1.4特殊平行四边形与平面直角坐标系综合问题（三大难点培优压轴练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.4特殊平行四边形与平面直角坐标系综合问题（三大难点培优压轴练） 题型一、菱形与平面直角坐标系综合问题 1．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形是菱形，其中，两点的坐标为，，点在轴上，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，菱形的边在轴上，点的坐标为．分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．连接，交于点．则点的坐标为 ． 3．（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东聊城·三模）如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则菱形的面积为（   ）    A． B． C．10 D．8 题型二、矩形与平面直角坐标系综合问题 6．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南南阳·二模）如图1，已知矩形的两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图2所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为（   ） A．5 B．7 C．14 D．16 8．（2024·河南新乡·三模）如图1，在矩形中，E是的中点，动点P从点E出发，沿直线运动到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的对角线AC的长是（    ） A． B．4 C． D．8 9．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点P在边上运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 10．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，，，动点在对角线上运动（点不与、重合），设的长度为，的面积为，的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出，与的函数关系式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出，的函数图象； (2)结合函数的图象，写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，的取值范围． 题型三、正方形与平面直角坐标系综合问题 11．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，已知正方形的顶点，点、点分别在第一、二象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·河南郑州·三模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，平分，交于点，交于点，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 13．（2024·河南新乡·二模）如图，正方形的顶点，分别在轴、轴上，点在直线上，直线分别交轴、轴于点，．将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．（2024·广东清远·三模）如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）综合与运用： 已知，如图1，在平面直角坐标系中，点，且满足等式，以线段为对角线画正方形．    (1)求直线的函数解析式； (2)求点的坐标； (3)如图2所示，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，点的对应点分别为点，点是直线上一动点，设点的横坐标为，点，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的的值及对应的的值． 1．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 2．（2024·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，，对角线，交于点，将点绕点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知四边形为平行四边形，，．如图①，若，动点P以的速度从点B出发沿线段运动到点C，同时动点Q以的速度从点B出发，沿路线运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则的值是（　　）    A． B．1 C．2 D． 4．（2024·河南驻马店·二模）如图1 所示，在矩形中，点P 为边上一动点，过点 D 作，垂足为Q．设，动点P从B向C移动时y与x的函数关系如图2所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·甘肃平凉·二模）如图，在矩形中，，，连接，动点从点出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则图中（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东临沂·二模）如图1，点P，Q分别从正方形的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．图2是点P，Q运动时，的面积y随时间x变化的图象，下列结论：①当时，的面积为4；②当与时，的面积相等；③当时，P，B，Q三点无法构成三角形；④正方形的边长是4．其中说法正确的有（    ） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①③④ 7．（2024·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．    8．（2024·重庆渝中·二模）如图，在矩形中 ，和交于点O，，点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→C→A 方向运动，到达A点停止运动，设运动时间为t 秒，的面积为y．    (1)请直接写出y 关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y的一条性质；    (3)结合函数图象，写出时，自变量t的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）． 9．（23-24九年级上·河南开封·期中）如图1，动点P从点B出发，以的速度按的路径移动到点A停止，相对应的的面积与时间的函数图象如图2所示．已知，请仔细观察图象并解答以下问题：    (1)的长度是__________ ； (2)求出图2中a、b的值； (3)求当P在线段上运动时，的面积S与t的函数关系式，并确定此时自变量的取值范围． 10．（2024·重庆·三模）如图，长方形边长，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，两动点同时出发，两点相遇时同时停止运动，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象及知识，直接写出面积的为时的值． 11．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点是边边上一动点，连结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、的对应点分别为点、，边与边的交点为点． (1)当坐标为时，求点坐标和直线的解析式； (2)过作交于，若，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知直线：与直线：相交于点，，分别交轴于点、，矩形顶点、分别在直线，，顶点、都在轴上，且点与点重合． (1)求点的坐标和的度数； (2)求矩形的边与的长； (3)若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为（）秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围． 13．（23-24九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)连接，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4特殊平行四边形与平面直角坐标系综合问题（三大难点培优压轴练） 题型一、菱形与平面直角坐标系综合问题 1．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形是菱形，其中，两点的坐标为，，点在轴上，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，勾股定理，利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出C点坐标． 【详解】解∵菱形的顶点，两点的坐标为，，点D在y轴上， ， 即轴，， 在中，由勾股定理得：， ∴点C的坐标是：， 故选：A． 2．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，菱形的边在轴上，点的坐标为．分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．连接，交于点．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式求解，菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 如图，过点作轴于点，设．利用勾股定理求出，再求出解析式，即可得结论． 【详解】解：如图，过点作轴于点，设交轴于． ， ， 在中，则有， ， ， ， 垂直平分， ， ， 设解析式为， 则， 解得：， 故解析式为， 将代入可得：， ， 故答案为：． 3．（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，过点B作轴于点E，证得是等边三角形，得到，由O是对角线的中点，得到，根据，得到，勾股定理求出，得到，根据旋转的规律得第100秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是，旋转了12周半，此时点D到达了点B的初始位置，即可得到点D的对应点的坐标是． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于点E，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵O是对角线的中点， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形绕点O旋转，每秒旋转， ∴第100秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是， ∴旋转了12周半，此时点D到达了点B的初始位置， ∴点D的对应点的坐标是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 4．（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键． 根据题意得到点与点重合，在菱形中算出点坐标，即可解答． 【详解】 解：作于，则， 四边形是菱形，， 点的坐标为， 若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，则菱形绕点连续旋转次，旋转次为一周，旋转次为（周）， 绕点连续旋转次得到菱形与菱形重合， 点与重合， 点的坐标为， 故选：D． 5．（2024·山东聊城·三模）如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则菱形的面积为（   ）    A． B． C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，动点问题的函数图象，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质以及勾股定理． 连接交于点，连接，由当时，的值恒等于1，推出点的运动路径是的中位线，则可得到，再由当时，，求出，由菱形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：连接交于点，连接，如图，    由题意知，当时，的值恒等于1， ∴． ∴点的运动路径是的中位线，且． ∵当时，， ∴． 由菱形的性质可得， ， ， ， ， 故选：A． 题型二、矩形与平面直角坐标系综合问题 6．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故选：D． 7．（2024·河南南阳·二模）如图1，已知矩形的两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图2所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为（   ） A．5 B．7 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题动点问题的函数图象．根据题意可得出，；由矩形的性质可知和是等腰三角形，且当当运动到中点时，取最小值，当运动到中点时，取最小值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，当时，点与点重合，此时， ， 当时，点与点重合， ， 当运动到中点时，取最小值，此时； 当运动到中点时，取最小值，此时； ， 故选：B． 8．（2024·河南新乡·三模）如图1，在矩形中，E是的中点，动点P从点E出发，沿直线运动到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的对角线AC的长是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题的关键是根据函数的图象求出有关的线段的长度． 根据图中信息得出，可得出当时，点P在线段的垂直平分线上运动，作的垂直平分线，交边于点F，连接，根据题意可得，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由图2得，当时，，即 当时，点P在线段的垂直平分线上运动 如图，作的垂直平分线，交边于点F，连接 由题意可知，动点P沿运动到点F后，再沿运动到顶点C ，， ， 故选C． 9．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点P在边上运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】3或或 【分析】本题主要考查对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握．分三种情况：当时，P在的垂直平分线上；当时；当时，分别求出即可． 【详解】解：四边形是矩形，点， ， 当时，P在的垂直平分线上， 在的垂直平分线上， ； 当时，由勾股定理得： ； 当时，由勾股定理得： ， ； 故答案为：3或或． 10．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，，，动点在对角线上运动（点不与、重合），设的长度为，的面积为，的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出，与的函数关系式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出，的函数图象； (2)结合函数的图象，写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)；；图象见解析 (2)当时，随的增大而增大 (3) 【分析】（1）如图1，作于，于，由勾股定理得，，由，可求，同理，则，；，；然后作函数图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）由题意知，时，，可求，当时，的取值范围为直线的图象在直线图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】（1）解：如图1，作于，于， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， 同理， ∴，即； ，即； 作图象如下； （2）解：由图象可知，当时，随的增大而增大； （3）解：由题意知，时，， 解得，， ∴当时，的取值范围为直线的图象在直线图象上方部分所对应的的取值范围， 由图象可得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式是解题的关键． 题型三、正方形与平面直角坐标系综合问题 11．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，已知正方形的顶点，点、点分别在第一、二象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、坐标与图形，作轴于，轴于，于，则四边形为矩形，，证明，得出，，求出，的长即可得解． 【详解】解：如图，作轴于，轴于，于， ， 则，， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 12．（2024·河南郑州·三模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，平分，交于点，交于点，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，过点作于，由勾股定理得，由角平分线的性质得，设，利用三角形面积可得，得到，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立函数式即可由所得方程组得到点的坐标，利用待定系数法求出直线和直线的解析式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，    ∵点，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得， ∴点的坐标为， 故选：． 13．（2024·河南新乡·二模）如图，正方形的顶点，分别在轴、轴上，点在直线上，直线分别交轴、轴于点，．将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，证明，即可得到的长，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线的解析式，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点， 则， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 将正方形沿y轴向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上， 设平移后点， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 14．（2024·广东清远·三模）如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴经过8次旋转后图形回到原位置． ∵， ∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置， 过点D作轴于点E． 由题意可得，是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点D的坐标为． 故选D． 15．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）综合与运用： 已知，如图1，在平面直角坐标系中，点，且满足等式，以线段为对角线画正方形．    (1)求直线的函数解析式； (2)求点的坐标； (3)如图2所示，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，点的对应点分别为点，点是直线上一动点，设点的横坐标为，点，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的的值及对应的的值． 【答案】(1) (2) (3)；； 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a、b的值，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点C作轴于点E，过点A作于点D，设点C的横坐标为m，则，，，证明，得出，，根据，求出，即可得出答案； （3）先求出，点F的坐标为；点，，分三种情况：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边，点F平移得到点Q，点D平移得到点P时，当为平行四边形的边，点F平移得到点P，点D平移得到点Q时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点C作轴于点E，过点A作于点D，如图所示：    则， 设点C的横坐标为m，则， ∵ ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：过点D作轴于点M，过点F作轴于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的边长为，， ∵将正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴点D在上， 设点D的坐标为， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点F的坐标为； ∵点是直线上一动点，设点的横坐标为，点， ∴， 当为平行四边形的对角线时，， 解得：； 当为平行四边形的边，点F平移得到点Q，点D平移得到点P时，， 解得：； 当为平行四边形的边，点F平移得到点P，点D平移得到点Q时，， 解得：； 综上分析可知：；；． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，坐标于图形，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，正方形的性质，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 1．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点D，过作轴于点，过点C作轴于点E，利用勾股定理，菱形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定个性质，进行求解即可． 【详解】如图所示，将菱形绕原点O逆时针旋转，过点B作轴于点D，过作轴于点，过点C作轴于点E，    ∵点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ，， ∴，   ∵在第二象限， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标特点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 2．（2024·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，，对角线，交于点，将点绕点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过判作轴于，过作于，由菱形的性质推出，平分，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出，得到，求出，由，推出，，即可得到的坐标． 【详解】解：过P作轴于，过作于，   四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标为， ， ， 由旋转的性质得到：，， ， ， ，， ， ，， 的坐标是， 故选：C 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质求出、长，由，得到，． 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知四边形为平行四边形，，．如图①，若，动点P以的速度从点B出发沿线段运动到点C，同时动点Q以的速度从点B出发，沿路线运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则的值是（　　）    A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】当点Q运动到点D处时，如图，作，求解，，可得此时，可得，当点P运动到点C处时，点Q在上，如图，可得，可得，作的延长线于M，可得此时，，从而可得答案． 【详解】解：当点Q运动到点D处时，如图，作，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴此时， ∴， 当点P运动到点C处时，点Q在上，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 作的延长线于M， ∵， ∴， ∴， ∴此时， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 4．（2024·河南驻马店·二模）如图1 所示，在矩形中，点P 为边上一动点，过点 D 作，垂足为Q．设，动点P从B向C移动时y与x的函数关系如图2所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，根据题意和图象可求出，由勾股定理可求出，运用等积法可求出，从而可求出的值 【详解】解：由图象知，起点坐标为，终点坐标为 由图1可知． 由图2可知    在中，由勾股定理可知． 即． 由矩形性质可知 由等积法可知∶面积 即 故选 ：D． 5．（2024·甘肃平凉·二模）如图，在矩形中，，，连接，动点从点出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则图中（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，代数式求值，根据点运动到点时的面积可求出的值，再根据点运动到点时的路程，可得到的值，进而得到的值，代入代数式计算即可求解，读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 当点在运动且到达点时， ， ∴， 当点运动到点时，点的运动路程为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（2024·山东临沂·二模）如图1，点P，Q分别从正方形的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．图2是点P，Q运动时，的面积y随时间x变化的图象，下列结论：①当时，的面积为4；②当与时，的面积相等；③当时，P，B，Q三点无法构成三角形；④正方形的边长是4．其中说法正确的有（    ） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2当时，P运动到中点，Q运动到C点，根据三角形的面积求出正方形的边长．再解答问题即可 【详解】解：设点P运动的速度为m，则点Q的速度为， 由图2可知，当时，的面积为4，则： ∴， ∴当时， ∵点Q的速度是点P速度的2倍， ∴， ∴当时，点Q运动至C点， ∴正方形边长为4，故①④正确， 当时，点P运动到B点，P，B，Q三点无法构成三角形；故③正确， 当时， ∴； 当时，如图， ∴ ∴当与时，的面积不相等，故②错误， 所以，正确的结论是①③④， 故选：D 7．（2024·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，则四边形是矩形，得到，勾股定理得到，则，得到，在中，由勾股定理得到，求出，则，即可得到点B的坐标． 【详解】解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，    ∵点A的坐标是 ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵顶点B在第一象限的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（不合题意舍去） ∴， ∴， ∴点 B的坐标为， 故答案为： 8．（2024·重庆渝中·二模）如图，在矩形中 ，和交于点O，，点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→C→A 方向运动，到达A点停止运动，设运动时间为t 秒，的面积为y．    (1)请直接写出y 关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y的一条性质；    (3)结合函数图象，写出时，自变量t的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小 (3)自变量 t 的取值范围为 【分析】本题考查矩形的性质、一次函数的图象与性质： （1）分、两种情况，根据矩形性质和和三角形的面积公式求解即； （2）根据（1）中表达式画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）先求得时对应的自变量值，结合图象求解即可． 理解动点问题是解答的关键． 【详解】（1）四边形是矩形，且，， ，， 在中，，， ， 当时， ， 当时， 如图：过点作于，   ， ，即：， 解得：， ， 综上所述：． （2）如图所示：    当 时，y随t的增大而增大； 当 时，y随t的增大而减小． （3）由图得： 当时， ，即：， ，即：， 时，自变量t的取值范围． 9．（23-24九年级上·河南开封·期中）如图1，动点P从点B出发，以的速度按的路径移动到点A停止，相对应的的面积与时间的函数图象如图2所示．已知，请仔细观察图象并解答以下问题：    (1)的长度是__________ ； (2)求出图2中a、b的值； (3)求当P在线段上运动时，的面积S与t的函数关系式，并确定此时自变量的取值范围． 【答案】(1)8 (2)的值为，b的值为 (3) 【分析】（1）根据动点以每秒的速度，从到用的时间为，可以求得的长度； （2）根据三角形的面积等于底乘以高除以2，可以得到的值；根据题意和图形可以得到、、、、的长，从而可以得到的值； （3）设出点在上运动时与的函数关系式为，把，代入即可得到结论． 本题是三角形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，动点问题的函数图象，解决问题的关键是深刻理解动点的函数图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从函数图象中获取相关的信息进行计算． 【详解】（1）解：由图象可得， 点从点到点运动的时间是，运动的速度是每秒， 故的长度是：， 即长是； 故答案为：8； （2）解：，， ，， ， ， 即图1中的值为； 由题意可得， ， 即的值是； （3）解：设出点在上运动时与的函数关系式为， 把，代入得， ， 出点在上运动时与的函数关系式为． 10．（2024·重庆·三模）如图，长方形边长，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，两动点同时出发，两点相遇时同时停止运动，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象及知识，直接写出面积的为时的值． 【答案】(1) (2)图像见解析；性质：当时，函数取得最大值12（合理即可） (3) 【分析】本题考查函数解析式的求法，函数图象的作法及运用，考查运算求解能力，属于基础题． （1）分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式直接作图，根据图象可写出一条性质； （3）根据函数图象可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 当时，点，分别在边上， 此时； 当时，点，在边上， 此时； 综上，； （2）解：图象如下所示， 性质：当时，函数取得最大值12； （3）解：当时，时，，解得， 当时，时， ，解得， 由图象可知，当时，． 11．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点是边边上一动点，连结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、的对应点分别为点、，边与边的交点为点． (1)当坐标为时，求点坐标和直线的解析式； (2)过作交于，若，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】(1)，直线为： (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键． （1）设，先求出，再根据勾股定理求出点的坐标，由点的坐标可求出直线的解析式； （2）由折叠的性质得出，利用勾股定理得出 【详解】（1）解：设， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ∴， ， 设直线为：，则 ， 解得：， 直线为：． （2）解：，， 由对称性可知：，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 当与重叠时，与重合，此时， ∴． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知直线：与直线：相交于点，，分别交轴于点、，矩形顶点、分别在直线，，顶点、都在轴上，且点与点重合． (1)求点的坐标和的度数； (2)求矩形的边与的长； (3)若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为（）秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围． 【答案】(1)F点坐标：，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，求函数解析式， （1）由于直线：与直线：相交于点，因而联立两解析式组成方程组求得解即为点的坐标．过点作直线垂直轴交轴于，通过坐标值间的关系证得，从而得到是等腰直角三角形，； （2）首先求得（或）点的坐标、再依次求得点、、的坐标．并进而得到与的长； （3）首先将动点、用时间来表示．①在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为；②在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为；③在运动到秒，若边与相交设交点为，与不相交．三种情况讨论解得关于的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得， 解得，， 点坐标：； 过点作直线垂直轴于，，是等腰直角三角形，； （2）由图可知点的坐标为，则点的横坐标为， 点在直线上， 点的坐标为， 由图可知点与点的纵坐标相同，且点在直线上， 点的坐标为， 由图可知点与点的横坐标相同，且点在轴上， 点的坐标为， ，； （3）点是与轴的交点； 点的坐标为， ， 若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移， 当秒时，移动的距离是，则点的坐标为，点的坐标为； ①在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为，那么，即时，点的坐标为，点的坐标为， ， ②在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为，那么且，即时， 点的坐标为，点的坐标为， ， ③在运动到秒，若边与相交设交点为，与不相交，那么且，即时． 点的坐标为， ， 综上所述关于的函数关系式 13．（23-24九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)连接，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】()首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形； ()过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标； ()分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论：当四边形 是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；当 四边形是菱形，，在直角边上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标； 本题考查了一次函数的几何应用，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确根据菱形的性质求得的坐标是解题的关键. 【详解】（1）证明：如图， ∵正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴, 把代入得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：当四边形是菱形时，如图， ∵的纵坐标是，把代入得，， 解得， ∴的坐标是， ∴点的坐标为； 当四边形是菱形时，如图， ∵，设的横坐标是，则纵坐标是， 则， 解得或(舍去)， ∴， ∴的坐标是， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$