精品解析：重庆市荣昌中学校2023-2024学年高一下学期第二次教学检测（5月）数学试题

荣昌中学高2026届高一下期第二次教学检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 3. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（ ） A. B. C. D. 5. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，用分层抽样方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ） A B. C. D. 7. 在中，，边的高等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则∥ B. 若∥，∥，，则∥ C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知复数，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 11. 在正三棱台中，，直线与平面所成角为，该三棱台的体积、内切球半径分别为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______. 13. 在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为____________． 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 16. 如图，在三棱锥中，分别是棱中点，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. （1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的平面角的正切值. 18. 在，为边上的中线，点在边上，设． （1）当时，求的值； （2）若为的角平分线，且点在边上，求的值； （3）在(2)的条件下，若，求最小值？ 19. 设，我们常用来表示不超过最大整数.如：. （1）求证：； （2）在锐角中，角所对的边分别为，且，则的最小值为，求的值. （3）已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣昌中学高2026届高一下期第二次教学检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求出复数，再求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 2. 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例关系计算得到答案. 【详解】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为， 故选：B． 3. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，， 解得， 则圆锥的高为， 因此该圆锥的体积， 故选：D 4. 在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由外心及垂心性质可证得、，从而证得，同理证得，进而可得四边形为平行四边形，从而在中可求得外接圆半径，结合圆的周长公式计算即可. 【详解】设为外接圆的外心，连接并延长交于点，连接、、，如图所示， 由为外接圆的外心可知，， 又因为为垂心，所以， 所以，同理：， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为， 所以在中，，即， 所以，所以外接圆周长为. 故选：D. 5. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样抽样比求得样本中男生、女生的人数及平均数公式计算即可. 【详解】由题意知，抽取的样本中男队员有人，女队员有人， 所以估计该田径队运动员的平均身高为. 故选：B. 6. 如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解. 【详解】， ， ， ， 故选：A. 7. 在中，，边的高等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，结合等边对等角即可求得结果. 【详解】如图所示， 由题意知，，解得， 由余弦定理得：，解得， 所以， 所以. 故选：A. 8. 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由意在可知，代入数量积的运算公式求，再根据正弦定理说明时，也取得最大值，最后求面积. 【详解】 ， ，， ，且， 当时，时，也取得最大值, 此时， ， . 故选：A 【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理，且，说明时，也取得最大值，后面的问题迎刃而解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则∥ B. 若∥，∥，，则∥ C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用线线位置关系、线面位置关系可判断A项、B项，由线面平行的性质、线面垂直性质及面面垂直的判定定理可判断C项，由面面垂直性质及线面垂直的判定定理可判断D项. 【详解】对于A项，若，，则与可能平行、相交、异面，故A项不成立； 对于B项，因为，，所以或，又，所以，故B项正确； 对于C项，因为，，所以或， 当时，又因，所以， 当时，过直线作平面使得，如图所示， 因为，，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故C项正确； 对于D项，设，，过平面内一点，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 10. 已知复数，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及已知得，设， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误. 故选：BC 11. 在正三棱台中，，直线与平面所成角为，该三棱台的体积、内切球半径分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用等腰三角形三线合一及线面垂直判定定理可证得面，再运用线面垂直性质可判断A项，由A项同理可得面，则即为所求角，进而可判断B项，运用求解即可判断C项，运用等体积法求内切球半径可判断D项. 【详解】对于A项，取中点，连接、，、，如图所示， 由题意知，在等腰梯形中，过作，如图所示， 则，，又因为，所以， 所以，则，所以， 同理：，所以， 由题意知，为等边三角形，所以， 又，、面，所以面， 又面，所以，故A项正确； 对于B项，如图所示， 由A项知，，，同理：，， 又，、面，所以面， 所以为直线与平面所成角（）， 又因为，，所以，则，故B项正确； 对于C项，延长、、、交于点，如图所示， 则由题意知，、、、分别为、、、的中点，所以， 又，所以， 又因为，，，即， 所以， 所以，故C项不成立； 对于D项，设正三棱台的内切球球心为，则由等体积法可知， 由A项知，，则， 所以，解得，故D项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角公式以及向量投影公式直接求解. 【详解】设与的夹角，则， 所以在上的投影向量为， 故答案为：. 13. 在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，则长方体的体对角线即为四面体的外接球的直径，再结合球表面积公式计算即可. 【详解】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，解得， 所以长方体的体对角线长为， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形将所求数量积中的向量转化，化简为，从而只需求的取值范围，由图易得的最大最小值，代入即得. 【详解】 如图，取的中点,连接. 则, 因为圆的直径，长度为4，故得,要求的取值范围，即要求的取值范围. 根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值. 试题解析：（1）因为向量与平行， 所以， 由正弦定理得， 又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝. （2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝， 得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0， 因为c>0，所以c＝3. 故△ABC的面积为bcsinA＝. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理. 16. 如图，在三棱锥中，分别是棱的中点，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得，根据线面平行的判定定理可证； （2）由，，根据线面垂直的判定定理可证； （3）连结，直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角，利用余弦定理求解. 【小问1详解】 由已知得， 又平面，平面， 因此∥平面； 【小问2详解】 连结. ， ， 在中，由已知可得，而 即， 平面，平面， 平面； 【小问3详解】 连结，由为的中点知， 直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角. 在中， 是直角斜边AC上的中线， 异面直线与所成角的所成角的余弦值是. 17. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. （1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）存， （2）2 【解析】 【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论； （2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解． 【小问1详解】 解：当F是AC的中点时，直线平面. 证明如下： 设的中点为N，连接EN，FN， 因为，，且，， 所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以存在点F，使平面，且. 【小问2详解】 解：在平面图形中，连接CE，则，， 所以， 如图所示，取BE中点O，连接，则， 因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面，又因为平面，所以 作于M，连接， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，，，可得， 故二面角的平面角的正切值为． 18. 在，为边上的中线，点在边上，设． （1）当时，求的值； （2）若为的角平分线，且点在边上，求的值； （3）在(2)的条件下，若，求最小值？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，平方后整理即可. （2）由角平分线性质可得，结合为的中点求解即可. （3）由余弦定理及三角形面积公式可得，结合三角恒等变换及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 由角平分线性质定理可得，， 又因为为的中点， 故，所以. 【小问3详解】 由题（2）可知，由可得，设， ，则（※）， 由余弦定理可得：， 代入（※）式，得：， 令， 则， 当且仅当时，即时，长度最小，此时. 19. 设，我们常用来表示不超过最大整数.如：. （1）求证：； （2）在锐角中，角所对的边分别为，且，则的最小值为，求的值. （3）已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，分别研究与时等式两边的值即可. （2）由正弦定理边化角及三角恒等变换化简可得与用代数式表示，代入所求式子中结合基本不等式求解即可. （3）将转化为关于的二次函数在上求其最大值，进而将问题转化为在上恒成立，运用分离参数可得在上恒成立，进而由函数单调性性质判断单调性求其最大值，结合函数单调性定义判断的单调性求其最小值即可. 【小问1详解】 设， 若，则，， 故，又，，所以. 若，则，， 故，而，，故. 综上，. 【小问2详解】 由已知得，， 又因为 ， 所以， 所以，即， 所以，即， 所以， 所以， 又因为为锐角三角形，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值. 又，因此. 【小问3详解】 ， 当时，，故，故 因为对，使不等式成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立，而在上恒成立， 故在上恒成立， 设，， 因为在上均为增函数，故，为增函数， 故， 设， 设， 则， 而，故，故， 即，故为减函数， 故，故. 点睛】方法点睛：方法1：分离参数法求最值 (1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)恒成立⇔； 恒成立⇔； 能成立⇔； 能成立⇔. 方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$