专题拓展：不等式恒成立（能成立）与等式能成立问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

专题拓展：不等式恒成立（能成立）与等式能成立问题 类型一：单变量不等式 角度1：恒成立问题 【例1-1】若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 单变量不等式恒成立问题，一般利用参变分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 【变式1-1】若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度2：能成立问题 【例1-2】已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 【方法总结】 单变量不等式能成立问题，一般利用参变分离法求解函数不等式能成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 【变式1-2】，使得成立，则实数的取值范围为_______． 类型二：双变量不等式 角度1：任意-任意型恒成立 【例2-1】已知，若对任意，任意，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 任意-任意型不等式恒成立问题：一般地，已知函数， 若，，总有成立，故． 【变式2-1】已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是________． 角度2：任意-存在型能成立 【例2-2】若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 【方法总结】 任意-存在型不等式能成立问题：一般地，已知函数， 若，，有成立，故. 【变式2-2】已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是______． 角度3：存在-任意型能成立 【例2-3】已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. 【方法总结】 能成立问题：一般地，已知函数， 若，，有成立，故. 【变式2-3】已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是________________. 角度4：存在-存在型能成立 【例2-4】已知函数和（其中），若存在使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 存在-存在型不等式能成立问题：一般地，已知函数， 若，，有成立，故． 【变式2-4】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型三：双变量等式 角度1：任意-存在型能成立 【例3-1】已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________ 【方法总结】 任意-存在型双变量等式能成立问题：记的值域为A, 的值域为B, 若，，有成立，则有. 【变式3-1】已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 角度2：存在-任意型能成立 【例3-2】已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是______． 【方法总结】 存在-任意型等式能成立问题：记的值域为A, 的值域为B, 若，，有成立，则有. 【变式3-2】已知；，若，使得成立，求的最小值. 角度3：存在-存在型能成立 【例3-3】已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 【方法总结】 存在-存在型等式能成立问题：记的值域为A, 的值域为B, 若，，有成立，故. 【变式3-3】已知函数，． (1)若函数在区间上存在零点，求正实数的取值范围； (2)若，，使得成立，求正实数的取值范围． 一、单选题 1．若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数.若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．对于恒成立，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．若函数，则下列结论正确的是（   ） A．对恒成立，则实数的取值范围是 B．若，使得，则实数的取值范围是 C．若，使得，则实数的取值范围是 D．对，都，使得成立 三、填空题 8．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是_______________________. 9．已知函数，实数a，b满足.若，，使得成立，则的最大值为__________. 四、解答题 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的解析式； (2)设，对任意，均有，求实数的取值范围. 11.已知函数为偶函数，且时，. (1)求时，的解析式； (2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展：不等式恒成立（能成立）与等式能成立问题 类型一：单变量不等式 角度1：恒成立问题 【例1-1】若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数， 依题意，时，， 显然函数在上单调递增，于是当时，取得最大值3， 因此，从而， 所以实数的取值范围是． 【方法总结】 单变量不等式恒成立问题，一般利用参变分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 【变式1-1】若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为对于一切恒成立， 则在上恒成立， 又因为和在上单调递减， 故在上单调递减， . 即. 角度2：能成立问题 【例1-2】已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为函数的对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增，所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以有，或， 因此实数的取值范围为. 【方法总结】 单变量不等式能成立问题，一般利用参变分离法求解函数不等式能成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 【变式1-2】，使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 类型二：双变量不等式 角度1：任意-任意型恒成立 【例2-1】已知，若对任意，任意，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，， 所以， 对任意的，要使成立，即要，对任意上成立， 所以任意，使得成立， 即. 【方法总结】 任意-任意型不等式恒成立问题：一般地，已知函数， 若，，总有成立，故． 【变式2-1】已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为3. 因为，所以的最大值为. 若对任意和任意，都有恒成立，则，即. 解得. 所以，实数的取值范围是. 角度2：任意-存在型能成立 【例2-2】若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】对任意，总存在，使得成立， 所以，当，时，，所以． 故答案为：． 【方法总结】 任意-存在型不等式能成立问题：一般地，已知函数， 若，，有成立，故. 【变式2-2】已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是______． 【答案】 【详解】函数，在上单调递增，所以， 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得， 又因为，所以，解得； 当时，在区间上单调递增，其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，在上单调增， 其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，， 此时，无解； 所以的取值范围是， 角度3：存在-任意型能成立 【例2-3】已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】若在上的最大值，在上的最大值， 由题设，只需即可. 