合的三个平面位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平面平行；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点，分情况分析求解即可. 【解析】空间不重合的三个平面， 若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分； 若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分. 所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.              故选：B. 【变式3-3】．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分 【答案】 【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案. 【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为： 题型04 点、线共面问题 【解题策略】 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”． (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”． 【例4】如图，已知：a ⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. [证明]　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β. ∴直线a⊂β，点 P∈β. ∵P∈b，b⊂α，∴P∈α. 又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α. 【变式4-1】．如图，已知△ABC的三个顶点A､B､C在平面内，AD是BC边上的中线，求证：AD在平面上. 【答案】见解析 【分析】根据题意可得直线在平面内，再根据点在直线BC上，可得点在平面内，再结合点A在平面内，即可得出结论. 【解析】证明：因为点B､C在平面内， 所以直线在平面内， 又因AD是BC边上的中线，则点在直线BC上， 所以点在平面内， 又因为点A在平面内， 所以直线AD在平面上. 【变式4-2】．如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知条件分析可知直线、可确定一个平面，证明出、、、、均在平面内，即可证得结论成立. 【解析】证明：因为，则直线、可确定一个平面，记该平面为， 因为、，、，则、、、，则， 因为，则，故、、、、五点共面. 【变式4-3】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 证明　方法一　(纳入法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内． 方法二　(同一法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． 题型05 共线、共点问题 【解题策略】 反思感悟　(1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 【例5】如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点). [思路探究]　→→ → [证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰. 所以AB，CD必定相交于一点. 设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β＝l，所以M∈l. 即AB，CD，l共点(相交于一点). 【变式5-1】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点． 证明　因为在梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰， 所以AB，CD必定相交于一点， 如图，设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α，且M∈β， 又因为α∩β＝l， 所以M∈l.即AB，CD，l共点． 【变式5-2】.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点． 证明　不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形， ∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1. 同理可证，S∈平面ACC1A1， ∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上， 即S∈CC1， ∴AA1，BB1，CC1三线共点． 【变式5-3】.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线． 解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在平面SBD和平面SAC的交线上． 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E， 如图所示， ∵E∈AC，AC⊂平面SAC， ∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线． 题型06 水平放置的平面图形的直观图的画法 【解题策略】 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 【例6】(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为 ． (2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图． (1)　[正方形的直观图A′B′C′D′如图： 因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°， 所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝.] (2)[解]　画法：①在下图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H. ②在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. ③在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG， O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE， 分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD； ④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′， H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)． ①　　　　　　②　　　　　　③ 【变式6-1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图． 【变式6-2】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图． 解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系． (2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA. 连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示． 【变式6-3】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示． [解]　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示． (2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②. (3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③. 题型07 直观图的还原与计算 【解题策略】 由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的倍． 【例7】如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为________． 答案　菱形　24 cm2 解析　如图，在原图形OABC中， 应有OD＝2O′D′＝2×2 ＝4(cm)， CD＝C′D′＝2 cm， 所以OC＝ ＝＝6(cm)， 所以OA＝OC＝BC＝AB， 故四边形OABC是菱形． S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24(cm2)． 【变式7-1】(1)如图，△A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴、y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 答案　D 解析　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形． (2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　D 解析　方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy. 如图②所示，建立平面直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，应有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a. 过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a. 所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2. 方法二　S△ABC＝a2， 又S△A′B′C′＝S△ABC，∴S△A′B′C′＝×a2＝a2. 【变式7-2】(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　) A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．4 ①　　　　　　　　② (2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积． [思路探究]　逆用斜二测画法，还原图形．先定点，再连线得原图形，求面积． (1)C　[由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2. ∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4， ∴S△OAB＝××4＝2.选C.] (2)[解]　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)． 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. 所以面积为S＝×2＝5. 题型08 空间几何体的直观图的画法 【解题策略】 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图． (2)画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． 【例8】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图． 解　(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了． 【变式8-1】画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm) [思路探究]　先画轴，再利用斜二测画法，画出两个底面，连线成图，擦去多余的线． [解]　画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°. (2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm. (4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图． 【变式8-2】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解　画法： (1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图1；画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图2；②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以点M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴的正半轴上截取点P′，点P′异于点O′. (3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图3. 【变式8-3】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图． [解]　画法：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图． 一、单选题 1．（22-23高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【答案】B 【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 【详解】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可求解. 【详解】若l与相交，则l与只有一个公共点，故充分性成立， 若l与至多有一个公共点，则l与相交或者，故必要性不成立， 故“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的充分非必要条件， 故选:A 3．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）三个平面不可能将空间分成（    ）个部分 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，五种情况讨论即可. 【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分； 若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分； 若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分 故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5. 故选：A. 4．（22-23高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 【答案】C 【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可． 【详解】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A错误； 对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误； 对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C正确； 下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形． 证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点， 连接，，， 由，为，，则，且，同理，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形． 对于D，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D错误． 故选：C． 二、填空题 5．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【详解】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】当三点共线时，可以知命题不成立，即可得正确答案. 【详解】因为过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 当三点共线时可以确定无数个平面， 所以命题为假命题. 故答案为：假. 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 【答案】 【分析】根据确定平面的依据，即可求解. 【详解】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【答案】平行或相交 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 9．（22-23高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）． 【答案】 【分析】利用点线面的位置关系判断即可得出结论. 【详解】因为既在平面内又在平面内，所以在两平面的交线上，即; 因为点平面，点平面，平面平面直线l，所以 故答案为： 10．（23-24高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 【答案】故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 【分析】根据公理的内容即可求解. 【详解】公理2：不在同一直线上的三个点确定一个平面。 推论1：经过一条直线以及直线外一点确定一个平面， 推论2：经过两条相交直线确定一个平面， 推论3：两条平行线确定一个平面. 故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 11．（23-24高二上·上海·期末）三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个. 【答案】1 【分析】根据确定平面的方法即可. 【详解】不在同一条直线上的三点确定一个平面. 故答案为：1. 12．（21-22高二下·上海闵行·开学考试）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据充分不必要条件的概念，结合空间点面位置关系判断即可. 【详解】空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；反之，若空间四点共面，不一定有三点共线， 所以，在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 13．（23-24高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 【答案】1 【分析】根据平面的事实1即可判定. 【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上， 根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 故答案为：1. 14．（23-24高二上·上海·期中）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为 .    【答案】8 【分析】由直观图作出原图形，为直角梯形，确定出各边长后计算面积． 【详解】在坐标系中作出原图形，它是直角梯形，其中，，, 面积为， 故答案为：8.    15．（23-24高二上·上海·期末）若，且， （填一符号） 【答案】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【详解】，且，. 故答案为：. 16．（23-24高二上·上海普陀·期中）4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个平面图形． 【答案】相交 【分析】应用空间想象，讨论对角线不相交、相交两种情况分析得结论. 【详解】当两条对角线不相交时，四边形的四个顶点不共面，故不是平面图形，如下图，    对角线不相交，即为空间四边形； 当两条对角线相交时，四边形的四个顶点共面，是平面图形，如下图，    对角线相交，即为平面四边形； 故答案为：相交 17．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）空间三个平面最多将空间分成 个部分（填数字）. 【答案】 【分析】对三个平面的位置进行分类讨论，作出相应的图形，即可得出结论. 【详解】三个平面两两平行时，这三个平面将空间分为部分； 两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交于同一条直线，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线两两平行时，如三棱柱的三个侧面所在的平面， 这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线交于一点，则这三个平面将空间分为部分. 因此，空间三个平面最多将空间分成个部分. 故答案为：. 三、解答题 18．用集合符号表示下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线a上，直线a在平面内； (2)直线a经过平面外的一点A； (3)直线a既在平面内，又在平面内． 【答案】(1)集合符合表示为：，图形见解析； (2)集合符合表示为：，图形见解析； (3)集合符合表示为：，图形见解析 【分析】（1）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 （2）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 （3）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 (1) 集合符合表示为：， (2) 集合符合表示为：， (3) 集合符合表示为： 19．（1）如图，在正方体中，试画出平面与平面的交线． （2）如图，直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线． 【答案】详见解析. 【分析】（1）先记与的交点为，连接，即可得出交线； （2）延长和交于点，再连接，即得到交线. 【解析】（1）记与的交点为，连接，则即为平面与平面的交线，如图： （2）延长和交于点，连接，即为平面和平面的交线，如图： 20．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明. 【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线. 21．如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线转化为证明两面的交线问题，利用两面相交有且只有一条交线，即两面的公共点都在交线上. 【解析】证明：如图，连接，， 则， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 又，平面， 则平面， 因为平面平面， 所以．即，，三点共线． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是证明平面，平面平面，，即可证，，三点共线． 22、如图：在正方体中，，分别为，的中点，，； （1）点，，，是否共面？并说明理由； （2）若直线与平面的交点为证明：点，，共线． 【答案】见解析 【解析】解：（1）点，，，共面．证明：由于和在同一平面内，且不平行，故必相交， 设交点为，则，同理，直线与与相交，设交点为，则， 故与重合，得与交于，故，，，共面． （2）在正方体中，连接，，平面，又， 平面，即是平面与平面的公共点， 同理是平面与平面的公共点，平面平面，平面，，平面，平面，故点，，共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$