第8讲 常用不等式-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

第8讲 常用不等式 学习目标 1.掌握平均值不等式及其变形 2.掌握三角不等式及其应用 知识框架 1平均值不等式 定理：（平均值不等式）对任意正数，有（即），当且仅当时取等. 练习1：比较下列两式大小，用填空。 （1） （2） 3 （3） 4 （4） 练习2：函数的最小值是（ ） A.4 B.2 C. D.不确定 练习3：在下列各式中，最小值为2的是 ①；②；③（是锐角）；④ 知识框架 变形1：当且仅当时取等； 变形2：；当且仅当时取等； 变形3：，当且仅当时取等； 变形4：，当且仅当时取等； 练习4： （1） 3 （2） 4 （3） （4） 2三角不等式 对任意的实数，有||恒成立。 例题精讲 例一 最值求解 1.已知为实数，试求下列各式的最值（最大值或者最小值），并且写出取等条件. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； 2.已知为实数，试求下列各式的最值（最大值或者最小值），并且写出取等条件 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 3.（1）已知，那么的最大值是 . （2）若实数满足，则的最小值是 ； （3）若实数满足，那么的最大值是 . （4）设，且，当且仅当 ， 时，有最小值 . 4.（1）已知，若，则的最小值为 ； （2）若，则的最小值为 ； （3）已知，若，则的最小值为 ； 5.（1）已知，若，则的最小值为 ； （2）已知，若，则的最小值为 ； （3）已知，若，则的最小值为 ； （4）已知正常数和正常数满足，且的最小值为18，求的值。 6.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是 . 7.已知实数满足，则代数式有（ ） A.最小值和最大值1 B.最小值和最大值1 C.最小值和最大值 D.最小值1 8.已知，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例二 三角不等式 9.（1）已知，比较大小： 6. （2）已知，比较大小： 4. 10.（1）若关于的不等式解集为空集，则实数的取值范围是 . （2）若关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 . 选讲题目 11.已知，则的最小值为 . 12.（1）已知，求的最大值； （2）求满足对有解的实数的最大值，并说明理由. 13.若，且，则的最大值是 .（可推出均值不等式串） 14.（可推出均值不等式串） 用“充要”“充分非必要”“必要非充分”“既非充分又非必要”填空： （1）“”是“”成立的 条件； （2）“”是“”成立的 条件； （3）“”是“”成立的 条件. 15.（需给出三元均值不等式） 已知有最 值为 ，当 时取得； 自主练习 1.若，且，下列不等式中恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 2.已知，则的最大值是 . 3.已知，则的最大值是 . 4.求下列代数式的最值 （1）的最小值；（2）的最小值； （3）的最大值；（4）的最小值； （5）的最大值；（6）的最小值； 5.已知，且，则的最小值是 . 6.在面积相等时，比较正方形和长方形（非正方形）的周长，以下说法正确的是（ ）. A.正方形周长大 B.长方形周长大 C.周长一样大 D.无法确定 7.已知，则之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$