在上，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的性质：在上递增，故. 在上，单调递增，则， 所以，可得. 【方法总结】 能成立问题：一般地，已知函数， 若，，有成立，故. 【变式2-3】已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是________________. 【答案】 【详解】当时,.当时,. 若存在，使对任意的，有成立, 等价于,可得，所以. 角度4：存在-存在型能成立 【例2-4】已知函数和（其中），若存在使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：存在使得成立， 等价于在上恒成立， 由得，， ， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 【方法总结】 存在-存在型不等式能成立问题：一般地，已知函数， 若，，有成立，故． 【变式2-4】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，，使得， 故只需， 其中在上单调递减，故， 在上单调递增，故， 所以，解得：， 实数的取值范围是. 类型三：双变量等式 角度1：任意-存在型能成立 【例3-1】已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】分别求出在的值域是，在的值域是，由题意知，可得即可求解. 【详解】因为，，所以， ，当时， 若任意，存在，使得成立， 则， 即解得：， 故答案为： 【方法总结】 任意-存在型双变量等式能成立问题：记的值域为A, 的值域为B, 若，，有成立，则有. 【变式3-1】已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以在上递减，在上递增， 所以的最小值为， 因为，，所以的最大值为， 所以的值域为， 因为在上递增， 所以的值域为， 因为对，使得， 所以是的子集， 所以，解得， 即的取值范围 角度2：存在-任意型能成立 【例3-2】已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意，函数在为单调递减函数，可得， 即函数的值域为集合， 又由函数在区间 上单调递增，可得， 即函数的值域构成集合， 又由， ，使成立，即 , 则满足，解得 ， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【方法总结】 存在-任意型等式能成立问题：记的值域为A, 的值域为B, 若，，有成立，则有. 【变式3-2】已知；，若，使得成立，求的最小值. 【答案】 【详解】令的值域为，已知单调递增， ，所以 令的值域为；在递增，所以 由题意可得，即，所以只需 ，最小值为. 角度3：存在-存在型能成立 【例3-3】已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】，则函数在上为增函数，则，即，所以函数的值域是．又在上的值域是，若存在，使得成立，则．若，则或，即或，所以实数的取值范围是． 答案： 【方法总结】 存在-存在型等式能成立问题：记的值域为A, 的值域为B, 若，，有成立，故. 【变式3-3】已知函数，． (1)若函数在区间上存在零点，求正实数的取值范围； (2)若，，使得成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）函数， 因为在区间上单调递减，又，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，若在区间上存在零点，则. （2）存在，，，使得成立， 等价为在，上，． 由在，递增，可得的最小值为， 又，所以在，递减，可得的最大值为， 由，解得，所以； 综上可得，的范围是． 一、单选题 1．若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，即在上恒成立， 因为在上的最小值为1，所以. 2．函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于任意的， 设，，而当时，函数在上递减，在上递增， 又，，，因此，，则， 所以的取值范围是. 3．已知函数.若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 当且仅当，且即时等号成立， 所以， 又函数在上单调递增， 所以， 由题意可知， 即，所以， 4．已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，即. ，则的值域为， 又因为函数在上为增函数， 所以，的值域为， 因为，，使得成立， 所以，解得. 5．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数，则， 因此函数在上的值域为，函数在上递增， 因此函数在上的值域为，即， 由，，使得， 得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 二、多选题 6．对于恒成立，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】设，则， 则的图象如下所示： 由图可知当时取得最小值， 即当且仅当时取等号， 因为对于恒成立，所以， 故符合题意的有A、B、C. 故选：ABC 7．若函数，则下列结论正确的是（   ） A．对恒成立，则实数的取值范围是 B．若，使得，则实数的取值范围是 C．若，使得，则实数的取值范围是 D．对，都，使得成立 【答案】ACD 【详解】当时，， 当时，， 对于A，，若恒成立，则， 所以实数的取值范围是，故A正确； 对于B，，若，则， 所以实数的取值范围是，故B错误； 对于C，，有解，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，由于，，使得， 等价于在上的值域是在上的值域的子集， 而， 显然，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是_______________________. 【答案】 【详解】因为，，使得， 所以，对，，有， 因为在上单调递增，所以， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上的最大值为， 故，解. 故答案为： 9．已知函数，实数a，b满足.若，，使得成立，则的最大值为__________. 【答案】3 【详解】， ∵函数在上单调递增，函数在上单调递减， ∴函数在上单调递增， ∴当时，，即， ， 当时，，∴，当且仅当，即时，取等号. 由双勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，∴， 令，即，即，即或， ∴当时，，，使得成立. ∴的最大值. 故答案为：3. 四、解答题 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的解析式； (2)设，对任意，均有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 所以是定义在上的奇函数，可得， 当时，. 当时，则，所以， 因为是奇函数，所以，所以， 所以. （2）解：对任意，均有， 只需， 由（1）知，当时，，当时，； 当时，，当时，， 又由，所以函数， 因为在上为单调递减函数，所以， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 11.已知函数为偶函数，且时，. (1)求时，的解析式； (2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【详解】（1）时，， 所以， 因为为偶函数，所以， 则，； （2）因为为偶函数，所以在和上的值域相同， 当时，， 令，则，， 所以函数化为，， 所以时，；时，， 即在上的值域为. 又对，，使得成立， 所以的值域是的值域的子集， ①当时，在上的值域为 则，解得 ②当时，在上的值域为， 则，解得 综上所述，实数的取值范围为或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $