精品解析：2024年江苏省苏州工业园区星港学校九年级中考数学二模试题

2023－2024学年第二学期5月练习试卷 九年级数学学科 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰好有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是（　　） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 四棱锥 D. 圆锥 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校开展了“迎新春，贺新年”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为100人，则参加“大合唱”的人数为（ ） A. 80人 B. 200人 C. 120人 D. 300人 5. 已知点，在一次函数的图像上，则m与n的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法确定 6. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，点D在的延长线上，，则的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 8. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 18 D. 21 二、填空题（本大题共8小题，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：______． 10. 因式分解：_______． 11. 一圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面展开图的面积等于 ______． 12. 我国的陆地面积大约为万平方千米，东部和南部大陆海岸线万多千米，内海和边海的水域面积约多万平方千米．数据万用科学记数法可表示为____________． 13. 在一个不透明的盒子中，装有14个小球，其中5个黄球、3个白球，剩余的是红球．这些小球除颜色外没有其他不同．从盒子中随机摸出一个小球，摸出红球的概率为______． 14. 若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋b＞0的不等式的解集为________． 15. 如图，在四边形中，，，，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为，若，，则______ 16. 如图，半圆的半径为于于，且是半圆上任意一点，则封闭图形面积的最大值是______． 三、解答题（本大题共11小题，17，18每题5分，19－22，每题6分，23题8分，24－27每题10分，共82分） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中，2，1，从中选取一个值代入求值． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，，，当长为 时，四边形是菱形． 21. 苏州作为首批国家历史文化名城之一，有“人间天堂”的美誉．某旅游团从拙政园、虎丘、狮子林、苏州博物馆这4个景点中随机选取景点游览． （1）如果从中选取1个景点，求恰好是拙政园的概率为______； （2）选取2个景点，则狮子林和苏州博物馆在其中概率为多少？（用画树状图或列表的方法说明） 22. 育人中学初二年级共有1000名学生，2023年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别抽取200初二年级学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下： 育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表 跳绳个数（） 频数（摸底测试） 19 27 72 17 频数（最终测试） 3 6 59 育人中学初二学生30秒跳绳最终测试成绩的扇形统计图： （1）表格中______； （2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据） （3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级全体学生最终测试30秒跳绳超过60个的人数有多少？ 23. 已知函数． （1）求证：该函数的图象与轴总有公共点； （2）当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围． 24. 某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图． 小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． （1）小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由； （2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式； （3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 25. 如图，在中，点D为边上的一个动点，以为直径的交于点E，过点C作，交于点F．连接，若是的切线． （1）求证：； （2）若，求直径的长． 26. 【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 27. 已知矩形中，E是的中点，于点F． （1）如图1，若，求的值； （2）如图2，连接交于点G，若，求值； （3）如图3，延长交于点G，若G点恰好为的中点，过A作交于K，设的面积为，的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年第二学期5月练习试卷 九年级数学学科 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰好有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数负数，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小． 【详解】由“正数负数，两个负数比较大小时，绝对值大反而小”可知， ， 故选：A． 2. 如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是（　　） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 四棱锥 D. 圆锥 【答案】A 【解析】 【分析】俯视图是从几何体的上面看所得到的视图，分别找出四个几何体的俯视图可得答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握从几何体的上面看所得到的视图是俯视图． 【详解】解：A．三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意； B．圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； C．四棱锥的俯视图是四边形（画有对角线），故此选项不合题意； D．圆锥体的俯视图是圆（带圆心），故此选项不合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，单项式乘以单项式，有理数除法计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 某校开展了“迎新春，贺新年”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为100人，则参加“大合唱”的人数为（ ） A. 80人 B. 200人 C. 120人 D. 300人 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，先用参加“书法”的人数除以其人数占比得到总人数，再用总人数乘以参加“大合唱”的人数即可得到答案． 【详解】解：人， ∴参加“大合唱”的人数是200人， 故选：B． 5. 已知点，在一次函数的图像上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，y随x增大而减小判断即可． 【详解】解：知点，在一次函数图像上， ∵-2<0， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是明确一次函数y随x增大而减小的性质． 6. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案 【详解】解：过A作， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，，，点D在的延长线上，，则的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作交于点E，作交于点F，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，设，证明出，然后利用相似三角形的性质列方程求出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，作交于点E，作交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴的面积． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活添加辅助线． 8. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 18 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：______． 【答案】a 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． 【详解】， 故答案为：a． 10. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解， 本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式． 【详解】解： ． 11. 一圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面展开图的面积等于 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出母线长，圆锥的侧面展开图为一扇形，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长=， ∴圆锥的侧面展开图的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键在于掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形，以及扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12. 我国的陆地面积大约为万平方千米，东部和南部大陆海岸线万多千米，内海和边海的水域面积约多万平方千米．数据万用科学记数法可表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故答案为：． 13. 在一个不透明的盒子中，装有14个小球，其中5个黄球、3个白球，剩余的是红球．这些小球除颜色外没有其他不同．从盒子中随机摸出一个小球，摸出红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单随机事件的概率计算，先求出红球的个数，再用红球的个数除以总的球数，即可得到答案． 【详解】装有14个小球，其中5个黄球、3个白球， 红球有6个， 摸出红球的概率为， 故答案为：． 14. 