期末复习（易错题60题23个考点）-2023-2024学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

期末复习（易错题52题232个考点） 一．因式分解-提公因式法（共1小题） 1．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（　　） A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c） C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c） 二．因式分解-运用公式法（共2小题） 2．分解因式：a4﹣16a2＝　 　． 3．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 　 　． 三．因式分解的应用（共2小题） 4．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为　 　． 5．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值． （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长． 四．分式的值为零的条件（共1小题） 6．如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 五．分式的基本性质（共3小题） 7．如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（　　） A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍 8．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 9．若＝2，则＝　 　． 六．分式的加减法（共1小题） 10．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）若分式的值为整数，求x的整数值． 七．分式的混合运算（共1小题） 11．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，…，，若a1＝2，则a2023的值是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．2 八．分式的化简求值（共1小题） 12．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0． 九．分式方程的解（共1小题） 13．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是　 　． 一十．分式方程的增根（共2小题） 14．若方程＝1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 15．关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 一十一．不等式的性质（共1小题） 16．若a＞b，下列不等式不一定成立的是（　　） A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＜﹣5b C．＞ D．a+c＞b+c 一十二．解一元一次不等式（共1小题） 17．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 一十三．解一元一次不等式组（共1小题） 18．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤8 一十四．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 19．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　 　． 一十五．一元一次不等式组的应用（共1小题） 20．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量； （3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 一十六．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 21．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 22．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 一十七．角平分线的性质（共2小题） 23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 24．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 一十八．等腰三角形的性质（共1小题） 25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　 　． 一十九．等腰三角形的判定（共1小题） 26．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 二十．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 27．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 二十一．等边三角形的性质（共1小题） 28．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE＝CD；②BF＝BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC＝60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二十二．含30度角的直角三角形（共2小题） 29．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求OC、BC的长； （2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 二十三．勾股定理（共7小题） 31．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 32．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 33．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 34．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　 　． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 　 　． 36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　 　． 37．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）直接写出AB的长度 　 　． （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长． 二十四．三角形中位线定理（共1小题） 38．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（　　） A．28 B．32 C．18 D．25 二十五．多边形内角与外角（共3小题） 39．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形． A．6 B．7 C．8 D．9 40．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．27 B．35 C．44 D．54 41．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（　　） A．360° B．540° C．180°或360° D．540°或360°或180° 二十六．平行四边形的性质（共2小题） 42．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（　　） A．3n B．3n（n+1） C．6n D．6n（n+1） 43．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 二十七．平行四边形的判定与性质（共2小题） 44．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　 　时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 45．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 　 　． 二十八．命题与定理（共1小题） 46．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　； 请选择其中一种情况说明理由． ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　 　． （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 二十九．平移的性质（共2小题） 47．