专题5.3 等腰三角形的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.3 等腰三角形的几何综合 · 思维方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【解题过程】 解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴; ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．7个 3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，在等腰直角中，，点是内部一点，连接并延长至点，连接、，垂足为点交于点，延长交于点，连接，．给出以下结论：①；②平分；③若点为的中点，连接并延长交于点，则：④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，是等边三角形，点D是边的中点，，点P，Q是上的两个动点，且．若于点H，则的最小值为 5．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ． 7．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ． 8．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点E，于点D，交的延长线于M，连接．下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的结论有 ． 9．（22-23八年级上·重庆江北·阶段练习）如图，等腰中，，D、E分别在线段上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 10．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．    （1）求证：； （2）求的度数． （3）若，试判断与的位置关系，并说明理由． 11．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，向外作和等边，连接．    （1）如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点． ①试猜想、的关系，并说明理由； ②连接，问是否平分，为什么？ （2）如图2，当是直角三角形（）时，若，． 求证：． 12．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； （2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？ （3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数． 13．（23-24八年级上·吉林通化·期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    （1）若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； （2）若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) （3）若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 14．（23-24八年级下·广东深圳·期中）（1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证； （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度． 15．（22-23七年级下·四川成都·期中）在锐角中，，点D，E分别是边上一点，的相交于点F． （1）如图1，若平分，平分，求的度数； （2）如图2，若，且，，证明：； （3）如图3，，，，且，线段与相交，点N是的中点，连接，若，，求的长． 16．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． （1）当运动秒时，的度数为______． （2）开始运动几秒时，是直角三角形？ （3）若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 17．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． （1）如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系；______（填“”“”或“”）． （2）如图（），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． （3）如图（3）在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长． 18．（23-24八年级上·重庆大足·期末）在 和 中，，连接 ，恰好平分 ．    （1）如图1，当 时，求 的度数； （2）如图2，在射线 上存在一点 ，使 ，连接 ． 当 ，时，试说明 与 的位置关系； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接 并延长，分别交 ，于点 ，，若 ，，，分别为 和 上的动点，请直接写出 周长的最小值． 19．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为等边三角形，在外作射线为射线上一点，连接，在平面内有一点，满足． （1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； （2）如图2，连接，若，且恰好过边的中点，求证：； （3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点，在边上截取，连接，则当的值最小时，请直接写出的度数． 20．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，．    （1）如图1，若是边上的一点，点为线段的中点，连接，于，，，求的长度． （2）如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于，再连接，若，求证：． （3）如图3，若，，为的角平分线，将沿翻折后得到，再将绕点逆时针方向旋转角度，当线段所在直线分别与和所在的直线夹角为时，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 等腰三角形的几何综合 · 思维方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【解题过程】 解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴; ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，平行线的判定，线段的垂直平分线的判定和性质，延长到T，使得，连接，构造半角模型，证明②；利用线段垂直平分线的判定和性质，可证③；无法证明 ，也就无法证明，从判断①④错误，解答即可． 【解题过程】 解：延长到T，使得，连接 ∵是等边三角形， ∴， ， ∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故②正确． 连接，交于点Q， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 无法证明，也就无法证明，从判断①④错误， 故选C． 2．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．7个 【思路点拨】 由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；由， 可得，可得 故⑤正确，角边角证明得，其结论③正确；等边三角形的判定得是等边三角形，结论⑥正确；判定，结论②正确；反证法证明命题，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在的平分线上，结论⑦正确． 【解题过程】 解：如图1所示： ∵和是正三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ， ，故⑤正确， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确， ∴是等边三角形，故⑥正确 ∴， ∴， ∴， 故②正确； 若， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴与是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故结论④错误； 过点C分别作，于点M、N两点， 如图2所示： ∵，，， ∴， 又∵在的内部， ∴点C在的平分线上，故结论⑦正确； 综合所述共有6个结论正确． 故选：A． 3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，在等腰直角中，，点是内部一点，连接并延长至点，连接、，垂足为点交于点，延长交于点，连接，．给出以下结论：①；②平分；③若点为的中点，连接并延长交于点，则：④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 证明，判断①；证明，判断②；证明为等腰三角形，为等腰三角形，得到，判断③；延长交于点，连接，设与交于点，证明，进而得到，再根据，判断④． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 延长交于点，连接，设与交于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有4个； 故选D． 4．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，是等边三角形，点D是边的中点，，点P，Q是上的两个动点，且．若于点H，则的最小值为 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，三角形的三边关系，轴对称的性质，解题的关键是能正确作出辅助线， 根据等边三角形的性质可把转化为，转化为，再根据三角形的三边关系可得，则当最小时，最小，即可求解； 【解题过程】 解：连接，过点Q作于点E，连接交于点F，连接，如图所示， 是等边三角形，点D是边的中点， ， 当最小时，最小， 时，即E为中点时，最小， 是等边三角形，， 时，最小， 的最小值为6， 故答案为：6 5．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【思路点拨】 由等腰中，，可得，由平分，可得，如图，作，使，连接，则，证明，则，，，可知当三点共线时，最小，即，证明是等边三角形，则，进而可求． 【解题过程】 解：∵等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， 如图，作，使，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【思路点拨】 根据等边三角形的性质得可得，，再根据，可知，进而求出，然后根据等边三角形的性质说明，可知各角之间的关系，进而得出，即可得出规律，再根据规律得出答案. 【解题过程】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴ ∴. ∵ ∴ 又∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵、是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 以此类推：的边长为， ∴的边长为：． 故答案为：128． 7．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ． 【思路点拨】 分和两种情况讨论即可． 【解题过程】 解：∵和都是等腰三角形，且，顶角， ∴，，， 又∵线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， 当时， ∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，连接    ∵， ∴ ∴， ∴点三点共线， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 补充说明：∵，， ∴， ∴. ∴点三点共线，此时的图形应修正为下图：    综上所述，或． 8．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点E，于点D，交的延长线于M，连接．下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的结论有 ． 【思路点拨】 过作于，作，交于，过作于，根据角平分线的定义求出，，根据角平分线的性质求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出；证，得到，，即可求出． 【解题过程】 解：过作于， ，平分， ， ，， ， ， ， 由角平分线的性质得：， ， ，， ， 正确； 作，交于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正确，正确； 过作于， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， 正确； 由角平分线的性质得：， ， 正确； 故答案为：． 9．（22-23八年级上·重庆江北·阶段练习）如图，等腰中，，D、E分别在线段上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 【思路点拨】 如图1，根据同角的余角相等，即可判断①；通过证明得，进而得出，从而可以判断②；由，再证、、，进而可以判断③；利用线段的等量代换可以判断④；通过证明，即可判断⑤． 【解题过程】 解：设于，于，如图1所示， ， ， ， 故①正确； 在与中 ， ， ， ， ， ， 若，则为等边三角形， ， 但题目中没有条件得到， 故②不一定成立； 如图2所示，连接， 由可得， ， ， ， 在与中 ， ， ， 又， 垂直平分， ， ， 在与中 ， ， ， 在与中 ， ， ， 又， ， 故③正确； ， 的周长为：， ， ， ， 的周长， 故④错误； 如图3所示，过点作于，过点作于， ， ， ， ， 即， ， ； 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 10．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．    （1）求证：； （2）求的度数． （3）若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明； （2）由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，； （3）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案． 【解题过程】 （1）证明：三角形是等边三角形， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）解：三角形是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）解：， 理由如下： 由（1）得，， ， 由（2）得，， ， ， ， ， 如图，令交于点，   ， 则 ， ， ， ． 11．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，向外作和等边，连接．    （1）如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点． ①试猜想、的关系，并说明理由； ②连接，问是否平分，为什么？ （2）如图2，当是直角三角形（）时，若，． 求证：． 【思路点拨】 （1）①证明，从而得到即可； ②作于点，作于点，由①结论可得：，从而，从而推出，进而得出结果． （2）向外作等边，连接，由（1）①的结论可得：，可证得点、点、点点共线，是线段的垂直平分线，进一步得出结论． 【解题过程】 （1）解：①猜想：，理由： 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； ②平分， 理由：作于点，作于点，    由①结论可得：， ． ，， 平分； （2）证明：向外作等边，连接，      由（1）①的结论可得：， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， 点、点、点点共线，是线段的垂直平分线， ， ． 12．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； （2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？ （3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数． 【思路点拨】 （1）利用等边三角形的性质可证明，则可求得，再利用三角形外角的性质可证得； （2）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值； （3）同（1）可证得，再利用三角形外角的性质可求得． 【解题过程】 （1）为等边三角形， ，， 点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， ， 在和中 ， ， ， 在、运动的过程中，不变，； （2）运动时间为，则， ， 当时， ， ， ，解得， 当时， ， ， ，解得， 当为或 时，为直角三角形； （3）在等边三角形中，，， ，且， 在和中 ， ， 又， ， 在、运动的过程中，的大小不变，． 13．（23-24八年级上·吉林通化·期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    （1）若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； （2）若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) （3）若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定． （1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案； （2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到． 【解题过程】 （1）解：，理由如下： 是等边三角形， ． ∵点为中点， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，交于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 14．（23-24八年级下·广东深圳·期中）（1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证； （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度． 【思路点拨】 （1）由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论； （3）将绕 点A 逆时针旋转至，作交 于 M，连 接，，证明为等边三角形，而，可得，，证明，可得，，证明，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【解题过程】 解： （1）∵，，将绕着点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 即：， 在与中，， ∴． （2） 延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，  即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将绕 点A 逆时针旋转至，作交 于 M，连 接，， ∴，， ∴为等边三角形，而， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长度为13． 15．（22-23七年级下·四川成都·期中）在锐角中，，点D，E分别是边上一点，的相交于点F． （1）如图1，若平分，平分，求的度数； （2）如图2，若，且，，证明：； （3）如图3，，，，且，线段与相交，点N是的中点，连接，若，，求的长． 【思路点拨】 （1）先根据角平分线的定义，得出再结合三角形内角和，得出，因为邻补角性质，列式计算即可作答． （2）如图，延长至点，使得，证明，推出，，再根据邻补角定义、四边形内角和定理推出，根据等腰三角形的判定定理及等量代换可得结论； （3）首先证明，如图，延长到，使得，连接，连接，，证明，推出，延长到，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴ ∵平分，平分， ∴ ∵ ∴； （2）解：解：如图，延长至点，使得， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）证明：延长到Q，使得，连接， ，， ∴是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ∴， ， ∴ ∴ 延长到，使得，则是等边三角形，连接， ∵， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴ 16．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． （1）当运动秒时，的度数为______． （2）开始运动几秒时，是直角三角形？ （3）若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 【思路点拨】 （1）计算出运动秒时、、的长，再证明，得，则即可求得； （2）设运动的时间为秒，分两种情况，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的值即可； （3）分三种情况，一是点在边上，则，可列方程；二是点在边上，则，可列方程；三是点在边上，则，可列方程，解方程求出相应的值即可． 【解题过程】 （1）解：如图1， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 运动秒时，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：设运动的时间为秒， 如图， 当时，则 ∴， ， 解得， 如图3， 当时，则 ， ， 解得 综上所述，运动秒或秒，是一个直角三角形． （3）解：如图， 当时， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图4， 当时，则'， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图5， 当时，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得 综_上所述，的值是秒或秒或秒时，线段与的某一边平行． 