精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024届高三下学期高考模拟(三)数学试卷

湖南师大附中2024届模拟试卷（三） 数学 命题人、审题人：数学备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数值域为 C. 此函数在定义域中不单调 D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 3. 设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（ ） A. 向东南走了 km B. 向西南走了 km C. 向东南走了 km D. 向西南走了 km 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 6. 设函数（a，b为常数），则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 与左右臂的长度有关 8. 斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. 0或2 B. 或2 C. 或0 D. 0或1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各二项式系数的和为64 C. 展开式的第6项的系数为30 D. 展开式中二项式系数最大项是第4项 10. 设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（ ） A. 动点的轨迹是圆 B. 平面平面 C. 三棱锥体积的最大值为3 D. 三棱锥外接球的半径不是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________． 13. 在，已知，.则______. 14. 二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为，，…，，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，，…，，，相当于从中随机抽取的n个整数，这n个数将区间分成个小区间，由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的．由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到N的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，向右移动的概率为，共移动，设随机变量为移动后质点的坐标. （1）求移动后质点的坐标为正数的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望. 16. 已知函数（）. （1）求函数的极值； （2）若集合有且只有一个元素，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，. （1）若平面平面，求、的值； （2）若平面，求的最小值. 18. 已知为坐标原点，双曲线和椭圆均过点且以两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形． （1）求，的方程； （2）是否存在直线，使得与交于，两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论； （3）椭圆的右顶点为，过椭圆右焦点的直线与交于、两点，关于轴的对称点为，直线与轴交于点，，的面积分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. （1）若（是正整数），求，，，的值； （2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南师大附中2024届模拟试卷（三） 数学 命题人、审题人：数学备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【详解】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 2. 如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 此函数在定义域中不单调 D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C 3. 设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（ ） A. 向东南走了 km B. 向西南走了 km C. 向东南走了 km D. 向西南走了 km 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加法的几何意义以及勾股定理即可求解. 【详解】可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知， 所表示的意义为向东南走了 km. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 【详解】由可得，即，，故. 故选：C. 5. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推公式构造数列计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以是常数列，所以， 又，所以． 故选：B 6. 设函数（a，b为常数），则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断. 【详解】当 时，, 为奇函数，即充分性不成立； 当为偶函数时，对任意的恒成立， ∴ 即 ，得对任意的恒成立，从而， 即，即必要性成立； 从而“”是“为偶函数”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 与左右臂的长度有关 【答案】C 【解析】 【分析】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：C 8. 斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. 0或2 B. 或2 C. 或0 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，再由导数的几何意义算出. 【详解】依题意得，设直线的方程为，即， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，； 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，. 综上所述，或. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各二项式系数的和为64 C. 展开式的第6项的系数为30 D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式定理逐一判断即可. 【详解】解：展开式共有7项，故A错误； 展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误； 展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选:. 10. 设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用抛物线定义、以及几何性质求解. 【详解】 设，因为，所以， 因为，所以， 即，所以，所以， 解得，所以，解得或， 所以抛物线的方程为或． 故选:BC. 11. 在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（ ） A. 动点的轨迹是圆 B. 平面平面 C. 三棱锥体积的最大值为3 D. 三棱锥外接球的半径不是定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先底面建坐标系，利用轨迹法求得点的轨迹，点也在轨迹圆上，再根据几何关系，以及体积公式，外接球的半径问题，利用数形结合，即可求解. 【详解】A.因为，所以在平面内，以所在直线为轴，以线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 设，，， 由知，，化简为，即点的轨迹为圆，故A正确； B. 根据以上证明可知，点和在圆与轴的两个交点，如上图，由条件可知，点在圆上， 则，而平面，平面,所以， 所以是二面角的平面角，则平面平面，故B正确； C.当点到的距离为2时，此时的面积最大，此时最大面积是, 则三棱锥体积的最大值为，故C正确； D.由以上证明可知，，且，如图， 取的中点，作平面，且， 所以， 所以三棱锥外接球的半径是定值，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并在底面建立坐标系，求点的轨迹，后面的选项就会迎刃而解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出区域形状，再计算面积． 【详解】的几何意义为对应的的点到原点的距离，区域为以原点为圆心半径分别为1和2的圆环， 故所求区域面积． 故答案为：． 13. 在，已知，.则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由可得角，由可得，结合角的关系，解方程即可得答案. 【详解】设，，， 由得，所以. 又，因此，. 由，得； 于是， 所以， ∴，即. ∵，∴，∴， ∴或，∴或. 又∵，∴，，，则. 故答案为： 14. 二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为，，…，，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，，…，，，相当于从中随机抽取的n个整数，这n个数将区间分成个小区间，由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的．由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到N的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据统计学家利用的方法列比例式计算，即可求得答案. 【详解】由于用前n个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度， 而缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，即， 故, 即则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为24， 故答案为：24 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，向右移动的概率为，共移动，设随机变量为移动后质点的坐标. （1）求移动后质点的坐标为正数的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意明确质点坐标的可能结果即可求解. （2）求出质点所有可能结果对应的概率即可求出分布列，再根据数学期望公式求解数学期望即可. 【小问1详解】 设4次移动后坐标为正为事件，由题， 则， 由题，， 所以. 【小问2详解】 的可能取值为， 由（1），， 又， ， ， ∴分布列为 4 2 0 ∴. 16. 已知函数（）. （1）求函数的极值； （2）若集合有且只有一个元素，求的值. 【答案】（1）极大值是，无极小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用求导，通过参数，可分析出为正负的区间，从而可以判断的极值； （2）利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的条件，所以重新构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解. 【小问1详解】 由， 因为，所以的定义域为，则， 因为时，；时，. 所以的单调递增区间为；单调递减区间为， 所以是的极大值点，的极大值是，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可得， 要使得集合有且只有一个元素，则只需要 设，则， 因为时，；时，， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为. 所以，所以关于的方程有解时， 只能是， 所以集合有且只有一个元素时. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，. （1）若平面平面，求、的值； （2）若平面，求的最小值. 【答案】（1）； （2）8. 【解析】 【分析】（1）若平面平面，由面面平行的性质定理可知，，由为的中点，可得为的中点，同理为的中点，即可得出结果； （2）以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系，求得的法向量为，由平面，则有，即，代入计算化简可得结果. 【小问1详解】 若平面平面，平面平面，平面平面，所以， 又因为为的中点，所以为的中点，同理为的中点，所以. 【小问2详解】 因为，底面， 如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系， 故，则，， 设平面的法向量为，则取，可得. 因为，，所以，， 则， 因为平面，所以，即， 所以，即， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 18. 已知为坐标原点，双曲线和椭圆均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形． （1）求，的方程； （2）是否存在直线，使得与交于，两点，与只有一个公共点，且？证明你结论； （3）椭圆的右顶点为，过椭圆右焦点的直线与交于、两点，关于轴的对称点为，直线与轴交于点，，的面积分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2）不存在，理由见解析 （3）是定值为 【解析】 【分析】（1）将点代入方程，结合正方形面积得到方程组，解得答案. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，根据直线和椭圆的位置关系计算，再转化得到，根据韦达定理得到根与系数关系，代入计算得到答案. （3）设直线方程为，联立方程根据韦达定理得到根与系数关系，计算直线方程，得到的横坐标为，根据，计算得到答案. 【小问1详解】 根据题意：，， 以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形，边长为 故，，故，代入计算得到，，， 故，. 【小问2详解】 假设存在直线方程满足条件， 当直线斜率不存在时，或，代入计算得到，验证不成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，则， 即，， 化简得到. 设，，，故， 故，，故， 即，即， 即，化简得到， 方程组无解，假设不成立. 故不存在直线满足条件. 【小问3详解】 焦点坐标为，易知直线方程斜率不为零，设直线方程为， ，，则， ，化简得到，， 直线方程为：， 取得到 ， ，故是定值为. 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合问题，考查了椭圆和双曲线的标准方程，直线与椭圆和双曲线的位置关系，定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中转化是解题的关键. 19. 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. （1）若（是正整数），求，，，的值； （2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 【答案】（1），，， （2）存在， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由“接近数列”得定义可直接求出，，，的值； （2）分为奇数和偶数讨论，求出，在此基础上，分奇偶令，结合指数函数性质即可求解； （3）先证若时，则为等差数列，且公差也为，由去绝对值得，即，两式作差即可求证；再证若为等差数列，则，结合绝对值三角不等式得，，两式处理得，化简即可求证. 【小问1详解】 因为，所以，又因为为数列的“接近数列”， ，所以，只能是，，，； 【小问2详解】 当为奇数时，，由函数的单调性可知， 即，得，进一步有， 当为偶数时，，由函数的单调性可知， 即，得，进一步有， 综上所述：， 由前项和公式化简得，， 当偶数时，令无解； 当为奇数时，令， 所以，，即. 因此，存在（是正整数），使得，且； 【小问3详解】 充要条件为：. ①若时，由题意对于任意正整数均有恒成立，且， 则，， 从而，即. 因为，， 所以，即. 因此为等差数列，且公差也为； ②若为等差数列，设公差为， ， 又， 即，亦即对任意正整数都成立， 所以，，又，得 因此，所求充要条件为. 【点睛】本题整体难度较大，处理第二小问时设计分类讨论思想，融合了数列，函数、不等式，对计算有较高要求；第三小问对充要条件的证明特别是绝对值三角不等式的应用，思维难度高，拼凑法不易想到. 对于绝对值三角不等式，我们应掌握：； 对于数列中含此类数列，我们要注意分奇偶对数列讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$