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 48．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　 　． 三十．坐标与图形变化-平移（共1小题） 49．已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的． （1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值； （2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标； （3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围． 三十一．旋转的性质（共2小题） 50．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　 　． 51．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 三十二．中心对称（共1小题） 52．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题52题232个考点） 一．因式分解-提公因式法（共1小题） 1．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（　　） A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c） C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c） 【答案】B 【解答】解：﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）， ＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x）， ＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）． 故选：B． 二．因式分解-运用公式法（共2小题） 2．分解因式：a4﹣16a2＝　a2（a+4）（a﹣4）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：a4﹣16a2， ＝a2（a2﹣16）， ＝a2（a+4）（a﹣4）． 故答案为：a2（a+4）（a﹣4）． 3．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 　﹣2或8　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式， ∴2（3﹣m）＝±10 解得：m＝﹣2或8． 故答案为：﹣2或8． 三．因式分解的应用（共2小题） 4．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣1， ∴4a2﹣6ab+3b ＝2a（2a﹣3b）+3b ＝2a×（﹣1）+3b ＝﹣2a+3b ＝﹣（2a﹣3b） ＝﹣（﹣1） ＝1 故答案为1 5．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝　﹣3　，b＝　1　． （2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值． （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：由：a2+b2+6a﹣2b+10＝0，得： （a+3）2+（b﹣1）2＝0， ∵（a+3）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴a+3＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣3，b＝1． 故答案为：﹣3； 1． （2）由x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0得： （x﹣y）2+（y+4）2＝0 ∴x﹣y＝0，y+4＝0， ∴x＝y＝﹣4 ∴xy＝16． 答：xy的值为16． （3）由2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0得： 2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0， ∴a＝1，b＝4； 已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，由三角形三边关系知c＝4， ∴△ABC的周长为9． 四．分式的值为零的条件（共1小题） 6．如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 【答案】B 【解答】解：根据题意，得 |x|﹣1＝0且x+1≠0， 解得，x＝1． 故选：B． 五．分式的基本性质（共3小题） 7．如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（　　） A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍 【答案】C 【解答】解：∵分式中的a，b都同时扩大2倍， ∴＝， ∴该分式的值扩大2倍． 故选：C． 8．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵＝﹣， 故选：C． 9．若＝2，则＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy 则＝＝＝． 故答案为． 六．分式的加减法（共1小题） 10．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）若分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣； （2）＝＝＝x﹣1+， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴x+1＝±1， ∴x＝﹣2或0． 七．分式的混合运算（共1小题） 11．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，…，，若a1＝2，则a2023的值是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．2 【答案】A 【解答】解：由题意得， a1＝2， a2＝＝＝﹣3， a3＝＝＝﹣， a4＝＝＝， a5＝＝＝2， ……， ∴an的值按照2，﹣3，﹣，，……4次一个循环周期的规律出现， ∵2023÷4＝505……3， ∴a2023的值是﹣， 故选：A． 八．分式的化简求值（共1小题） 12．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ＝• ＝• ＝， ∵x2﹣2x﹣2＝0， ∴x2＝2x+2， ∴当x2＝2x+2时，原式＝＝＝． 九．分式方程的解（共1小题） 13．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是　m＜0，且m≠﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程两边乘x﹣2得：x+m＝2﹣x， 移项得：2x＝2﹣m， 系数化为1得：x＝， ∵方程的解大于1， ∴＞1，且≠2，解得m＜0，且m≠﹣2． 故答案为：m＜0，且m≠﹣2． 一十．分式方程的增根（共2小题） 14．若方程＝1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 【答案】B 【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得 6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1）， 由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1． 当x＝1时，m＝3， 当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的， 所以增根只能是x＝1． 故选：B． 15．关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 【答案】D 【解答】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 方程两边都乘（x﹣3）， 得：x﹣1＝2（x﹣3）+k， 当x＝3时，k＝2，符合题意， 故选：D． 一十一．不等式的性质（共1小题） 16．若a＞b，下列不等式不一定成立的是（　　） A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＜﹣5b C．＞ D．a+c＞b+c 【答案】C 【解答】解：A．∵a＞b， ∴a﹣5＞b﹣5，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴﹣5a＜﹣5b，故本选项不符合题意； C．∵a＞b， ∴当c＞0时，；当c＜0时，，故本选项符合题意； D．∵a＞b， ∴a+c＞b+c，故本选项不符合题意； 故选：C． 一十二．解一元一次不等式（共1小题） 17．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 【答案】D 【解答】解：由mx+n＞0的解集为x＜，不等号方向改变， ∴m＜0且﹣＝， ∴＝﹣＜0， ∵m＜0． ∴n＞0； 由nx﹣m＜0得x＜＝﹣3， 所以x＜﹣3； 故选：D． 一十三．解一元一次不等式组（共1小题） 18．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤8 【答案】B 【解答】解：因为不等式组无解， 即x＜8与x＞m无公共解集， 利用数轴可知m≥8． 故选：B． 一十四．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 19．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， 由①得：x≤3， 由②得：x＞a， ∴不等式的解集为：a＜x≤3， ∵关于x的不等式组有5个整数解， ∴x＝﹣1，0，1，2，3， ∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 一十五．一元一次不等式组的应用（共1小题） 20．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量； （3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】（1）需甲车型8辆，需车型10辆； （2）有三种运送方案： ①甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； ②甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； ③甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． （3）甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆，最少运费是6400元． 【解答】解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：， 解得，． 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：， 消去z，得5x+2y＝60，x＝12﹣y， 因x，y是整数，且不大于18，得y＝0，5，10，15， 由z是整数，解得或或或（舍）； 有三种运送方案： ①甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； ②甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； ③甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． （3）三种方案的运费分别是： ①300×12+400×0+500×6＝6600（元）； ②300×10+400×5+500×3＝6500（元）； ③300×8+400×10+500×0＝6400（元）； 答：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆，最少运费是6400元． 一十六．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 21．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 【答案】B 【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， 则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2， 故选：B． 22．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 【答案】A 【解答】解：当x≤﹣2时，直线l1：y1＝k1x+b1都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1≥y2． 故选：A． 一十七．角平分线的性质（共2小题） 23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示： ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°， ∠ADB+∠A+∠ABD＝180° ∠ADB＝∠C，∠A＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是∠ABC的角平分线， 又∵AD⊥AB，DH⊥BC， ∴AD＝DH， 又∵AD＝3， ∴DH＝3， 又∴点D是直线BC外一点， ∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3， 即DP长的最小值为3． 故选：C． 24．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【答案】A 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：A． 一十八．等腰三角形的性质（共1小题） 25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　60°或120°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是60°； 当高在三角形外部时，顶角是120°． 故答案为：60°或120°． 一十九．等腰三角形的判定（共1小题） 26．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置； 以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置； 作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点． 故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选：B． 二十．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 27．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）①说明过程见解答； ②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 二十一．等边三角形的性质（共1小题） 28．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE＝CD；②BF＝BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC＝60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△BDE为等边三角形， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABE＝∠CBD， 即AB＝BC，BD＝BE，∠ABE＝∠CBD ∴△ABE≌△CBD， ∴S△ABE＝S△CBD，AE＝CD，∠BDC＝∠AEB， 又∵∠DBG＝∠FBE＝60°， ∴△BGD≌△BFE， ∴BG＝BF，∠BFG＝∠BGF＝60°， 过B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N， ∵S△ABE＝S△CBD，AE＝CD， ∴×AE×BM＝， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHD，∴①②③正确； ∵△ABE≌△CBD， ∴∠EAB＝∠BCD， ∵∠CBA＝60°， ∴∠AHC＝∠CDB+∠EAB＝∠CDB+∠BCD＝∠CBA＝60°，∴④正确； ∵BF＝BG，∠FBG＝60°， ∴△BFG是等边三角形，∴⑤正确； ∴∠GFB＝∠CBA＝60°， ∴FG∥AD，∴⑥正确； 故选：D． 二十二．含30度角的直角三角形（共2小题） 29．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求OC、BC的长； （2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 【答案】（1）2，2； （2）S＝； （3）或． 【解答】（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2， ∴∠B＝30°， ∴OA＝OB＝， 由勾股定理得：AB＝3， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B， ∴OC＝BC， 在△AOC中，AO2+AC2＝CO2， ∴+（3﹣OC）2＝OC2， ∴OC＝2＝BC， 答：OC＝2，BC＝2； （2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2， 则CP＝2﹣t，CQ＝t， 过P作PH⊥OC于H，则∠HCP＝60°，∠HPC＝30°， ∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t）， ∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t）， 即S＝﹣t2+t； ②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在； ③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z， 分为两种情况： 第一种情况：2＜t≤， ∵CO＝2，∠NOC＝60°， ∴CZ＝， CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2， ∵∠NOC＝60°， ∴∠GPO＝30°， ∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t）， ∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t）， 即S＝t2+； 第二种情况：如图3，t＜4时， S△CPQ＝S△COQ﹣S△OQP ＝（t﹣2）•﹣（t﹣2）（4﹣t）， 即S＝t2+， 即S＝t2+（2＜t＜4）； ④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3） 过C作CK⊥ON于K， ∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2， ∴OK＝BC＝1， 有勾股定理得：CK＝， ∴S＝PQ×CK＝×2×＝； 综合上述：S与t的函数关系式是：S＝； （3）解：如图（2），∵ON⊥OB， ∴∠NOB＝90°， ∵∠B＝30°，∠A＝90°， ∴∠AOB＝60°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝30°， ∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°， ①OM＝PM时， ∠MOP＝∠MPO＝30°， ∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°， ∴OP＝2OQ， ∴2（t﹣2）＝4﹣t， 解得：t＝， ②PM＝OP时， 此时∠PMO＝∠MOP＝30°， ∴∠MPO＝120°， ∵∠QOP＝60°， ∴此时不存在； ③OM＝OP时， 过P作PG⊥ON于G， OP＝4﹣t，∠QOP＝60°， ∴∠OPG＝30°， ∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t）， ∵∠AOC＝30°，OM＝OP， ∴∠OPM＝∠OMP＝75°， ∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°， ∴PG＝QG＝（4﹣t）， ∵OG+QG＝OQ， ∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2， 解得：t＝ 综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形． 30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【答案】（1）； （2）或t＝1． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 二十三．勾股定理（共7小题） 31．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解答】解：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得 a4+b2c2﹣a2c2﹣b4 ＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2） ＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2） ＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2） ＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0， ∵a+b＞0， ∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0， 即a＝b或a2+b2＝c2， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 32．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 【答案】C 【解答】解：（1） △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5 ∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84； （2） △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5 ∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24． 故选：C． 33．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝＝4， ∵A'B+A'C≥BC， ∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1， ∴A'B的最小值为1， 故选：B． 34．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　12　． 【答案】12． 【解答】解：如图，延长BE交AD于点F， ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠BCE， ∵∠FED＝∠BEC， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13， 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12． 故答案为：12． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 　3或或2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：分三种情况： ①如图1所示： 当AD＝AB时， 由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3； ②如图2所示： 当AD＝BD时， 设CD＝x，则AD＝x+3， 在Rt△ADC中，由勾股定理得： （x+3）2＝x2+42， 解得：x＝， ∴CD＝； ③如图3所示： 当BD＝AB时， 在Rt△ABC中，AB＝＝＝5， ∴BD＝5， ∴CD＝5﹣3＝2； 综上所述：CD的长为3或或2． 故答案为：3或或2． 36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　169　． 【答案】169． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得， BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝169； 故答案为：169． 37．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）直接写出AB的长度 　16　． （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长． 【答案】（1）16； （2）； （3）8或10或． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12， ∴AB＝＝＝16， 故答案为：16； （2）∵∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC， 设AP＝PC＝x， ∴PB＝16﹣x， ∵∠B＝90°， ∴BP2+BC2＝CP2， ∴（16﹣x）2+122＝x2， 解得：x＝， ∴AP＝； （3）AM的长为8或10或． 如图（1），当CB＝CM＝12时，AM＝AC﹣CM＝20﹣12＝8； 如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CM＝AC＝10； 如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H， 则BH＝＝， ∴CH＝＝＝， ∴CM＝2CH＝， ∴AM＝AC﹣CM＝20﹣＝， 综上所述，AM的长为8或10或． 二十四．三角形中位线定理（共1小题） 38．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（　　） A．28 B．32 C．18 D．25 【答案】D 【解答】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°， ∴△ABN≌△AEN， ∴AE＝AB＝6，BN＝NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE＝2MN＝2×1.5＝3， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25， 故选：D． 二十五．多边形内角与外角（共3小题） 39．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， 所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°， 如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°， 360°÷36°＝10， ∵已经有3个五边形， ∴10﹣3＝7， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：B． 40．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．27 B．35 C．44 D．54 【答案】C 【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n， ∴（n﹣2）×180﹣x＝1510， 180n＝1870+x＝1800+（70+x）， ∵n为正整数， ∴n＝11， ∴＝44， 故选：C． 41．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（　　） A．360° B．540° C．180°或360° D．540°或360°或180° 【答案】D 【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°， 边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°． 故选：D． 二十六．平行四边形的性质（共2小题） 42．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（　　） A．3n B．3n（n+1） C．6n D．6n（n+1） 【答案】B 【解答】解：从图中我们发现 （1）中有6个平行四边形，6＝1×6， （2）中有18个平行四边形，18＝（1+2）×6， （3）中有36个平行四边形，36＝（1+2+3）×6， ∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形． 故选：B． 43．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 　44　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接EF ∵△ADF与△DEF同底等高， ∴S△ADF＝S△DEF， 即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF， 即S△APD＝S△EPF＝17cm2， 同理可得S△BQC＝S△EFQ＝27cm2， ∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝17+27＝44cm2． 故答案为：44． 二十七．平行四边形的判定与性质（共2小题） 44．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　秒或8秒　时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm， ∴10﹣t＝30﹣4t， 解得：t＝； 当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm， ∴10﹣t＝4t﹣30， 解得：t＝8． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 故答案为：秒或8秒． 45．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 　或或　． 【答案】或或． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥OA于点H， ∵A的坐标为（9，0）， ∴OA＝9， ∵OD＝OA， ∴OD＝3， ∵点C的坐标为（3，3）， ∴OH＝3，CH＝3， ∴D，H重合， ∵CE＝4． ∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6， 动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况： ①点P在OC上，点Q在BC上，如图， 当点P与点O重合， ∴S平行四边形PDEQ＝PD•CH＝3×3＝9； 当DE是对角线时，如图， ∴S平行四边形PDQE＝PD•CD＝3×3＝9； ②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合， ∴S平行四边形QDPE＝PD•CD＝4×3＝12； ③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合， ∴S平行四边形DQPE＝PE•CD＝5×3＝15； 综上所述：平行四边形面积为或或． 故答案为：或或． 二十八．命题与定理（共1小题） 46．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC+∠DEF＝180°　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC＝∠DEF　； 请选择其中一种情况说明理由． ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补　． （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF， 故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF． 理由：如图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DPB＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠DPB＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°． 如图2中，∵BC∥EF， ∴∠DPC＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DPC， ∴∠ABC＝∠DEF． ②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． （2）设两个角分别为x和2x﹣30°， 由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°， 解得x＝30°或x＝70°， ∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°． 二十九．平移的性质（共2小题） 47．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， 因为AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC； 又因为AB+BC+AC＝8， 所以，四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10． 故选：C． 48．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　30　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的， 故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30． 故答案为：30． 三十．坐标与图形变化-平移（共1小题） 49．已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的． （1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值； （2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标； （3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围． 【答案】PQ＞1． 【解答】解： （1）1﹣a＝﹣3，a＝4． （2）由a＝4得：2a﹣12＝2×4﹣12＝﹣4，又点Q（x，y）位于第二象限，所以y＞0； 取y＝1，得点Q的坐标为（﹣4，1）． （3）因为点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限， 所以， 解得：1＜a＜6． 因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝2或3或4或5； 当a＝2时，1﹣a＝﹣1，所以PQ＞1； 当a＝3时，1﹣a＝﹣2，所以PQ＞2； 当a＝4时，1﹣a＝﹣3，所以PQ＞3； 当a＝5时，1﹣a＝﹣4，所以PQ＞4． 综上，PQ＞1． 解法二：PQ＝y﹣（1﹣a）＝y+a﹣1≥y+1， ∵y＞0， ∴PQ＞1． 三十一．旋转的性质（共2小题） 50．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3， ∴S△A1BA＝×6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故答案为：9． 51．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC＝， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 三十二．中心对称（共1小题） 52．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 【答案】A 【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴A（4，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝x﹣1， 令x＝0，则y＝﹣1， ∴P（0，﹣1）， 又∵点A与点A'关于点P成中心对称， ∴点P为AA'的中点， 设A'（m，n），则＝0，＝﹣1， ∴m＝﹣4，n＝﹣5， ∴A'（﹣4，﹣5）， 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$