精品解析：河南省信阳市信阳高级中学贤岭校区2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2023-2024学年高一下期06月测试（A） 数学试题 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和共轭复数定义可得答案. 【详解】由题知，，则． 故选：D． 2. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案. 【详解】由题意作图如下，设， 故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 3. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确； 对于B，若则或，故B错误； 对于C，若，，则或异面或 相交，故C错误； 对于D，若，且，则，或，故D错误， 故选：A. 4. 如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为 A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值． 【详解】选取为基底， 则， 又， 将以上两式比较系数可得． 故选D． 【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题 （1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便； （2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算； （3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性． 5. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出次传球的路线总数,再求出次传球后球在甲手中的路线种数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. 6. 折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1，图2是某折扇的结构简化图，已知，，若之间的弧长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧长公式，得到，再利用余弦定理求出，即可求出结果. 【详解】因为，，所以， 在中，， 所以，得到， 故选：D. 7. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是PD的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取CD的中点F，连接BF，EF. 则∠BEF(或补角)为异面直线BE与PC的所成角. 分别求出BF、EF、BE的长度，利用余弦定理，即可求得结果. 【详解】如图，取CD的中点F，连接BF，EF. 因为E是PD的中点，所以EF//PC， 则∠BEF(或补角)为异面直线BE与PC的所成角. 由题意可得BF=，，BE=. 在中，由余弦定理可得 . 故选：B 【点睛】本题考查异面直线成角的问题、余弦定理的应用，考查逻辑分析，推理证明，求值计算的能力，属中档题. 8. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且外接圆半径为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，，将转化为角的形式，结合三角函数值域的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， ， , ， 由于， 所以， 由于，所以，所以， 所以是锐角，且， 所以. , 由于三角形是锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理解三角形，主要是利用正弦定理边角互化的作用来对已知条件进行化简求值.三角形中，要求一个表达式的取值范围，可利用正弦定理将其转化为角的形式，然后利用三角函数的值域的求法来求得取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设，由，得到，再逐项判断. 【详解】解：设，由，得，解得， A. ，当时，不为纯虚数，故错误； B. 因为，，所以，故正确； C. 由，得，则，故正确； D. 因为，如，两者不等，所以，故错误； 故选：BC 10. 有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C. 若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D. 若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的性质逐一判断即可. 【详解】不妨设原数据，新数据， A：例如原数据为，新数据为，此时极差均为，故A正确； B：原数据中位数为，新数据中位数为，可知或， 若，可得；若，可得； 综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B正确； C：若，可知去掉的数据为，则，可得， 所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C正确； D：若，可知去掉的数据为， 因为，可知原数据的分位数为第3位数， ，可知新数据的分位数为第2位数与第3位数的平均数， 例如原数据为，新数据为， 此时新数据的分位数、原数据的分位数均为3，故D错误； 故选：ABC. 11. 正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点.则（ ） A. 直线与直线相交 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】由异面直线的定义可判断A选项；证明平面平面可得平面，可判断B选项；由，可得，，，四点共面，所以求截面的面积，可判断C选项；利用等体积法，即由，的面积关系，可判断D选项. 【详解】对于A：因为平面，平面，， 所以和为异面直线，故A错误； 对于B，的中点，连接，，， 因为E，F，G分别为，，的中点， 所以，，，，所以， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，如图所示，连接，延长，交于， 由选项可知，，因为，， 所以，，所以四点共面， 所以梯形为截面，因为，， 所以， 因为∽，且相似比为， 所以，故C正确； 对于D，记点与点G到平面的距离分别为， 因为， ， 所以，故D错误. 故选：BC. . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果. 【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以， 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为， 因此圆锥的侧面积为． 【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解． 13. 在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合建系法和向量数量积公式，先求出点坐标，进而得解. 【详解】以A为坐标原点，AB为x轴,AD为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 则A，设， 则， 所以. 故答案为：2． 14. 在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据外接球与三棱柱的几何位置关系，作出图形，在直角中利用勾股定理求出外接球半径即可求解. 【详解】根据题意，作图如下， 设， 则， 所以， 所以， 如图，点为等边三角形外接圆的圆心，则， 设外接球的球心为，则有, 所以在直角中，， 所以外接球的表面积为, 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与的夹角为． （1）求和； （2）若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量数量积和模的坐标运算，代入中求出的值，再求出的坐标，求； （2）且与不同向共线，求实数的取值范围即可． 【小问1详解】 向量，且与的夹角为． 则，，， 由，有，解得， 所以，得． 【小问2详解】 ， 由题意，得， 又，， 若与共线，则有，解得， 此时与同向平行，不合题意， 所以且． 则实数的取值范围为． 16. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【小问1详解】 依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得 成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：； 成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人. 【小问2详解】 由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为. 【小问3详解】 由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 17. 如图，在中，，，为内一点，． （1）若，求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）中利用三角函数的定义，求出，可得，从而， 再在中算出，利用余弦定理，即可得出答案； （2）设，在中根据正弦定理建立关于的等式，解出， 利用同角三角函数的关系可得，，，， 利用余弦定理，即可得出答案． 【小问1详解】 在中，，， ，可得，． ， 在中，由余弦定理得， 即， ； 【小问2详解】 设，可得，， 在中，， 中，由正弦定理得，即， ，化简得， ，因此，，， 所以的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 如图，取中点，连接， 由于分别为的中点，故，且， 又，可得，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由已知可证四边形为平行四边形，可得，可证结论； （2）利用，可求三棱锥的体积； （3）易证平面，可得，进而可证平面，可得为直线与平面所成的角，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 因为底面，所以， 即. 【小问3详解】 因为底面底面， 又平面， 平面. 又平面. 为的中点， ， 又 平面，平面， 直线在平面内的射影为直线， 故为直线与平面所成的角， 由底面底面可得，， 为等腰直角三角形，且平分， ， 所以直线与平面所成的角为. 19. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，． （1）若，求三角形手巾的面积； （2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案. （2）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 在中，，，故，， 由正弦定理得，即， 而， 故， 故, 故三角形手巾的面积为 【小问2详解】 设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故， 即取到最小值即取最小值时，， 即此时. 【点睛】关键点睛：第二问求解取最小值时的长，关键是设，分别利用余弦定理表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2023-2024学年高一下期06月测试（A） 数学试题 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 4. 如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为 A. B. C. D. 1 5. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1，图2是某折扇的结构简化图，已知，，若之间的弧长为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是PD的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且外接圆半径为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 10. 有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C. 若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D. 若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数 11. 正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点.则（ ） A. 直线与直线相交 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 13. 在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值为__________． 14. 在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与的夹角为． （1）求和； （2）若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 17. 如图，在中，，，为内一点，． （1）若，求； （2）若，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的大小. 19. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，． （1）若，求三角形手巾的面积； （2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $