1.1菱形的性质与判定（分层练习，11大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.1菱形的性质与判定（十一大题型提分练） 题型一、根据菱形的性质求角 1．（2024·江苏徐州·二模）在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为 ． 4．（22-23八年级下·天津·期末）如图，同一平面内三条不同的直线，，，，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若四边形为菱形，求出的大小． 题型二、根据菱形的性质求线段的长 5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 6．（2024·山东菏泽·二模）如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为(　　) A．4 B． C． D． 7．（2024·福建厦门·三模）如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则 ． 8．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在菱形中，点M，N分别在边，上，连接，，延长交线段的延长线于点E，，若，求的长． 题型三、根据菱形的性质求面积 9．（2024·河北沧州·三模）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点O是菱形的对称中心，连接，，为过点O的一条直线，点E、F分别在上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，E，F分别是边上的中点，连接．若，则菱形的面积为 ． 12．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若的面积为6，则菱形的面积为______． 题型四、菱形有关性质的计算与证明 13．（2024·浙江金华·二模）如图，已知四边形是菱形，延长至点E，使． (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 14．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在菱形中，E、F是对角线AC上的两点，连接、，请你添加一个条件，使．（不再添加辅助线和字母） (1)你添加的条件是______； (2)添加条件后，请证明． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且． (1)求证：； (2)若，试求出线段的长，并说明理由． 题型五、添加条件使四边形是菱形 16．（2024·河北沧州·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·吉林白山·一模）如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母） 18．（2024·浙江杭州·二模）如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 题型六、菱形的证明 19．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形的对角线相交于点，，两点分别为，的中点，连接，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 20．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在四边形中，已知对角线，点E，F，G，H分别为，边上的中点，连接．求证：四边形为菱形． 21．（23-24九年级下·吉林长春·期中）将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 22．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接．    (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形． 题型七 、菱形与尺规作图 23．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型八、利用菱形的定求角度 24．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰中，， ，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． (1)求证：． (2)四边形是什么形状的四边形？并说明理由． (3)直接写出：当分别是多少度时，①；②． 题型九、利用菱形的判定求线段长 25．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形是矩形，连接． (1)如图①，的平分线交于点E，交的延长线于点F，的平分线交于点H，交的延长线于点G，连接．求证四边形为菱形． (2)在（1）的条件下，如图②，连接交于点P，交于点O，若，求的值． 26．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在四边形中，，点在边上，连接，若，平分．    (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若，，请直接写出线段的长______． 题型十、利用菱形的判定求面积 27．（23-24九年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，，，是的中点，分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，． (1)请根据以上尺规作图的过程，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (2)求四边形的面积． 28．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，已知在和中，，，与交于点M， 交的延长线于点E，交的延长线于点F，、交于点N． (1)说明四边形的形状； (2)若，，求四边形的面积． 题型十一、菱形的综合问题 29．（2024·江西九江·二模）课本再现 如图1，四边形是菱形，，． （1）求的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，若的面积为6，求的长． 30．（2024·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，点P为菱形的对角线上一点，连接，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，，点E、F分别在线段上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积． 1．（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．6 3．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 (   ) A． B． C． D． 4．（2024·甘肃金昌·三模）已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 5．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段EF，若四边形为菱形时，则a的值为 ． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则 ． 7．（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，过点作交AC于点，若，则的长是 ． 8．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，两个边长为2的等边三角形和拼接成菱形，点分别是边上一动点（不与重合），且满足，则的形状为 ，面积的最小值为 ．    9．（2024·陕西渭南·三模）如图，点为的边上一点，连接并延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，求证：四边形为菱形． 10．（2024·河南郑州·三模）如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. (1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为菱形； (3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 11．（2024·河南信阳·二模）综合与实践课上，某小组对含60°角的菱形进行了探究．在边长为8的菱形中，，作，分别交边于点M，N． (1)【感知】如图1所示，若点M是边的中点，李华经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______； (2)【探究】如图2所示，当点M为上任意一点时，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由； (3)【应用】在边上取一点M，连接，在菱形内部作，交于点N，当时，请直接写出线段的长． ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1菱形的性质与判定（十一大题型提分练） 题型一、根据菱形的性质求角 1．（2024·江苏徐州·二模）在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质．由菱形的性质得，而，即可根据“”证明，得，则，由，，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和线段的垂直平分线的性质，根据菱形的性质求出；再根据垂直平分线的性质得出，利用三角形内角和定理可以求得，从而得到的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ， ∵四边形是菱形， ， ， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ，即， ， ，则， ， 故选：D． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键．由等腰三角形的性质可求，由菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故答案为：45． 4．（22-23八年级下·天津·期末）如图，同一平面内三条不同的直线，，，，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若四边形为菱形，求出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)60° 【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质证出，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由菱形的性质得出为等边三角形，可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 又∵， ， ， ， 平分， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：由知， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 题型二、根据菱形的性质求线段的长 5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理．先求出得出是等边三角形，再求，最后求用勾股定理求即可． 【详解】解：四边形是菱形， 故是等边三角形 是其对角线 是边的中点, ， , 由 ． 故选：D． 6．（2024·山东菏泽·二模）如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为(　　) A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，勾股定理，取的中点，连接，由中位线性质可得，再根据，可得出，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示：取的中点，连接， ， 点是中点， 是的中位线， ，， ，四边形是菱形， ，， ， ， ∴ 故选：C． 7．（2024·福建厦门·三模）如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理；由菱形的性质得，，，所以，则，根据三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， 为的中点，为边的中点， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在菱形中，点M，N分别在边，上，连接，，延长交线段的延长线于点E，，若，求的长． 【答案】3 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定， 首先根据菱形的性质得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型三、根据菱形的性质求面积 9．（2024·河北沧州·三模）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质“所对直角边等于斜边的一半”以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质“菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角”和勾股定理“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键． 由菱形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】如图，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为∶． 故选D． 10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点O是菱形的对称中心，连接，，为过点O的一条直线，点E、F分别在上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 【答案】D 【分析】此题考查了利用菱形的性质求面积，先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积＝四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ， ∵点O是菱形的对称中心， ∴O是与的交点， ∴， ∴， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积＝四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积＝四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，E，F分别是边上的中点，连接．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解；∵E，F分别是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若的面积为6，则菱形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和菱形的性质， （1）利用即可证明三角形全等， （2）连接交于点O，与交于点H，根据三角形中位线定理得到的关系和的关系，设，再根据三角形的面积公式求出，再代入菱形的面积公式即可求解， 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，． 、分别是、的中点， ，． ． ． ． 即． （2）解：连接交于点O，与交于点H，如图所示： 、分别是、的中点 ， ， 设, 解得：， ， 故答案为：16 题型四、菱形有关性质的计算与证明 13．（2024·浙江金华·二模）如图，已知四边形是菱形，延长至点E，使． (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）根据菱形的性质，结合等边对等角得到，，根据三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）连结，交于点O，根据菱形的性质和三角形的中线平分面积推出，即可得出结果． 【详解】（1）菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）连结，交于点O， 菱形， ， ， ， ， ， ． 14．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在菱形中，E、F是对角线AC上的两点，连接、，请你添加一个条件，使．（不再添加辅助线和字母） (1)你添加的条件是______； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记菱形的性质是解本题的关键； （1）根据菱形的性质可得，，再结合全等三角形的判定方法选择添加条件即可； （2）证明，，再结合添加的条件可得结论． 【详解】（1）解：添加的条件是：， 故答案为：； （2）∵菱形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且． (1)求证：； (2)若，试求出线段的长，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)10，理由见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）由（1）可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． 题型五、添加条件使四边形是菱形 16．（2024·河北沧州·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、当时，平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、当时，平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，， ，平行四边形是矩形，故C符合题意； D、四边形是平行四边形，，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意， 故选：C． 17．（2023·吉林白山·一模）如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加条件． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2024·浙江杭州·二模）如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各判定定理并正确应用是解题的关键． （1）利用证明，得出，然后证明，即可得证； （2）由（1）知：四边形是平行四边形，则要证四边形为菱形，只需证明一组邻边相等或对角线互相垂直即可，如添①平分，则可证；如添③，则可证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：选①平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ； 选③， ∵平行四边形， ∴O为中点， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 题型六、菱形的证明 19．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形的对角线相交于点，，两点分别为，的中点，连接，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，，进而利用证明三角形全等解答； （2）根据平行四边形的判定与性质和菱形的判定解答． 此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的性质得出，，解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 点，分别为，的中点， ，， ； 在和中， ， ； （2）解：添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， 是菱形， ， 是菱形， 故答案为：．（答案不唯一）． 20．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在四边形中，已知对角线，点E，F，G，H分别为，边上的中点，连接．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中位线，菱形的判定，熟练掌握中位线，菱形的判定是解题的关键 由中位线可得，，可证四边形为平行四边形，同理可得，由，可得，进而结论得． 【详解】证明：∵E，F分别为边上中点，而H，G分别为边上中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 同理可得． ∵， ∴， ∴为菱形． 21．（23-24九年级下·吉林长春·期中）将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段的最值问题，是解决本题的关键． （1）由题意可得，，，所以四边形时平行四边形，所以，分别过作于，于，则，可以证明，得到，所以是菱形； （2）菱形的面积为，当旋转至如图位置时，取得最大值，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】（1）证明：分别过作于，于，如图1， ， 由题意可得，，，， 四边形是平行四边形， ， 在与中， ， ， ， 是菱形； （2）解：∵是菱形， ， ， 当越大时，菱形的面积越大， 旋转如图位置时，如图2，此时取最大值， 设，则， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 22．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接．    (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，结合，即可得证； （2）根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵直线是线段的垂直平分线， ∴，即，且，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当时，， ∴， ∴四对全等的等腰三角形是：，，，． 题型七 、菱形与尺规作图 23．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-角平分线的作法，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质： （1）根据角平分线的定义结合平行四边形对边平行推出，再根据证明即可； （2）证明四边形是菱形即可得出结果． 【详解】（1）证明：由作图可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）知，且， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型八、利用菱形的定求角度 24．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰中，， ，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． (1)求证：． (2)四边形是什么形状的四边形？并说明理由． (3)直接写出：当分别是多少度时，①；②． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)四边形是菱形．理由见详解； (3)①；②. 【分析】 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，且，，可证四边形是菱形； （3）由菱形的性质可求解． 【详解】（1） 证明：∵将绕点A逆时针旋转， ，，， ， ， ． ，， ， ； （2） 答：四边形是菱形． 理由如下： ∵将绕点A逆时针旋转， ，， ，， ． ∴四边形是菱形； （3） ①时； 如图，当时，延长交于H， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， ； ②时 如图，当， ∵四边形是菱形， ， 又， 与共线， ， ， ． 题型九、利用菱形的判定求线段长 25．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形是矩形，连接． (1)如图①，的平分线交于点E，交的延长线于点F，的平分线交于点H，交的延长线于点G，连接．求证四边形为菱形． (2)在（1）的条件下，如图②，连接交于点P，交于点O，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的性质证，根据等腰三角形的判定证，证得出，根据证，得出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质证明是的中位线，得出，证明四边形是平行四边形，得出，进而得出，最后用勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ，， 平分， ，， ， ； ∵平分， ∴， ， ， ， ， ∵， ， 平分， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； （2）解：点是矩形对角线与的交点， ， ， 是的中位线， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 由（1）知，四边形是菱形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的判断方法是解本题的关键． 26．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在四边形中，，点在边上，连接，若，平分．    (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若，，请直接写出线段的长______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理． （1）根据平行线性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再根据列方程计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）∵，平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴, 解得，． 故答案为：． 题型十、利用菱形的判定求面积 27．（23-24九年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，，，是的中点，分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，． (1)请根据以上尺规作图的过程，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了作图，菱形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）根据直角三角形的斜边中线定理和作图，可证明，即可解答； （2）由（1）知四边形为菱形，得到，根据题意可求出、，进而求出，根据题意得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： ，，是的中点， ， 由圆的性质可知：，， ， 四边形为菱形； （2）由（1）知四边形为菱形， ， ，，， ， ， 在中，是的中点， ， =， 四边形的面积为． 28．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，已知在和中，，，与交于点M， 交的延长线于点E，交的延长线于点F，、交于点N． (1)说明四边形的形状； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形 (2)12 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，可得，可得，可得四边形是菱形． （2）连接，由（1）知四边形是菱形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式进行计算即可． 熟练掌握菱形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴． ∴ ∴． ∴四边形是菱形． （2）连接， 由（1）知四边形是菱形， ∴． ∵， ∴|． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为． 题型十一、菱形的综合问题 29．（2024·江西九江·二模）课本再现 如图1，四边形是菱形，，． （1）求的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，若的面积为6，求的长． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可； （2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可；②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，，． ∴，，，， ∴， ∴； （2）①∵四边形是菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 由旋转可得：，， ∴， 如图，过作于， ∴， 当最小时，最小， ∴当时，最小， 此时， ∴， ∴， ∴点到距离的最小值为； ②∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 30．（2024·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，点P为菱形的对角线上一点，连接，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，，点E、F分别在线段上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积． 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米． 【分析】（1）只需要证明，即可得到； （2）过点F作交BC的延长线于点G，如图2．由平行线的性质得到，证明是等腰直角三角形，得到，．则，再证明，即可证明． （3）连接，过点F作于点P，如图3．由矩形的性质得到，米，则为等腰直角三角形，得到，（米）．证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，得到，即可证明A、H、F三点共线．由菱形的性质得到垂直平分，则．进而可得米，则米，求出米，可得米．再求出米，则（平方米）． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （2），理由如下： 过点F作交BC的延长线于点G，如图2． ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，即． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3）连接，过点F作于点P，如图3． ∵在矩形中，米，米，H为的中点， ∴，米， ∴为等腰直角三角形， ∴，（米）． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 又∵， ∴，即A、H、F三点共线． ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米． 记与的交点为点O，如图3． ∵（米），米， ∴米， ∴（平方米）． 即的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形． 1．（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，过点B作轴于点E，证得是等边三角形，得到，由O是对角线的中点，得到，根据，得到，勾股定理求出，得到，根据旋转的规律得第100秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是，旋转了12周半，此时点D到达了点B的初始位置，即可得到点D的对应点的坐标是． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于点E，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵O是对角线的中点， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形绕点O旋转，每秒旋转， ∴第100秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是， ∴旋转了12周半，此时点D到达了点B的初始位置， ∴点D的对应点的坐标是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】A 【分析】连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，根据题意证明出，得出，得到当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∵点A，点H关于对称， ∴，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 (   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理．由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，． 由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ， ． 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 4．（2024·甘肃金昌·三模）已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移可知，， ∴，， 四边形是平行四边形， ∴． 方案甲，添加不能判断四边形是菱形； 方案乙，由， 平行四边形是菱形； 方案丙，由， ∵， ∴， ∴， ， 平行四边形是菱形． 所以正确的是乙和丙． 故选：B． 5．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段EF，若四边形为菱形时，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质等知识点，理解菱形的性质成为解题的关键 根据平行四边形的性质可得,再根据菱形的性质可得,然后根据平移的定义列式计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵线段水平向右平移个单位长度得到线段EF， ∴． 故答案为2． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出解答． 延长，相交于点，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：延长，相交于点，作于点， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， 设，，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 7．（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，过点作交AC于点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质．连接交于，根据菱形的性质得，，则利用勾股定理开始计算出，利用面积计算长，再根据勾股定理求出，最后根据即可解决问题． 【详解】解：连接交于， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，两个边长为2的等边三角形和拼接成菱形，点分别是边上一动点（不与重合），且满足，则的形状为 ，面积的最小值为 ．    【答案】 等边三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，勾股定理等知识点，解题的关键是知道当的面积取最小值时，点的位置，先证明即可判断，根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小． 【详解】解：证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， 根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小， 此时， 是等边三角形，过点作的垂线交于，   ， ， 故答案为：等边三角形，． 9．（2024·陕西渭南·三模）如图，点为的边上一点，连接并延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，菱形的判定，等腰三角形的性质及判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据的性质证出四边形为平行四边形，利用角的等量代换得到后，即可得到，从而证出四边形为菱形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ，，， 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 10．（2024·河南郑州·三模）如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. (1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为菱形； (3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）利用作一个角等于已知角作图即可解题； （2）先根据平行四边形的性质得到，再结合作图得到四边形为平行四边形，然后证明即可得到结论； （3）连接，先利用勾股定理求出长，再证明是平行四边形，求出长，利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）证明：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，点为的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （3）连接， 设， ∵平行四边形的周长为18， ∴，即， ∵，即， 解得， 又∵四边形为菱形， ∴，， 又∵， ∴是平行四边形， ∴， ∴． 11．（2024·河南信阳·二模）综合与实践课上，某小组对含60°角的菱形进行了探究．在边长为8的菱形中，，作，分别交边于点M，N． (1)【感知】如图1所示，若点M是边的中点，李华经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______； (2)【探究】如图2所示，当点M为上任意一点时，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由； (3)【应用】在边上取一点M，连接，在菱形内部作，交于点N，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)仍然成立．理由见解析 (3)3或5 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点M在点E的左侧和点M在点E的右侧两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：线段与之间的数量关系：． 如图所示，连接． ∵四边形是菱形，且， ∴，． ∴和都是等边三角形． ∴，． ∵点M是边的中点， ∴，． 同理． 在和中， ∴． ∴． （2）解：仍然成立． 理由：如图所示，连接 ∵四边形是菱形，且， ∴，． ∴和都是等边三角形． ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． （3）解：如图所示，过点A作于E，连接． ∵四边形是菱形，且，， ∴． ∴是等边三角形． ∴ ∴ ∴． 在中，，， ∴． 当点M在点E的左侧时，； 如图所示，当点M在点E的右侧时，同理可得． 综上，线段的长为3或5． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角． ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$