专题19 三角函数的图象和性质7题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题19 三角函数的图象和性质7题型分类 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 3．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 4．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． （一） 五点作图法 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 题型1：五点作图法 1-1．（2024高一下·北京·阶段练习）已知函数 (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)求，的单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围. 1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．    （二） 函数的奇偶性 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数． 题型2：函数的奇偶性 2-1．（2024高一下·河南南阳·期中）下列6个函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 . 2-2．（2024高三·广东·学业考试）函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2-3．（2024高三·北京海淀·专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 2-4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 2-5．（2024·湖北·模拟预测）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2-6．（2024高三上·浙江·期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． （三） 函数的周期性 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 题型3：函数的周期性 3-1．（2024高三上·河北衡水·阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高三·全国·对口高考）函数的最小正周期是 . 3-3．（2024高三上·河北·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高三下·北京密云·期中）设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.则 . （四） 函数的单调性 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式． 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间． 若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间． 对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可． 题型4：函数的单调性 4-1．（2024·四川乐山·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 4-2．（2024·北京密云·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 4-3．（2024高一上·重庆江北·期末）的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高一下·四川凉山·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． （五） 函数的对称性（对称轴、对称中心） 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 题型5：函数的对称性（对称轴、对称中心） 5-1．（2024高三·全国·课后作业）函数图象的一个对称中心的坐标是 ． 5-2．（2024·新疆喀什·模拟预测）函数向左平移个单位长度之后关于对称，则的最小值为 . 5-3．（2024·山东济南·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象关于（    ） A．对称 B．对称 C．对称 D．对称 5-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且直线为图象的一条对称轴，则的最小值为 ． 5-5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 5-6．（2024高三下·上海宝山·阶段练习）已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是 ． 5-7．（2024·上海徐汇·三模）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则 . （六） 函数的定义域、值域（最值） 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），设，化为一次函数在上的最值求解． （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围． （6）导数法 （7）权方和不等式 题型6：函数的定义域、值域（最值） 6-1．（2024高一下·上海静安·期末）函数的定义域为 ． 6-2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 6-3．（2024高三·全国·专题练习）函数对于，都有，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 6-4．（2024·河北邯郸·一模）已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 A． B． C． D． 6-5．（2024高三·全国·专题练习）实数满足，则的范围是 . 6-6．（2024高三·全国·专题练习）设，则的最小值为 . 6-7．（2024高一·全国·单元测试）函数的值域为 ． （七） 三角函数性质的综合 三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性． 因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系） 题型7：三角函数性质的综合 7-1．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的值域为 B．的单调递减区间为 C．为奇函数， D．不等式的解集为 7-2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增 一、单选题 1．（2024高三上·广东汕头·阶段练习）设函数，如果，则的值是（    ） A．-10 B．8 C．-8 D．-7 2．（2024·江西鹰潭·一模）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·云南昆明·一模）已知函数，若存在，使得方程有三个不等的实根，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川遂宁·一模）函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 11．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．在上单调递增 13．（2024·广东潮州·模拟预测）设函数，的最小正周期为，且过点，则下列正确的有（    ） A．在单调递减 B．的一条对称轴为 C．的周期为 D．把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为 14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（    ） A．的最大值为2 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称 15．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C．函数的最小正周期为 D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为 16．（2024高三上·海南·期末）已知函数，，恒成立，在上单调，则（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 C． D．若函数在上有5个零点，则 17．（2024高三上·山东德州·阶段练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 18．（2024高三上·江苏无锡·期中）已知函数，下列叙述正确的有（    ） A．的周期为2π； B．是偶函数； C．在区间上单调递减； D．x1，x2∈R， 19．（2024·重庆·模拟预测）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最小值为 C．的图象关于点对称 D．在区间上有3个零点 20．（2024高三上·河南三门峡·期末）已知函数满足：，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．函数是偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 21．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 22．（2024·全国）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 三、填空题 23．（2024高三·全国·课后作业）函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 . 24．（2024高三下·江西鹰潭·阶段练习）函数的最小正周期是 ． 25．（2024·四川遂宁·三模）已知函数，，，且，则= 26．（2024高三下·上海松江·阶段练习）已知函数，则函数的最小正周期是 ． 27．（2024·上海·模拟预测）已知函数的最小正周期是，则 . 28．（2024·陕西咸阳·一模）设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为 ． 29．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）函数的最小正周期为 . 30．（2024高三上·内蒙古·阶段练习）设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 ． 31．（2024高三·全国·对口高考）设函数的图象关于点成中心对称，若，则 . 32．（2024·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ． 33．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为 . 34．（2024高三上·江西吉安·期末）记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时， . 35．（2024·四川泸州·一模）写出满足条件“函数的图象关于直线对称”的的一个值 ． 36．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴为．若,则的最大 ． 37．（2024·河南·模拟预测）曲线的一个对称中心为 （答案不唯一）. 38．（2024·河北·一模）函数的最小值为 . 39．（2024·湖北襄阳·模拟预测）若函数的最小值为，则常数的一个取值为 .（写出一个即可） 40．（2024高三·全国·对口高考）的最小值为 . 41．（2024·上海嘉定·三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 . 42．（2024·江西鹰潭·模拟预测）函数的值域为 ． 43．（2024高一下·四川成都·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为 ． 44．（2024高三·全国·专题练习）设函数，，则的最小值为 . 45．（2024高三·安徽亳州·阶段练习）已知函数，该函数的最大值为 ． 46．（2024高三下·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ． 47．（2024·陕西咸阳·模拟预测）函数的值域是 . 48．（2024高三·全国·专题练习）设、且，求的取值范围是 . 49．（2024高一下·辽宁·期中）函数的最大值为 ． 50．（2024高一·全国·课后作业）函数的值域为 . 51．（2024·江西·模拟预测）函数的最大值为 ． 52．（2024·全国）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 53．（2024·四川乐山·一模）函数 上所有零点之和为 . 54．（2024·全国）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 55．（2024·全国）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 四、解答题 56．（2024高一上·湖北武汉·期末）函数. (1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图） (2)设，，当时，试研究函数的零点的情况. 57．（2024·北京）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 58．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知函数在区间上单调，其中，，且． (1)求的图象的一个对称中心的坐标； (2)若点在函数的图象上，求函数的表达式． 59．（2024高一下·北京·期中） ，，， (1)若，求的值； (2)若函数的最小正周期为 ①求的值； ②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围 60．（2003·北京）已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题19 三角函数的图象和性质7题型分类 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 3．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 4．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． （一） 五点作图法 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 题型1：五点作图法 1-1．（2024高一下·北京·阶段练习）已知函数 (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)求，的单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)递增区间为 (3)． 【分析】（1）由，计算出的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数在上的图象； （2）解不等式可得函数的单调递增区间； （3）利用（1）中的图象结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，当时，， 列表如下： 0 1 1 2 0 0 1 作图如下： （2）因为，令，解得， 令，解得， 所以的递增区间为 （3），， 又，由（1）的图象可知，，的取值范围是． 1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．    【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据三角函数图象变换求解即可； （2）利用“五点法”画出图象. 【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象； 步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象； 步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． （2）因为列表：    （二） 函数的奇偶性 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数． 题型2：函数的奇偶性 2-1．（2024高一下·河南南阳·期中）下列6个函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 . 【答案】①③⑤ 【分析】利用三角函数的图象和图象的变换可以得到各个函数的图象，观察图象可得结论. 【详解】①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函数， 由函数的图象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函数，，最小正周期为，                   故答案为：①③⑤ 2-2．（2024高三·广东·学业考试）函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】因为函数，由奇偶函数的定义结合求周期的公式即可得出答案. 【详解】解析：函数， 故该函数为偶函数，且它的最小正周期为. 故选：D. 2-3．（2024高三·北京海淀·专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【答案】B 【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可. 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 故选：B 2-4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简，由为偶函数，求得，结合选项，即可求解. 【详解】由， 因为为偶函数，可得，所以， 令，可得. 故选：A. 2-5．（2024·湖北·模拟预测）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出，可得. 【详解】函数的图像向左平移个单位，得的图像， 又函数是偶函数，则有，，解得，； 所以. 故选：C． 2-6．（2024高三上·浙江·期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象平移求得平移后的函数解析式，根据三角函数是奇函数，即可求得. 【详解】函数为奇函数， 则，取，则． 故选：D （三） 函数的周期性 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 题型3：函数的周期性 3-1．（2024高三上·河北衡水·阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简各选项，由最小正周期的计算公式和奇、偶函数的定义对选项一一判断即可求出答案. 【详解】对于A：最小正周期为，故A错误； 对于B：，最小正周期，且为奇函数，故B正确； 对于C：，最小正周期为的偶函数，故C错误； 对于D：，则， 故为偶函数，故D错误. 故选：B 3-2．（2024高三·全国·对口高考）函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】化简，求出的最小正周期，即可求出函数的最小正周期. 【详解】因为， 因为的最小正周期为， 所以函数最小正周期为. 故答案为：. 3-3．（2024高三上·河北·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，再结合平方关系及倍角公式和余弦函数的周期性即可得解. 【详解】解：， 所以的最小正周期． 故选：C． 3-4．（2024高三下·北京密云·期中）设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象先判断出周期的大致范围，再根据图象过点可求解出，结合 与周期的关系可得结果. 【详解】由图象可知，，， 解得. 设函数的最小正周期为，易知， 当且仅当时符合题意，此时, 故选：A. 3-5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.则 . 【答案】 【分析】根据正弦函数值的特点,得到，，…，再求和即可. 【详解】由条件，可得，，…，共506组， 所以. 故答案为：1012. （四） 函数的单调性 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式． 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间． 若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间． 对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可． 题型4：函数的单调性 4-1．（2024·四川乐山·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】B 【分析】结合函数的周期性可直接判断AC，求出平移后相应函数的解析式并化简，结合余弦函数性质判断BD． 【详解】函数的最小正周期是，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平移后也不可能单调，AC错； 函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为， 选项B，时，，在此区间上是减函数，B正确； 选项D，时，，在此区间上不是单调函数，D错误． 故选：B． 4-2．（2024·北京密云·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】利用余弦函数的二倍角公式化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为. 对于A选项，当时， 在上单调递增，A错； 对于B选项，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 故B错； 对于C选项，当时， 则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时， 则在上单调递减，故D错. 故选：C. 4-3．（2024高一上·重庆江北·期末）的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用图象得到周期，结合图象的最高点和最低点即可得到对应的减区间 【详解】由图可得，即， 结合图象可得到在区间中，为最高点，对应的横坐标为， 轴右侧第一个最低点为，对应的横坐标为， 故函数的单调递减区间为 故选：B 4-4．（2024高一下·四川凉山·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C （五） 函数的对称性（对称轴、对称中心） 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 题型5：函数的对称性（对称轴、对称中心） 5-1．（2024高三·全国·课后作业）函数图象的一个对称中心的坐标是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正切型函数的对称中心可直接求出答案. 【详解】令，解得,则图象的对称中心的坐标是． 当时，，则是图像的一个对称中心． 故答案为：（答案不唯一）. 5-2．（2024·新疆喀什·模拟预测）函数向左平移个单位长度之后关于对称，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】先求平移后的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】向左平移个单位长度后，得， 因为函数关于对称， 所以，, ，， 所以的最小值为1. 故答案为：1 5-3．（2024·山东济南·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象关于（    ） A．对称 B．对称 C．对称 D．对称 【答案】B 【分析】先通过最小正周期求出，再根据三角函数图像的性质判断对称轴与对称中心即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 由得，，即， ，故不是对称轴，也不是对称中心； ，故是对称轴，不是对称中心. 故选：B 5-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且直线为图象的一条对称轴，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据，可求得，再根据直线为图象的一条对称轴，结合正弦函数的对称性即可求得. 【详解】由，得， 又，解得，所以， 又直线为图象的一条对称轴， 则有，，化简得，， 又，故的最小值为5． 故答案为：. 5-5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象结合五点法求出，再令，即可求出的对称中心. 【详解】由题意可得：，可得， 所以，因为， 所以，可得，所以， 由，可得，因为， 所以，，所以. 令，可得， 所以对称中心为， 故选：A. 5-6．（2024高三下·上海宝山·阶段练习）已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值. 【详解】，函数的最小正周期为，，． 将的图像向左平移个单位长度，可得的图像， 根据所得图像关于轴对称，可得，，解得，， 又，则令，可得的值为． 故答案为：． 5-7．（2024·上海徐汇·三模）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合函数图象的对称性，确定6个交点的关系即可求解作答. 【详解】显然函数的图象关于点成中心对称， 依题意，函数的图象与函数的图象的交点关于点成中心对称， 于是，所以. 故答案为：6 （六） 函数的定义域、值域（最值） 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），设，化为一次函数在上的最值求解． （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围． （6）导数法 （7）权方和不等式 题型6：函数的定义域、值域（最值） 6-1．（2024高一下·上海静安·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】定义域满足 . 【详解】的定义域满足 ，即 . 故答案为：. 6-2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解:，令，，于是 ，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而. 故选：B 6-3．（2024高三·全国·专题练习）函数对于，都有，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别是取得最小值和最大值时对应自变量的取值，结合函数周期即可容易求得结果. 【详解】∵恒成立， ∴是函数的最小值，是函数的最大值， 即、是函数的两条对称轴，则的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数周期性求值，属基础题；注意对题干的理解. 6-4．（2024·河北邯郸·一模）已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析： 因为，设的最小正周期为，则，所以的最小值为，故选C. 考点：三角函数的周期和最值． 6-5．（2024高三·全国·专题练习）实数满足，则的范围是 . 【答案】 【分析】由题可得，故由三角换元可得答案. 【详解】.故令，. 则原式，故. 故答案为：. 6-6．（2024高三·全国·专题练习）设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用换元法求解，设把转化为关于的函数，结合二次函数的知识可得答案. 【详解】设，由，得， 又由，得， 所以， 令，， 当时，时，即当时， 原函数取到最小值. 故答案为：. 【点睛】此题属于局部换元法，设后，抓住与的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围（）与对应，否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论. 一般地，在遇到题目已知和未知中含有与的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究. 6-7．（2024高一·全国·单元测试）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域. 【详解】令，， 则，即， 所以， 又因为，所以， 即函数的值域为． 故答案为：. （七） 三角函数性质的综合 三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性． 因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系） 题型7：三角函数性质的综合 7-1．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的值域为 B．的单调递减区间为 C．为奇函数， D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】首先化简函数，再结合三角函数的性质，即可判断选项. 【详解】因为， 所以，所以，故选项A正确； 由得， 所以的单调递减区间为，故选项B正确； 所以， 所以为奇函数，故选项C正确； 由得， 即 所以， 所以不等式的解集为，故选项D错误. 故选：D. 7-2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增 【答案】C 【分析】由图象求出的表达式后逐一验证选项即可. 【详解】由函数图象可知，最小正周期为，所以， 将点代入，得， 又，所以，故，故A错误； 所以，故B错误； 令，则，所以，，解得，， 所以不等式的解集为，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，， 解得，， 令得，因为，故D错误. 故选：C. 一、单选题 1．（2024高三上·广东汕头·阶段练习）设函数，如果，则的值是（    ） A．-10 B．8 C．-8 D．-7 【答案】B 【解析】令，由奇函数定义可知，化简计算可求得结果. 【详解】令,则， 所以，由可知，，即， ， 故选：B. 【点睛】本题考查奇函数性质，考查计算能力，属于基础题. 2．（2024·江西鹰潭·一模）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简，根据三角函数图象的平移变换可得的表达式，结合其性质，求得的表达式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故，由于的图象关于y轴对称， 则为偶函数，故,即， 故的最小值为， 故选：B 3．（2024·浙江·模拟预测）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果. 【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 要使该图象关于原点对称，则，，所以，， 又，所以当时，取得最大值，最大值为． 故选：A 【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题. 4．（2024·湖南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象平移规律可得函数的图象，由、设，则，分别利用、，求出可得答案. 【详解】函数的周期为， 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 可得， 由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且， 不妨设，则，即在时取得最小值， 由于，此时，不合题意；，此时， 当时，满足题意. 故选：C. 5．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图象平移变换得到，再由正弦函数的性质求出的单调递增区间. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后， 得到，即的图象， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，. 故选：C. 6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象可求出的解析式，向右平移个单位可得的解析式，利用余弦函数的图象解不等式即可. 【详解】设函数的图象向左平移单位长度后得到的函数图象对应的函数为，由图可知，函数的图象的最小正周期为， 所以， 所以， 由，得，，， 所以，，取，得， 所以，所以， 所以由，得，即， 所以，，即，， 所以不等式的解集为（）， 故选：C 【点睛】易错点点睛：图象变换的两种方法的区别，由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意写出平移后的解析式后，根据三角函数的奇偶性可得. 【详解】的图像向右平移个单位长度后，变为 ， 因的图象关于轴对称， 所以为偶函数， 所以，, 即，, 因，所以， 故当时，实数取得最小值为， 故选：B 8．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由余弦函数的性质，分别验证充分性与必要性即可. 【详解】函数， 当时，，为偶函数，所以充分性成立； 为偶函数时，，解得，不能得到，所以必要性不成立. 故“，”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 9．（2024·云南昆明·一模）已知函数，若存在，使得方程有三个不等的实根，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用辅助角公式变形为，画出图像，找到两函数交点位置，求出结果即可. 【详解】，最小正周期为， 作出的图像，    可知当时，有三个根， 所以， 即或， 解得根分别为， 又因为， 所以， 故选：B. 10．（2024·四川遂宁·一模）函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由求，再根据平移变换求出平移后的解析式，然后根据对称性即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以， 又，所以， 将的图象向右平移个单位长度后， 所得函数图象的解析式为， 因为的函数图象关于原点对称， 所以，得， 因为，所以当时，取得最小值. 故选：A 11．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案. 【详解】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 故选：C． 二、多选题 12．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．在上单调递增 【答案】AD 【分析】根据函数与的最小正周期相同，求得，经验证求得，再求出值，再对各个选项逐项验证. 【详解】由题意，函数与的最小正周期相同，则，且. 当时，，其一个对称中心为， 也是的一个对称中心， 所以，所以，， 又，所以， 所以，，，有极大值，无极小值，不合题意； 当时，，其一个对称中心为， 也是的一个对称中心， 所以，所以，， 又，所以， 所以，，，有极小值，满足题意. ，，A项正确，B项不正确； ，不是偶函数，C项不正确； 当时，，函数在上单调递减，则在上单调递增，D项正确. 故选：AD 13．（2024·广东潮州·模拟预测）设函数，的最小正周期为，且过点，则下列正确的有（    ） A．在单调递减 B．的一条对称轴为 C．的周期为 D．把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为 【答案】AB 【分析】利用辅助角公式将函数化简，根据周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】根据辅助角公式得． 最小正周期为，，，即． 函数过点，， ，则． 当时．即． 令，则， 当时，在单调递减，故A正确． 令，则， 当时，的一条对称轴为，故B正确． 因为为偶函数，所以， 则的周期为且，故C错误． 函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为，故D错误． 故选：AB． 14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（    ） A．的最大值为2 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称 【答案】AB 【分析】依题意可求出，从而可得，结合函数的图象性质逐一判断即可. 【详解】因为函数的图象关于对称， 所以，解得， 所以，其最大值为2，故A正确； 令， 定义域为，， 所以即是偶函数，故B正确； 时，，在单调递增， 在单调递减，故C错误； 把的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象， 因为， 所以的图象不关于点对称，故D错误. 故选：AB 15．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C．函数的最小正周期为 D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对A：必有一个最大值和一个最小值可求；对B：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C：化简后求周期；对D：求出的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解. 【详解】由，故必有一个最大值和一个最小值， 则为半个周期长度，故正确； 由题意的图象关于轴对称，B正确； 的最小正周期为C错误. ，在上有且仅在3个零点， 结合正弦函数的性质知：，则，D正确； 故选：ABD 16．（2024高三上·海南·期末）已知函数，，恒成立，在上单调，则（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 C． D．若函数在上有5个零点，则 【答案】AB 【分析】由题意求出，可判断A；由三角函数的平移变化可判断B；求出可判断C；令，即与的图象有5个交点，画出与的图象即可判断D. 【详解】因为，所以是函数的一个零点，所以①， 又因为对恒成立，所以时取得最小值， 即②，则①减②可得：， 又因为在上单调，所以， 则，结合，所以， 所以，， 则，，又因为， 所以，故A正确； 所以， 将的图象向左平移个单位长度后得到，故B正确； ，故C错误； 函数在上有5个零点，令， 即与的图象有5个交点，画出与的图象如下，    ，， 由图可知，当时，与的图象有5个交点， 即函数在上有5个零点,故D错误. 故选：AB 17．（2024高三上·山东德州·阶段练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 【答案】BC 【分析】由奇函数的定义即可判断A；容易验证π是函数的周期，进而判断B； 当时，用辅助角公式将函数化简，即可判断C； 先考虑时，再分和两种情况，求出函数的最小值，再根据函数的周期，即可求出函数在R上的最小值. 【详解】因为，，所以是偶函数，A正确；显然是周期函数， 因为，所以B错误；因为当时， 所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误； 因为 当时，设，则， 同理：当时，， 由B中解答知，是的周期，所以的最小值为1，D正确. 故选：BC. 18．（2024高三上·江苏无锡·期中）已知函数，下列叙述正确的有（    ） A．的周期为2π； B．是偶函数； C．在区间上单调递减； D．x1，x2∈R， 【答案】BC 【分析】AB选项，可以分别研究与的奇偶性和周期性，从而判断的周期性和奇偶性；C选项，在区间上，化简整理得到，，进而得到在区间的单调性；D选项可以取特殊值代入，证明其不成立. 【详解】是偶函数，不是周期函数，是偶函数，是周期函数，最小正周期为，故不是周期函数，A错误，B正确；当时，，因为，在次区间上单调递减，故在区间上单调递减，C正确； 当时，，，，即，D选项错误. 故选：BC 19．（2024·重庆·模拟预测）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最小值为 C．的图象关于点对称 D．在区间上有3个零点 【答案】ACD 【分析】A代入周期的定义，即可判断； B分别比较两个函数分别取得最小值的值，即可判断； C代入对称性的公式，即可判断； D根据零点的定义，解方程，即可判断. 【详解】选项A： 故的一个周期为，A正确. 选项B： ，当，时，取得最小值， ，当，时即，时，取得最小值， 所以两个函数不可能同时取得最小值，所以的最小值不是，故B错误. 选项C： ， ， 所以， 所以的图象关于点对称，C正确， 选项D： ， 得，或， 得，或，， 故区间中的根为，，， 故D正确. 故选：ACD 20．（2024高三上·河南三门峡·期末）已知函数满足：，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．函数是偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】化简后结合题意可得的取值集合，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得. 【详解】， 由，故， 即， 由，故， 即， 则有，即， 故、、、， 当时，， 由函数关于直线对称， 故的图象关于直线对称，故A正确； ， 由为奇函数，故函数为奇函数，故B错误； 当时，， 取时，即， 函数并不单调递减，故C错误； 由，故， 故D正确. 故选：AD. 21．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到；BC选项，画出，，且与的函数图象，数形结合判断BC选项；D选项，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】A选项，设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接， 由三角函数定义可知，， 设扇形的面积为，则，即，故， 当时，有不等式，A正确； B选项，画出，，且与的函数图象，如下： 可以看出，，故，B不正确； C选项，的最小正周期为，由图象可知，故，C正确； D选项，由， ， 因为，，故， 而， 但，且在为增函数， 故，故，D正确． 故选：ACD． 【点睛】思路点睛：处理函数零点问题思路：（1）利用方程思想，如一次函数，二次函数等，可令函数值为0，直接进行求解； （2）转化为两函数图象的交点问题来解决； （3）研究函数单调性，结合零点存在性定理来进行求解. 22．（2024·全国）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 三、填空题 23．（2024高三·全国·课后作业）函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 . 【答案】 【分析】根据正切型函数的周期公式进行求解即可. 【详解】因为函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为， 所以该函数的最小正周期为， 因为，所以，即， 因此， 故答案为： 24．（2024高三下·江西鹰潭·阶段练习）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解. 【详解】所以最小正周期为， 故答案为： 25．（2024·四川遂宁·三模）已知函数，，，且，则= 【答案】/0.5 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，分析可知函数的最小正周期为，利用正弦型函数的周期公式即可求得的最小值. 【详解】因为 ，另外，，且， 所以，函数的最小正周期满足，则， 所以，，故当时，取最小值. 故答案为： 26．（2024高三下·上海松江·阶段练习）已知函数，则函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期. 【详解】，故， 故答案为：． 27．（2024·上海·模拟预测）已知函数的最小正周期是，则 . 【答案】4 【分析】根据三角恒等变换化简三角函数，然后利用周期计算公式列方程，解方程即可求值 【详解】， 所以最小正周期是，所以. 故答案为：4 28．（2024·陕西咸阳·一模）设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定的条件，求出函数的周期，进而求出，再利用最值求出的表达式作答. 【详解】因为函数相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的周期， ，又，因此，即， 所以当时，. 故答案为： 29．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据二倍角公式，结合周期公式求解即可. 【详解】解：， 所以，其最小正周期为. 故答案为： 30．（2024高三上·内蒙古·阶段练习）设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】根据单调性、对称性来求得的最小正周期. 【详解】在区间上具有单调性，区间的长度为， 区间的长度为， 由于， 所以的一条对称轴为，其相邻一个对称中心为，即， 所以. 故答案为： 31．（2024高三·全国·对口高考）设函数的图象关于点成中心对称，若，则 . 【答案】 【分析】先根据对称性列方程，再根据范围确定结果 【详解】因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，所以，所以 因为，所以时，. 故答案为： 32．（2024·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可. 【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为． 故答案为： 33．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数图象平移结论求得，再根据的图象关于关于点对称，列方程即可求解. 【详解】由题可得， 的图象关于点对称， 所以，解得， ，故的最小值为. 故答案为：. 34．（2024高三上·江西吉安·期末）记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时， . 【答案】/ 【分析】根据对称轴可得，可得（），结合题意可得的最小值为4，即可求，代入运算求解. 【详解】由的图象关于对称，则，， ∴（）， 又∵， ∴当，的最小值为4， 此时，， ∴. 故答案为：. 35．（2024·四川泸州·一模）写出满足条件“函数的图象关于直线对称”的的一个值 ． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】以为整体，结合余弦函数的对称轴运算求解. 【详解】由题意可得：，则， 当时，. 故答案为：. 36．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴为．若,则的最大 ． 【答案】 【分析】先根据对称轴求出的表达式，再结合范围求最大值 【详解】由题知. 所以 因为,所以当取最大值 故答案为： 37．（2024·河南·模拟预测）曲线的一个对称中心为 （答案不唯一）. 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先化简函数，再根据正切函数的对称中心公式求解. 【详解】， 令或， 则或， 令，则.所以函数的一个对称中心是. 故答案为：（答案不唯一）. 38．（2024·河北·一模）函数的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据二倍角公式化简，即可求解最值. 【详解】因为，所以当时，，此时的最小值为. 故答案为： 39．（2024·湖北襄阳·模拟预测）若函数的最小值为，则常数的一个取值为 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一）. 【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可. 【详解】可化为， 所以， 设， 则，设， 则， 因为函数的最小值为， 所以，， 所以或，其中， 故答案为：（答案不唯一）. 40．（2024高三·全国·对口高考）的最小值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角化简函数的解析式为，由此求得函数的最小值． 【详解】， 所以当，时，取得最小值. 故答案为：． 41．（2024·上海嘉定·三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合三角函数性质判定值域即可. 【详解】原方程 等价于 即函数，在上有交点， ∵，∴，，故， 则. 故答案为： 42．（2024·江西鹰潭·模拟预测）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】用余弦的二倍角公式转化为二次函数求值域. 【详解】因为， 又，所以，则， 即函数的值域为. 故答案为：. 43．（2024高一下·四川成都·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据的范围，得的范围，数形结合可得的范围，从而可得函数的值域. 【详解】当时，， 则，所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 44．（2024高三·全国·专题练习）设函数，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用三角恒等变换将函数表达式化简为正弦型函数，再求函数最小值即可. 【详解】 . 因为，所以，所以， 所以，即函数的最小值为. 故答案为：. 45．（2024高三·安徽亳州·阶段练习）已知函数，该函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简函数，令且，则，求得，得出函数的单调性，结合单调性与极值，即可求解. 【详解】由题意，函数， 令且，则， 从而， 令，解得或， 当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减． 因为，，所以的最大值为. 故答案为：. 46．（2024高三下·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ． 【答案】 【分析】 由将函数化为，结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案. 【详解】因为角、均为锐角，所以的范围均为， 所以， 所以 因为， 所以， ， 当且仅当时取等， 令，，， 所以. 则的范围是：. 故答案为： 47．（2024·陕西咸阳·模拟预测）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式表示，配方，结合的范围进行求解. 【详解】因为 又因为, 所以当时,取得最小值 -1 , 当时,取得最大值 2 , 故的值域是. 故答案为： 48．（2024高三·全国·专题练习）设、且，求的取值范围是 . 【答案】 【分析】解法一：利用条件，将转化为二次函数，进而可确定的范围． 解法二：由得，设，则，再结合余弦函数及二次函数的性质计算可得. 【详解】解法一：， ，可得． ， 令，， 显然函数在上单调递增，，，即， 的取值范围是． 解法二：由得，设，即， 则 令，，，，显然在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 49．（2024高一下·辽宁·期中）函数的最大值为 ． 【答案】2 【分析】由题知，，进而得在上单调递减，在上单调递增，再求最大值即可. 【详解】解：，其中，，. ∵，， ∴， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵ ∴当时，取得最大值． 故答案为： 50．（2024高一·全国·课后作业）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解. 【详解】设，因为，可得， 因为正切函数在上的值域为， 即函数在的值域为. 故答案为：. 51．（2024·江西·模拟预测）函数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】分子分母同时除以，然后使用基本不等式可得. 【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为． 故答案为： 52．（2024·全国）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 53．（2024·四川乐山·一模）函数 上所有零点之和为 . 【答案】4 【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，再利用函数的对称性，可求零点的和. 【详解】函数，即， 函数和都关于对称， 所以函数和的交点也关于对称， 如图画出两个函数在区间的函数图象， 两个函数图象有4个交点，利用对称性可知， 交点横坐标的和. 故答案为：4 54．（2024·全国）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 55．（2024·全国）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 四、解答题 56．（2024高一上·湖北武汉·期末）函数. (1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图） (2)设，，当时，试研究函数的零点的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出的图象. （2）由转化为与的公共点个数，对进行分类讨论，由此求得零点的情况. 【详解】（1）， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： （2）因为， 所以的零点个数等价于与图象交点的个数， 设，，则 当，即时，有2个零点； 当，即时，有1个零点； 当，即时，有0个零点. 57．（2024·北京）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 58．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知函数在区间上单调，其中，，且． (1)求的图象的一个对称中心的坐标； (2)若点在函数的图象上，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案. （2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果. 【详解】（1）由函数在区间上单调， 且，可知， 故的图象的一个对称中心的坐标为 （2）由点在函数的图象上， 有，又由， ， 可知函数在区间上单调递减， 由函数的图象和性质， 有， 又，有， 将上面两式相加，有， 有， 又由，可得， 则， 又由函数在区间上单调， 有，可得，可得， 故． 59．（2024高一下·北京·期中） ，，， (1)若，求的值； (2)若函数的最小正周期为 ①求的值； ②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2)①；②见解析. 【分析】（1）首先代入向量数量积的坐标公式，利用三角恒等变形，化简函数，并代入求值； （2）首先根据周期公式求，并利用三角函数的性质求的最大值，最后转化为二次函数恒成立问题，即可求解. 【详解】（1）依题意， ， 当时，， （2）①由（1）知， 最小正周期，得， ②当时， ，当时， ，当，即时，的最大值为2， 不等式恒成立，即恒成立， 整理为，恒成立， 当时，恒成立， 当时，，得， 综上可得，， 当时， ，当时， ，当，即时，的最大值为0 不等式恒成立，即恒成立， 整理为，恒成立， 当时，恒成立， 当时，，得， 综上可得，， 综上可知，当时，，当时，. 60．（2003·北京）已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域． 【答案】答案见解析 【分析】由已知，根据原函数，可令即求得函数定义域；然后根据定义域，判断其是否关于原点对称，然后再验证两者的关系，从而判断奇偶性；根据原函数的定义域，可对分子进行因式分解，然后化简，直接求解值域即可. 【详解】由已知，函数， 由得，，解得， 所以函数的定义域为； 因为函数的定义域关于原点对称，且 ， 所以函数为偶函数， 又因为当时， ， 因为，所以且， 所以函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$