精品解析：2024年湖南省长沙市立信中学中考二模数学试题

立信中学2023-2024学年第二学期学业水平考试模拟试卷（二） 初三数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示： 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 的绝对值是（　　） A. 2 B. C. D. 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（　　） A. 必然事件发生的概率是1 B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 4. 下列运算正确的是( ) ． A. B. C. D. 5. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE=50°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 20° B. 40° C. 45° D. 50° 7. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 35，35 B. 34，33 C. 34，35 D. 35，34 8. 如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A. B. C. D. 9. 古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车辆，则根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，若，过点G作交于点P，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 分式方程的解是________ 13. 已知a，b是一元二次方程的两根，则________． 14. 如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为______． 15. 为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为______． 16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米． （1）求与之间的距离； （2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数） 20. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 21. 如图，在中，是的中点， 于， 于点，且， （1）求证：平分． （2）若，，求的面积． 22. 我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于人，票价每张元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：人以上的团体票有两种优惠方案可选： 方案一：全体人员打折； 方案二：打折，有人可以免票． （1）若一班有人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱； （2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 23. 如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，弦平分，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径和线段的长． 24. 如图，在菱形中，点是边上一动点（且与点、不重合），连接交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求证； （3）过点作交于点，记．为，为，， ①求证：； ②求与之间的函数关系式． 25. 对于抛物线，我们发现其图像上任意一点到点的距离和到直线的距离总是相等，于是规定点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线． 例如：如图，，其焦点为，准线为直线，抛物线上任意一点到准线的距离为，则，，即；同理可得时，也成立．利用焦点和准线的性质解决下列问题： （1）请直接写出抛物线的焦点和准线； （2）如图，已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过焦点的直线与抛物线交于两点，求证：； （3）已知抛物线，焦点为，点为对称轴右侧的抛物线上一点，且， ①求的值； ②过焦点的直线与该抛物线交于两点，为抛物线准线上一点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立信中学2023-2024学年第二学期学业水平考试模拟试卷（二） 初三数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示： 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 的绝对值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查求一个数的绝对值，根据绝对值的定义求解即可，比较简单． 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形进行判断即可． 【详解】解：从左面看，该立体图形的左视图为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的三视图，理解三视图是解答的关键． 3. 下列说法错误的是（　　） A. 必然事件发生的概率是1 B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 【答案】C 【解析】 【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1 【详解】A、必然事件发生的概率是1，正确； B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C、概率很小的事件也有可能发生，故错误； D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选C． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0. 4. 下列运算正确的是( ) ． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：，错误，故A不符合要求； ，错误，故B不符合要求； ，错误，故C不符合要求； ，正确，故D符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 5. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，即可得答案． 【详解】解：∵一个点关于原点的对称点的坐标特点为，横纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标是， 故选：． 6. 一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE=50°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 20° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出∠AFC的度数，然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】∵DE∥AF， ∴∠AFC=∠CDE=50°， 根据三角形外角的性质可得：∠AFC=∠B+∠BAF，∴∠BAF=50°－30°=20°，故选A． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，属于基础题型．明白平行线的性质是解题的关键． 7. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 35，35 B. 34，33 C. 34，35 D. 35，34 【答案】C 【解析】 【分析】这组数据中出现次数最多的数是众数，把这组数据按从小到大的顺序排列最中间的两个数据的平均数是中位数． 【详解】29，32，33，35，35，40， 这组数据的众数：35， 这组数据的中位数：． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数，解决问题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义和确定方法． 8. 如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角的有关定理，解题的关键是找到同弧所对的圆周角． 根据是的直径，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车辆，则根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设共有x辆车，依题意得：， 故选：C． 10. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，若，过点G作交于点P，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由作图知，平分，易证，得，再由即可求得结果的值． 【详解】解：由尺规作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识是关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 分式方程的解是________ 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解； 【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得 3(x+1)=4x 3x+3=4x x=3， 检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0， ∴原分式方程的解为：x=3． 故答案为：x=3． 【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式方程一定要验根． 13. 已知a，b是一元二次方程的两根，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接根据两根之和的公式可得答案． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两根， ∴a+b=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，． 14. 如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵弦的长是，， ∴， 又∵半径为，， ∴， ∴， 故答案为． 15. 为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为______． 【答案】2400 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中观看冬奥会开幕式的九年级学生人数所占比例即可． 【详解】估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为（人） 故答案为：2400 【点睛】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数． 16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______． 【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；E收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于A收费出口通过的数量；B收费出口通过的数量大于E收费出口通过的数量； ∴， ∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先算负指数的幂、零指数幂、以及绝对值、再代入特殊角的三角函数计算，最后算加减即可得出答案； 【详解】解： 【点睛】本题考查了幂的乘方、绝对值及有理数的乘除和加减，熟练掌握各种运算是解题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可求解． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米． （1）求与之间的距离； （2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】（1）之间的距离为30米；（2）天线的高度约为27米． 【解析】 【分析】（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离． （2）根据题意，在中，，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解． 【详解】（1）依题意可得，在中， ， 米， 米，米. 即之间的距离为30米． （2）在中，，米， （米）， 米，米． 由．并精确到整数可得米． 即天线的高度约为27米． 【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． （2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键． 20. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7； （2） 补充完整的条形统计图如图所示： 108°； （3）． 【解析】 【分析】此题主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，这次抽样调查共抽取：（人），， 故答案为：50，7． 【小问2详解】 由（1）知，，等级为的有：（人）， 等所在扇形圆心角的度数为： ． 【小问3详解】 树状图如下所示： 由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为． 21. 如图，在中，是的中点， 于， 于点，且， （1）求证：平分． （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明： ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵于， 于点， ∴平分． （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出是解题的关键． （1）先证明，再得出，根据角平分线的判定即可证得； （2）根据题意得出是等腰三角形，根据勾股定理求出，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， ∴是等腰三角形， 根据三线合一得， ， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 22. 我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于人，票价每张元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：人以上的团体票有两种优惠方案可选： 方案一：全体人员打折； 方案二：打折，有人可以免票． （1）若一班有人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱； （2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 【答案】（1）， （2）一班有人 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据题意和题目中的数据，可以分别求出两种方案下的花费情况即可． （2）根据一班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【小问1详解】 方案一：由题意可得需付（元）， 方案二：由题意可得需付（元）， 故答案为，． 【小问2详解】 设二班有人，根据题意得方案一和方案二需要付的钱数一样， 故可列方程， 解得， 答：一班有人． 23. 如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，弦平分，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径和线段的长． 【答案】（1） 解：证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，而，则可判断，根据平行线的性质得，加上，可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，即可证明； （2）连接，如图，根据圆周角定理，由是的直径，得到，，再证明为等腰直角三角形，得到，即可求出，在中，利用，可计算出，，，接着证明，利用相似比即可计算出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图， 是的直径， ，， 平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ∴， 在中，， 设，， ， ， 解得：， ，，， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，在菱形中，点是边上一动点（且与点、不重合），连接交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求证； （3）过点作交于点，记．为，为，， ①求证：； ②求与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） ①证明：∵，， ∴， ∴，， ∴，， 两式相加得， 即， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，因为菱形的对角线平分一组对角，得，再根据外角的性质可得出． （2）根据题意易证，得出，因为，化简可得． （3）①根据题意可得，，即，，故 ，，两式相加得，化简可得． ②根据，，得，即，，，根据， ，得出，即，，，，，代入化简即可． 【小问1详解】 根据题意可得，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 对于抛物线，我们发现其图像上任意一点到点的距离和到直线的距离总是相等，于是规定点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线． 例如：如图，，其焦点为，准线为直线，抛物线上任意一点到准线的距离为，则，，即；同理可得时，也成立．利用焦点和准线的性质解决下列问题： （1）请直接写出抛物线的焦点和准线； （2）如图，已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过焦点的直线与抛物线交于两点，求证：； （3）已知抛物线，焦点为，点为对称轴右侧的抛物线上一点，且， ①求的值； ②过焦点的直线与该抛物线交于两点，为抛物线准线上一点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 【答案】（1）焦点，准线 （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵为焦点，为准线， ∴，， ∴， ∵四边形，为矩形， ∴，， ∴， ∴． （3）①，②或 【解析】 【分析】（1）将抛物线可化为，根据焦点为，准线为即可． （2）根据题意易证，即，由于焦点和准线的性质，可得，，在因为四边形，为矩形，得，，故，即． （3）①过点作准线的垂线，垂足为，可得，准线，设，根据，得时，，即，因为，解得． ②按照题意作图，过点作的垂线，垂足为，根据题意可得，，，抛物线的解析式为，设解析式为， 联列两个解析式，可得，故方程的两根为，有，，故，所以，，再根据，得，，，根据，可解得，故直线的解析式或． 【小问1详解】 ∵抛物线可化为，其中为， ∴焦点，准线． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由已知可知在，为焦点，连接，过点作准线的垂线，垂足为， ∴，准线， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得，， ∵， ∴． ②按照题意作图，过点作的垂线，垂足为， 根据题意可得，，，抛物线的解析式为， 故可设直线解析式为， 联列两个解析式，可得， 即， 设方程的两根为，， ∴， ∴， ∴， 即，代入数值可得， ∴， ∴线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ， 即， 解得， ∴直线的解析式或． 【点睛】本题考查二次函数抛物线的图像和性质，解直角三角形的相关计算，一次函数的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $