精品解析：四川省达州市万源中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

四川省达州市万源中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式结合特殊角的正弦值即可求解. 【详解】解：. 故选：C. 3. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监督局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽检54家，则粮食加工品店需要被抽检（ ） A. 40家 B. 45家 C. 50家 D. 55家 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合分层抽样的定义和计算方法，即可求解. 【详解】根据分层随机抽样定义和计算方法，可得粮食加工品店被抽检家. 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D，再根据f(1)排除C得解. 【详解】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D. 由题得，所以排除选项C. 故选A 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果. 【详解】因为，由正弦定理，得到，所以， 又因为，故，. 故选：B. 6. 在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设,且，结合向量数乘、加法的几何意义可得，再由已知条件即可得的值. 详解】由题意，，且， 而， 所以， 即， 由已知，则，选项D正确. 故选：D 7. 已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据是奇函数可求得，利用诱导公式得，即可得出结果. 【详解】因为是奇函数，所以，即， 因为，所以，所以， 因为， 所以可把函数的图象向右平移个单位长度. 故选：D. 8. 若函数满足，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到关于点对称，得到，且，再结合三角函数的性质，求得，即可求解. 【详解】因为函数满足， 可得函数关于点对称，所以，且， 所以，则， 又，当时，，所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的 C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据统计图表给出信息逐个选项判断. 【详解】对于A：由第一个图可得54周岁及以上的参保人数最少，占比为， 其余年龄段的参保人数均比周岁人群参保人数多. 由第二个图可得， 因为，所以周岁人群参保总费用最少，故A对. 对于B：由第一个图可得，30周岁以上的参保人群约占参保总人群的，故B错. 对于C：由第一个图可得，54周岁及以上的参保人数占参保总人数的，所以C对. 对于D：由第三个图可得，丁险种参保人群约占参保总人群的，所以最受青睐，所以D对. 故选：ACD. 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则虚部为1 C. （）且，则 D. 若，则的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的定义，以及复数的运算，以及复数的几何意义，分别判断选项. 【详解】A.若，则实数，故A错误； B.若，则的虚部为1，故B正确； C.，则，故C错误； D.若，则其复数对应的向量的终点在以原点为圆心的单位圆上，的几何意义表示，单位圆上的点与定点的距离，很显然，点与的距离最大，最大值是2，故D正确. 故选：BD 11. 中，内角，， 的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为锐角三角形，则的面积的取值范围 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用正弦定理将边化角，再由面积公式、三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，则，， 则，则，即， 由正弦定理可知，故C错误； 对于D，由正弦定理可知， 所以，， 所以 ， 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是______. 【答案】##30° 【解析】 【分析】由结合余弦定理，可求，进而可求B. 【详解】因为，所以， 由余弦定理的推论，得 因为，所以． 故答案为：． 13. 已知单位向量的夹角为.与垂直，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，即可求得的值． 【详解】单位向量的夹角为， ， 与垂直， 则实数， 故答案为： 14. 为获得天一中学高一学生的身高（单位：cm）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的均值为_________cm，方差为_________. 【答案】 ①. 171 ②. 275 【解析】 【分析】结合平均值和方差公式，即可求解． 【详解】记男生样本为，，，，均值为，方差为，女生样本为，，，，均值为，方差为， 容量为50的样本均值为，方差为 则 所以 则 则总样本的均值为cm，方差为. 故答案为：；. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解； （2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 则， 因为是关于的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 16. 已知向量，，设，． （1）化简函数的解析式并求其单调递增区间； （2）当时，求函数的最大值及最小值． 【答案】（1），单调递增区间为 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算、二倍角和辅助角公式可化简得到；利用整体代换法可构造不等式求得单调递增区间； （2）由范围可求得的范围，结合正弦函数性质可求得最值. 【小问1详解】 ； 令，解得：， 的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 当，即时，； 当，即时，. 17. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）若的面积为，求内角的角平分线AD长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得，利用余弦定理，求得， 进而求得的值； （2）根据，列出方程求得，结合余弦的倍角公式，得到，利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理，得， 整理得，所以， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 解：因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以，， 由于，可得，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号取得到， 所以，可得. 18. 有一种鱼的身体吸收汞，身体中汞的含量超过其体重的(百万分之一)的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.某检测中心从一批这种鱼中随机抽取了50条，检测其汞含量(单位：ppm)，并将所得数据分为6组：，，整理后得到如下频率分布直方图. （1）由频率分布直方图估计样本的分位数（精确到0.01)； （2）由频率分布直方图估计这批鱼汞含量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； （3）从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过.你认为每批这种鱼的平均汞含量都比大吗?并说明理由. 【答案】（1）1.53 （2）1.064 （3）不一定，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出每个区间的频率，然后利用频率和为1列式计算求出，再根据频率预估样本的分位数所在区间设为，列方程求解即可； （2）利用加权平均数公式求解； （3）不一定，根据估计值不能确定准确值来说明解答. 【小问1详解】 依题意，由频率分布直方图可知这批鱼汞含量在区间，的频率分别为， 所以，解得，则. 因为， 样本的分位数在区间内，设为，则，解得. 所以样本分位数约为1.53； 【小问2详解】 结合（1）中结论，可得这批鱼汞含量的平均值为； 【小问3详解】 不一定， 因为我们不知道其他各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同，即使其他各批鱼的汞含量分布与这批鱼相同， 上面所得的平均数也只能为这个分布作出估计，不能保证每批鱼的平均汞含量都大于1.00ppm. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量， （2）记向量的伴随函数为，函数， ①函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域． ②把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，对于，是否总存在唯一的实数，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用和差角公式化简，即可根据伴随向量的定义求解， （2）①根据伴随函数得，进而得，即可利用整体法求解， ，即可得，；由余弦函数的性质即可求解，②根据平移可得，利用整体法求解，即可列不等式求解. 【小问1详解】 ， 故． 【小问2详解】 由题意，得，故， ①∵，∴， 在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以，， 此时，； ∵，∴，∴， 即可得函数的值域为. ②将函数的图象向右平移个单位得到. 由，得， 由得，，， 又，得， 又在上单调递减，在上单调递增，，，，所以， 由的唯一性可得即. 依题意可得，所以，解得， 所以当时，使成立. 【点睛】方法点睛：求解参数的范围的常用方法： 1、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 2、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省达州市万源中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （ ） A. B. 1 C. D. 2. 的值为（ ） A B. C. D. 3. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监督局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽检54家，则粮食加工品店需要被抽检（ ） A 40家 B. 45家 C. 50家 D. 55家 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 6. 在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 若函数满足，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的 C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则的虚部为1 C. （）且，则 D. 若，则的最大值为2 11. 中，内角，， 的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为锐角三角形，则的面积的取值范围 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是______. 13. 已知单位向量的夹角为.与垂直，则___________. 14. 为获得天一中学高一学生的身高（单位：cm）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的均值为_________cm，方差为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 16. 已知向量，，设，． （1）化简函数的解析式并求其单调递增区间； （2）当时，求函数的最大值及最小值． 17. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）若的面积为，求内角的角平分线AD长的最大值. 18. 有一种鱼的身体吸收汞，身体中汞的含量超过其体重的(百万分之一)的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.某检测中心从一批这种鱼中随机抽取了50条，检测其汞含量(单位：ppm)，并将所得数据分为6组：，，整理后得到如下频率分布直方图. （1）由频率分布直方图估计样本分位数（精确到0.01)； （2）由频率分布直方图估计这批鱼汞含量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； （3）从实际情况看，许多鱼汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过.你认为每批这种鱼的平均汞含量都比大吗?并说明理由. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量， （2）记向量的伴随函数为，函数， ①函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域． ②把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，对于，是否总存在唯一的实数，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$