精品解析：广东省湛江市某校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

数学 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2．请将正确答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：选修2-2. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知函数在处的导数的几何意义是（ ） A. 在处的切线的斜率 B. 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值 C. 曲线在点处切线的斜率 D. 点与点连线的斜率 2. 已知函数，则等于（ ） A. 16 B. C. D. 3. （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 4. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 定积分的值为(　　) A. 3 B. 1 C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知,则的大小关系为 A. B. C. D. 9. 已知函数，其导数的图象如下图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 在处取得极小值 C. 在处取得极大值 D. 在上为增函数 10. 已知，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图象如图所示，则定积分 A. B. C. 2 D. 3 12. 已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有最大值 B. 函数有最大值，但不一定是 C. 函数的最小值也可能是 D. 函数不一定有最大值 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数（为自然对数的底数），则函数的极值点为______． 14. 若复数满足，则复数______． 15. 由抛物线与直线及所围成图形的面积为______． 16. 已知为上的连续可导函数，且，则函数的零点个数为________． 三、解答题（17题10分，18-21题，每题12分，共70分） 17. 已知，i为虚数单位. （1）若，求； （2）若，求实数a，b的值. 18. 已知函数． （1）求曲线与轴、直线，所围成的图形的面积． （2）求曲线与直线，及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体的体积． 19. 已知函数在和处取得极值. （1）求f（x）的表达式和极值． （2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围． 20. 已知函数为的导函数，当时， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； 21. 为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m． （1）写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数； （2）如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？ 22. 函数. （Ⅰ）若时，求函数的单调区间； （Ⅱ）设，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2．请将正确答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：选修2-2. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知函数在处的导数的几何意义是（ ） A. 在处的切线的斜率 B. 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值 C. 曲线在点处切线的斜率 D. 点与点连线的斜率 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义直接判断作答. 【详解】根据导数的几何意义，是函数在点处切线的斜率，故A错误，C正确； 对于B，函数在点处的切线倾斜角可以为钝角，此时为负，故B错误； 对于D，曲线在点处的切线不一定过原点，故D错误. 故选：C. 2. 已知函数，则等于（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，则，所以. 故选：A 3. （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】 故选：D 【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 5. 定积分的值为(　　) A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用定积分运算公式，进行求解计算. 【详解】，故本题选C. 【点睛】本题考查了定积分的运算，属于基础题. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算法则计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 7. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复合函数的求导公式求导，再令即可得解. 【详解】由，得，所以. 故选：C. 8. 已知,则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】,,, 故选C. 9. 已知函数，其导数的图象如下图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 在处取得极小值 C. 在处取得极大值 D. 在上为增函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数的单调区间及极值点，即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在和处取得极小值，在处取得极大值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 10. 已知，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方、除法运算法则化简，即可得到其共轭复数，再判断其虚部. 【详解】因为，，，所以，， 则， 又， 所以 ， 所以，则的虚部为. 故选：B 11. 二次函数的图象如图所示，则定积分 A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知，二次函数的零点为1，2，方程的根为1，2，由韦达定理求出的值，利用微积分基本定理可得结果. 【详解】 由图象可知，二次函数的零点为1，2 即方程的根为1，2， 由韦达定理可得. 故选B. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质以及方程的根与函数零点的关系，微积分基本定理的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 12. 已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有最大值 B. 函数有最大值，但不一定是 C. 函数的最小值也可能是 D. 函数不一定有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解. 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：区分函数的极值和最值是解决本题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数（为自然对数的底数），则函数的极值点为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数求出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得解. 【详解】， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极值点为. 故答案为：. 14. 若复数满足，则复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方及乘法运算计算即可. 【详解】， 所以. 故答案为：. 15. 由抛物线与直线及所围成图形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据曲线画出图象，再根据定积分的几何意义求解图形面积即可. 【详解】由题意，所围成平面图形如图所示， 由，解得或(舍去)， 所以抛物线与直线的交点坐标为， 由，可得， 所以. 故答案为：. 16. 已知为上的连续可导函数，且，则函数的零点个数为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设，则，则函数在上为增函数，且，所以在上恒为正，故函数的零点个数为. 考点：1.函数的零点；2.函数的单调性与导数的关系. 【易错点晴】本题考查了利用导数来判断单调性和函数的零点的定义.属于中档题.对于函数,定义域为.若,,则为函数的零点.在本题中,利用已知条件,要构造函数,则,得到函数在上为增函数，且，故,即没有零点. 三、解答题（17题10分，18-21题，每题12分，共70分） 17. 已知，i为虚数单位. （1）若，求； （2）若，求实数a，b的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）求出的共轭复数，代入化简，再求； （2）根据，得到，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知，， ， . （2）， ， ，解得. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解. 18. 已知函数． （1）求曲线与轴、直线，所围成的图形的面积． （2）求曲线与直线，及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由微积分基本定理，得到，即可求解； （2）根据题意，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：由微积分基本定理，得到曲线与轴、直线，所围成的图形的面积为：. 【小问2详解】 解：由曲线与直线，及轴所围成的曲边梯形， 绕轴旋转一周所得旋转体的体积为. 19. 已知函数在和处取得极值. （1）求f（x）的表达式和极值． （2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围． 【答案】（1）f（x）=2x3-3x2-12x+3,当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17（2）m≤-5或m≥2 【解析】 【分析】（1）由题意得和2为导函数两个零点，根据韦达定理可求，列表分析导函数符号变化规律，确定极值； （2）由（1）可得函数单调区间，根据为单调区间一个子集可得不等式或或，解不等式即可. 【详解】解：（1）的两根为和2，∴，得， ∴，∴， 令，得或；令，得， 所以的极大值是，极小值是. （2）由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减， ∴或或，∴或，则的取值范围是. 【点睛】方法点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略： (1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论. (3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反. 20. 已知函数为的导函数，当时， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值； 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据导数和函数单调性极值的关系求解即可； 【小问1详解】 当时，，故， ，，切点为， 曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，， ， 令，解得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值； 21. 为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m． （1）写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数； （2）如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？ 【答案】（1） （2） 由， 当且仅当，即时，等号成立， 显然不行，因为没有达到高速公路提速的目的. 【解析】 【分析】（1）先求出从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时，进而达到每小时通过的车辆求解； （2）由（1）的函数，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 解：从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时小时， 则每小时通过的车辆为辆， 又因为当车速为60km/h时，安全车距为40m． 所以，解得， 所以某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数为： ， 【小问2详解】 略 22. 函数. （Ⅰ）若时，求函数的单调区间； （Ⅱ）设，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）当时，，解不等式则单调区间可求；（Ⅱ）在上有两个零点，等价于在上有两解，分离参数，构造函数 ，求导求其最值即可求解 【详解】（Ⅰ）当时，的定义域为， 当，时，， 在和上单调递增. 当时，， 在上单调递减. 故 的单调增区间为 ，；单调减区间为 （Ⅱ）因为在上有两个零点， 等价于在上有两解， 令 则 令 则 在上单调递增，又 在上有，在有 时，，时， 在上单调递减，在上单调递增. ，， 由有两解及可知. 【点睛】本题考查函数的单调区间及函数最值，不等式恒成立，分离参数法，零点个数问题，准确计算是关键，是中档题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $