第4讲 等式与不等式的性质-2024年上海市高一数学暑假衔接讲义

第4讲 等式与不等式的性质 学习目标 1.知道等式的性质与方程的解集 2.理解不等式的性质 3.掌握不等式证明的基本方法 4.理解反证法的证明思路 知识框架 1等式的性质 设为实数， （1）传递性如果，且，那么. （2）加法性质如果，那么. （3）乘法性质如果，那么. 2一元二次方程的解集及根与系数的关系 对于一元二次方程， 当，解集为； 当，解集为； 当，解集为. 若一元二次方程的两个想为， 则 ， . 知识框架 3不等式的性质 设均为实数， （1）传递性如果，且，那么. （2）加法性质如果，那么. 同向可加性如果，那么. （3）乘法性质如果，且，那么.如果，那么. 4比较大小的方法 4.1作差法 4.2作商法 5反证法 例题精讲 例一 韦达定理与含参方程的解集 1.已知，两根，求下列各式的值. （1） （2） （3） （4） 2.已知关于的方程的两个实根满足，则实数 . 3.（1）设为实数，求关于的方程的解集. （2）设为实数，求关于的方程的解集. 4.设，求关于的方程组的解集. 例二 不等式的性质 5.完成下列填空. （1）“”是“”的 条件； （2）“”是“”的 条件； （3）“”是“”的 条件. 6.已知，求下列代数式范围. （1）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ； （2）的取值范围是 ； （4）的取值范围是 . 7.若满足，则 （1）的取值范围是 ； （2）的取值范围是 . 例三 比较大小 8.已知，试比较与的大小. 9.设，试比较与的大小. 例四 反证法 10.已知.证明：中至少有一个大于等于1. 11.已知，若实数满足条件，用反证法证明：中至少有一个数不小于0. 选讲题目 12.已知，且满足，则 ； 13.设二次函数中的均为整数，且均为奇数，求证：方程无整数根. 自主练习 1.有四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若.且，则.其中正确命题的序号是（ ） A.①③ B.②④ C.③④ D.①④ 2.已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3.已知，则的取值范围是 . 4.下列关系中，可以作为“”的充分非必要条件的是（ ） A. B. C. D. 5.已知不等式组的解为，则的值为 . 6.若关于的方程有两个实数根，且这两根互为倒数，则 . 7.设有两个命题：①方程没有实数根；②；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是 . 8.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数的值为（ ） A.4 B.-10 C.2 D.-10或2 9.（1）当时，求证：； （2）已知，试证明至少有一个不小于1. 学科网（北京）股份有限公司 $$