若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋b＞0的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像得出，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：∵根据图像可知y＝kx＋b与轴交于点，且， ∴， 解得， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，，，，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为，若，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点E作于点H，设，在中，利用，即可求出x的值，已知，，由折叠可知，设，在中，利用即可求m的值，进而也可求出． 【详解】解：如图，过点E作于点H， 设， 由折叠可知，则， 在中， ， 解得， 即， ，， ， 由折叠可知， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 16. 如图，半圆的半径为于于，且是半圆上任意一点，则封闭图形面积的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；要使封闭图形面积最大，就要使的面积最小，确定封闭图形面积的最大值是梯形的面积的面积，据此，进行解答． 【详解】如图所示，作矩形，连接，梯形的面积为定值， 要使封闭图形的面积最大，就要使的面积最小， 为定长， 到的距离就要最小， 连接，设交半圆于点， ，， ，过作于，则为矩形， ，， ，， 在半圆外，设在半圆上的任意一点到的距离为，则， ， ， 当点运动到半圆与的交点位置时，封闭图形面积最大． ， ， 封闭图形面积的最大值是梯形的面积的面积． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17，18每题5分，19－22，每题6分，23题8分，24－27每题10分，共82分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答案． 详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中，2，1，从中选取一个值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定未知数的值，进而代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，，，当的长为 时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明过程见详解； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用． （1）根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求出的值． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ． 又， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：作于点G，作于点H， , 四边形是矩形， , ， , , ， , 在中，， 设, ，则, 在中，， ， 解得：， ∴当时，四边形是菱形． 21. 苏州作为首批国家历史文化名城之一，有“人间天堂”的美誉．某旅游团从拙政园、虎丘、狮子林、苏州博物馆这4个景点中随机选取景点游览． （1）如果从中选取1个景点，求恰好是拙政园的概率为______； （2）选取2个景点，则狮子林和苏州博物馆在其中的概率为多少？（用画树状图或列表的方法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中拙政园的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中狮子林和苏州博物馆的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一共有4个景点，且每个景点被选取的概率相同， ∴从中选取1个景点，求恰好是拙政园的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设分别用A、B、C、D表示拙政园、虎丘、狮子林、苏州博物这4个景点，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中狮子林和苏州博物馆被选取的结果数有2种， ∴狮子林和苏州博物馆被选取的概率为． 22. 育人中学初二年级共有1000名学生，2023年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别抽取200初二年级学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下： 育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表 跳绳个数（） 频数（摸底测试） 19 27 72 17 频数（最终测试） 3 6 59 育人中学初二学生30秒跳绳最终测试成绩的扇形统计图： （1）表格中______； （2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据） （3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级全体学生最终测试30秒跳绳超过60个的人数有多少？ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）955人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体： （1）用全校初二年级总人数200名减去摸底测试中非的总人数即可求得a； （2）最终成绩中，求出的占比，据此可补全扇形统计图； （3）用总人数1000乘以样本中最终成绩中大于60个占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，, 故答案为：65； 【小问2详解】 解：最终成绩中，的占比为 ， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：人， ∴经过一个学期的训练，该校初二年级全体学生最终测试30秒跳绳超过60个的人数有955人。 23. 已知函数． （1）求证：该函数的图象与轴总有公共点； （2）当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式即可判断； （2）解方程求得，，则，，，根据即可求得线段长度的取值范围． 【小问1详解】 证明：令，则， △， 该函数的图象与轴总有公共点； 【小问2详解】 解：由方程， 解得，， ，， ， ， ． 24. 某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图． 小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． （1）小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由； （2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式； （3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 【答案】（1）认同，理由见解析 （2）①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1； （3）在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨． 【解析】 【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断； （2）利用待定系数法求解即可； （3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：认同，理由如下： 观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系； 观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1）， ∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2， ∴不是反比例函数关系， 小莹认为不能选是正确的； 【小问2详解】 解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)， 由题意得， 解得：， ∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)； 检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意； ②号田符合y=−0.1x2+ax+c， 由题意得， 解得：， ∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1； 检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意； 【小问3详解】 解：设总年产量为w， 依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2 =−0.1(x2-15x+-)+2 =−0.1(x-7.5)2+7.625， ∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值， ∴在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，在中，点D为边上的一个动点，以为直径的交于点E，过点C作，交于点F．连接，若是的切线． （1）求证：； （2）若，求直径的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质、直径所对圆周角等于直角即可证明结论； （2）如图：连接，并延长和相交于G，由全等三角形的性质及勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图：连接，并延长和相交于G， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，设，则， ∵， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 27. 已知矩形中，E是的中点，于点F． （1）如图1，若，求的值； （2）如图2，连接交于点G，若，求的值； （3）如图3，延长交于点G，若G点恰好为的中点，过A作交于K，设的面积为，的面积为，求的值． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】1）证明，得出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于，连接、，证明，得出，证出，得出，证明四边形是菱形，得出，，，得出，求出，得出，求出，得出，由等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （3）过作于，交于，作于，则，，，证明，证出，得出四边形是正方形，得出，设，则，由三角函数得出，由勾股定理得出，由三角形面积求出，证明，的，求出，，得出，，由三角函数得出，设，则，证明，得出，求出，由得出方程，解得，，由三角形面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 解： 是的中点， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：延长交的延长线于，连接、，如图2所示： 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过作于，交于，作于，如图3所示： 则，，， 是的中点，是的中点， ，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，即， ， 四边形是正方形， ， 设， 则， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ， ， ， 设，则， ，， ，， ， 又， ， ，即， 解得：， ， ， 解得：， ， 的面积为，的面积为， ； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定由性质、正方形的判定与性质、三角函数定义、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定由性质、正方形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$