17．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． （1）如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系；______（填“”“”或“”）． （2）如图（），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． （3）如图（3）在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长． 【思路点拨】 （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得 ，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作 ，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作 ，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：如图， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，如图，．理由如下： 如图，过作 交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（23-24八年级上·重庆大足·期末）在 和 中，，连接 ，恰好平分 ．    （1）如图1，当 时，求 的度数； （2）如图2，在射线 上存在一点 ，使 ，连接 ． 当 ，时，试说明 与 的位置关系； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接 并延长，分别交 ，于点 ，，若 ，，，分别为 和 上的动点，请直接写出 周长的最小值． 【思路点拨】 （1）根据题意确定，再利用三角形的内角和计算即可： （2）由题干条件推出为等边三角形，然后进一步证明，从而利用全等三角形和平行线的判定证明即可； （3）首先将沿对称至，沿对称至，可确定且，分别在、上，并连接，此时与和交点即为所求、，此时，的周长最小，即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及对称的性质证明，即可求得结论． 【解题过程】 （1）解：，恰好平分， ， ， ， ； （2）证明：，恰好平分， ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图所示，将沿对称至，沿对称至，    由（2）可知是的角平分线，故在上， ∵，， ∴， ∴平分， ∴垂直平分，即所在的直线是的对称轴，故在上， 连接，此时与和交点即为所求、， 此时，的周长最小，周长的最小值即为的长度， ∵所在的直线是的对称轴， ∴， 又∵， ∴， ∴点与是关于的对称， ∴与的交点在上，故与重合.此时 ∵， 由对称的性质可得：，，， ∴， 为等边三角形， 此时，过点作，交于点，如图所示， ， 为等边三角形，， 由（2）知，， ． 由（2）可知， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ，即： ， 周长的最小值为． 19．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为等边三角形，在外作射线为射线上一点，连接，在平面内有一点，满足． （1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； （2）如图2，连接，若，且恰好过边的中点，求证：； （3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点，在边上截取，连接，则当的值最小时，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解； （2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点的运动轨迹，找到何时线段最短，然后构造三角形，确定何时的值最小．以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点为顶点，作，且，连接，证明 ，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可； 【解题过程】 （1）解：如图， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示， 为边的中点 ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 故 ， （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小，如图所示， 此时， ， 为等腰三角形，又， ， 在中，， ， 在中，， ， 又 （前面已证）， ， 在中，， 在中，， ， 故当的值最小，． 20．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，．    （1）如图1，若是边上的一点，点为线段的中点，连接，于，，，求的长度． （2）如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于，再连接，若，求证：． （3）如图3，若，，为的角平分线，将沿翻折后得到，再将绕点逆时针方向旋转角度，当线段所在直线分别与和所在的直线夹角为时，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，请直接写出的值． 【思路点拨】 （1）由等腰三角形的判定及性质得 ，设，由线段的和差得 ，由即可求解； （2）过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； （3）设，可求，，，由三角形的内角和结合由旋转和折叠的性质得，，①当时，由外角的性质得，从而可求，由求出，由求出，即可求解；②当时，由外角的性质和三角形内角和得，再由求出，由 求出，即可求解；③当时，由外角的性质和三角形内角和得，由求出， 求出，即可求解；④当时，由三角形内角和定理得 ， ，由求出，由求出，即可求解． 【解题过程】 （1）解：， 是等腰三角形， ， ， 设， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， 解得：， ， ， 故的长度为； （2）解：如图，过作交于，   ， ， E为的中点， ， 在和中， ， （）， ， 由（1）得：， ， ， 即：， 在和中 ， （）， ， ， ， ； （3）解：如图，直线交直线于，直线交直线于、交直线于，    设， ， ，， ， ， 解得：， ， ， ，，， ， ， ； 为的角平分线， ， ， 由旋转和折叠得： ， ， ， ①如上图，当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图，当时， 直线交直线于，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③如图，当时，直线交直线于，   ， ， ， ， ， ， ， ； ④如图，当时，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的值为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$