21.1 一元二次方程-2024-2025学年九年级数学上学期考点考向及考法同步教学+复习讲义（人教版）

21.1 一元二次方程（原卷版） 第一部分 夯实双基 知识点一 一元二次方程的定义 考向1 利用一元二次方程的定义识别一元二次方程 【典例1】（2023秋•射洪县期中）下列方程：（x+1）（x﹣2）＝3，x2+y+4＝0，（x﹣1）2﹣x（x+1）＝x，x0，2x＝4，（x2+3），其中是一元二次方程的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式训练 1．（2023秋•驿城区期中）如果关于x的方程（m﹣3）x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 知识点二 一元二次方程的一般形式 考向2 利用方程的变形化一元二次方程为一般形式 【典例2】把下列一元二次方程转化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． （1）（x+1）（x﹣2）＝4； （2）2（x﹣3）（x+4）＝x2﹣10； （3）（2x+1）（x﹣2）＝5﹣3x． 变式训练 1．将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　） A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2 2．一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝3x﹣4化为一般形式后，其二次项、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，﹣x，1 B．1，x，﹣1 C．x2，﹣1，1 D．x2，1，﹣1 知识点3 一元二次方程的解（根） 考向3 利用一元二次方程根的定义判断方程的根 【典例3】判断x＝2，x＝3是不是一元二次方程x2﹣x＝6的根． 变式训练 1．（2023秋•武汉期末）在数﹣1、﹣2、﹣3和﹣4中，是方程x2+x﹣2＝0的根的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2023春•江北区期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的一个根是2，则k的值为 　 ． 3．（2023春•庐阳区期末）若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 题型1 利用一元二次方程根的定义求方程中字母的值 【典例4】（2023秋•平定县月考）已知x＝2是方程x2﹣2a＝0的一个解，则一次函数y＝ax﹣1的图象不经过第 　 象限． 题型2 利用一元二次方程根的定义求代数式的值 【典例5】已知a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，试求a2﹣2023a的值． 题型2 利用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 【典例6】已知a2+3a+1＝0，b2+3b+1＝0（a≠b），请构造一个以a，b为根的一元二次方程（以x为未知数），并求x2+3x+2的值． 易错点： 忽视一元二次方程二次项系数不为零 【典例7】（2022春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2+m﹣6＝0的一个根为0，则m的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．﹣2或3 D．2或﹣3 第3部分 备战训练场 一、备考策略 考法1 利用方程解的定义求式子的值 【典例8】（2023秋•兴化市月考）若n（n≠0）是关于x的方程x2﹣mx+2n＝0的根，则m﹣n的值为 　 　． 考法2 利用整体思想及方程解的定义求解 【典例9】我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3 考法3 利用建立一元二次方程的模型解决实际应用问题 【典例10】（2023秋•儋州期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．32x+2×20x＝32×20﹣570 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 17．（2022秋•郸城县期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　） A．0 B．±1 C．﹣1 D．4 18．（2023•石家庄模拟）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．﹣6 二、备考演练 1．（2023秋•甘南县月考）已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2 2．（2023•巴中模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣5n+m）＝10，则a的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9 3．（2022秋•遵义月考）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四个角减去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600 C．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 D．（40﹣2x）（30﹣2x）＝600 4．已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根分别为x1＝2，x2＝4，那么一元二次方程（2﹣y）2﹣6（2﹣y）+8＝0的解为 　 　． 5．（2023•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　 　． 6．已知关于x的方程（m+1）（m﹣2）•x﹣1＝0． （1）当m取何值时，它是一元一次方程？求出此方程的根． （2）当m取何值时，它是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 7．若x2a+b﹣3xa﹣b+1＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．下面是两位学生的解法： 甲：根据题意，得，解得． 乙：根据题意，得或，解得或． 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 一元二次方程（解析版） 第一部分 夯实双基 知识点一 一元二次方程的定义 考向1 利用一元二次方程的定义识别一元二次方程 【典例1】（2023秋•射洪县期中）下列方程：（x+1）（x﹣2）＝3，x2+y+4＝0，（x﹣1）2﹣x（x+1）＝x，x0，2x＝4，（x2+3），其中是一元二次方程的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路引领】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝3，（x2+3）是一元二次方程，共2个， 故选：A． 【总结提升】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 变式训练 1．（2023秋•驿城区期中）如果关于x的方程（m﹣3）x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 【思路引领】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x+3＝0是关于x的一元二次方程， ∴， 即 解得m＝﹣3， 故选：C． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 知识点二 一元二次方程的一般形式 考向2 利用方程的变形化一元二次方程为一般形式 【典例2】把下列一元二次方程转化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． （1）（x+1）（x﹣2）＝4； （2）2（x﹣3）（x+4）＝x2﹣10； （3）（2x+1）（x﹣2）＝5﹣3x． 【思路引领】（1）先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可； （2）先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可； （3）先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可． 【解答】解：（1）（x+1）（x﹣2）＝4； x2﹣x﹣6＝0， 二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣6； （2）2（x﹣3）（x+4）＝x2﹣10， 2（x2+x﹣12）＝x2﹣10， 2x2+2x﹣24＝x2﹣10， x2+2x﹣14＝0， 二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为﹣14； （3）（2x+1）（x﹣2）＝5﹣3x， 2x2﹣3x﹣2＝5﹣3x， 2x2﹣7＝0， 二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为﹣7． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：说系数带着前面的符号． 变式训练 1．将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　） A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2 【思路引领】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案． 【解答】解：将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）3x2+4x﹣2＝0后，一次项是4x，常数项是﹣2， 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 2．一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝3x﹣4化为一般形式后，其二次项、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，﹣x，1 B．1，x，﹣1 C．x2，﹣1，1 D．x2，1，﹣1 【思路引领】先去括号，移项，合并同类项，再找出各项系数即可． 【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝3x﹣4， x2﹣x+3x﹣3＝3x﹣4， x2﹣x+3x﹣3x﹣3+4＝0， x2﹣x+1＝0， 所以二次项、一次项系数、常数项分别是x2，﹣1，1， 故选：C． 【总结提升】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 知识点3 一元二次方程的解（根） 考向3 利用一元二次方程根的定义判断方程的根 【典例3】判断x＝2，x＝3是不是一元二次方程x2﹣x＝6的根． 【思路引领】把x＝2和x＝3分别代入方程，如果使方程左右两边相等，则为方程的解，否则不是． 【解答】解：当x＝2时，x2﹣x＝4﹣2＝2≠6， 所以x＝2不是一元二次方程x2﹣x＝6的根； 当x＝3时，x2﹣x＝9﹣3＝6， 所以x＝3是一元二次方程x2﹣x＝6的根． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 变式训练 1．（2023秋•武汉期末）在数﹣1、﹣2、﹣3和﹣4中，是方程x2+x﹣2＝0的根的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路引领】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：∵x2+x﹣2＝0， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x＝﹣2或x＝1， 故选：B． 【总结提升】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 2．（2023春•江北区期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的一个根是2，则k的值为 　　． 【思路引领】把x＝2代入方程中，即可求出k的值． 【解答】解：由关于x＝2的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一个根是2， 故4+2k﹣1＝0， 解得k， 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用． 3．（2023春•庐阳区期末）若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 【思路引领】把x＝a代入方程求得2a2+a＝4，然后根据6a2+3a﹣9＝3（2a2+a）﹣9即可求解． 【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2+a﹣4＝0， 则2a2+a＝4， 则6a2+3a﹣9＝3（2a2+a）﹣9＝12﹣9＝3． 故选：B． 【总结提升】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 题型1 利用一元二次方程根的定义求方程中字母的值 【典例4】（2023秋•平定县月考）已知x＝2是方程x2﹣2a＝0的一个解，则一次函数y＝ax﹣1的图象不经过第 　二　象限． 【思路引领】由一元二次方程的解的定义求得a的值，再根据a的符号即可得出一次函数经过的象限，此题得解． 【解答】解：把x＝2代入x2﹣2a＝0，得22﹣2a＝0 解得a＝3． 由于a＝3＞0，﹣1＜0， 所以一次函数y＝ax﹣1的图象应该第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求得a的值．本题属于基础题，难度不大． 题型2 利用一元二次方程根的定义求代数式的值 【典例5】已知a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，试求a2﹣2023a的值． 【思路引领】将x＝a代入一元二次方程x2﹣2023x+1＝0中，再对等式变形，利用整体代入法求代数式的值． 【解答】解：∵a是x2﹣2023x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2023a+1＝0， ∴a2+1＝2023a，a2﹣2023a＝﹣1， ∴a2﹣2023a ＝﹣1 ＝a﹣1 ＝2023． 【总结提升】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会整体代入的思想解决问题． 题型2 利用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 【典例6】已知a2+3a+1＝0，b2+3b+1＝0（a≠b），请构造一个以a，b为根的一元二次方程（以x为未知数），并求x2+3x+2的值． 【思路引领】先由一元二次方程的解可知：a，b为根的一元二次方程是x2+3x+1＝0，将所求式变形后整体代入可解答． 【解答】解：已知a2+3a+1＝0，b2+3b+1＝0（a≠b）， 由一元二次方程的定义可知，以a，b为根的一元二次方程是x2+3x+1＝0， 故x2+3x+2＝1+0＝1． 【总结提升】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是本题的关键． 易错点： 忽视一元二次方程二次项系数不为零 【典例7】（2022春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2+m﹣6＝0的一个根为0，则m的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．﹣2或3 D．2或﹣3 【思路引领】先根据一元二次方程的定义可得m﹣2≠0，从而可得m≠2，再将x＝0代入方程可得一个关于m的一元二次方程，解方程即可得． 【解答】解：∵方程（m﹣2）x2+x+m2+m﹣6＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0， 解得m≠2， 又∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2+m﹣6＝0的一个根为0， ∴m2+m﹣6＝0， 解得m＝﹣3或m＝2（舍去）， 则m的值为﹣3， 故选：B． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 第3部分 备战训练场 一、备考策略 考法1 利用方程解的定义求式子的值 【典例8】（2023秋•兴化市月考）若n（n≠0）是关于x的方程x2﹣mx+2n＝0的根，则m﹣n的值为 　2　． 【思路引领】根据一元二次方程的解的定义，把x＝n代入方程得到n2﹣mn+2n＝0，然后把等式两边除以n即可． 【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2﹣mx+2n＝0的根， ∴n2﹣mn+2n＝0， ∴n﹣m+2＝0， ∴m﹣n＝2． 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 考法2 利用整体思想及方程解的定义求解 【典例9】我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3 【思路引领】令y＝2x+3，则方程为y2+2y﹣3＝0，由已知条件可以得到y的值；接下来由y的值可以得到2x+3的值，如此即可求出x的值，问题即可解答． 【解答】解：令y＝2x+3，则方程为y2+2y﹣3＝0． 由x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，得y2+2y﹣3＝0的解是y1＝1，y2＝﹣3， 所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣3． 故选：D． 【总结提升】本题考查的是解一元二次方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 考法3 利用建立一元二次方程的模型解决实际应用问题 【典例10】（2023秋•儋州期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．32x+2×20x＝32×20﹣570 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【思路引领】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程． 【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570， 故选：B． 【总结提升】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程． 17．（2022秋•郸城县期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　） A．0 B．±1 C．﹣1 D．4 【思路引领】将x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0，得a2﹣1＝0，再根据一元二次方程的定义确定a的值即可． 【解答】解：将x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0，得a2﹣1＝0， 解得a＝±1， ∵一元二次方程a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a＝﹣1， 故选：C． 【总结提升】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的解及解一元二次方程的定义是解题的关键． 18．（2023•石家庄模拟）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．﹣6 【思路引领】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1， 所以2a+4b ＝2（a+2b） ＝2×（﹣1） ＝﹣2． 故选：A． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的步骤是关键． 二、备考演练 1．（2023秋•甘南县月考）已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2 【思路引领】由关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0有一个非零根﹣b，有（﹣b）2﹣ab﹣b＝0，即得a﹣b＝﹣1． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0有一个非零根﹣b， ∴（﹣b）2﹣ab﹣b＝0， 两边同时除以b得： b﹣a﹣1＝0， ∴a﹣b＝﹣1， 故选：A． 【总结提升】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 2．（2023•巴中模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣5n+m）＝10，则a的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9 【思路引领】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，结合（7m2﹣14m+a）（3n2﹣5n+m）＝10，可求出a的值，此题得解． 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2． ∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣5n+m）＝10，即（7+a）（3+2）＝10， ∴a＝﹣5． 故选：A． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2是解题的关键． 3．（2022秋•遵义月考）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四个角减去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600 C．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 D．（40﹣2x）（30﹣2x）＝600 【思路引领】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600． 故选：D． 【总结提升】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根分别为x1＝2，x2＝4，那么一元二次方程（2﹣y）2﹣6（2﹣y）+8＝0的解为 　y1＝0，y2＝﹣2　． 【思路引领】根据方程x2﹣6x+8＝0的两根分别为x1＝2，x2＝4，可以得到方程（2﹣y）2﹣6（2﹣y）+8＝0中2﹣y＝2或2﹣y＝4，然后即可求得y的值． 【解答】解：∵方程x2﹣6x+8＝0的两根分别为x1＝2，x2＝4， ∴方程（2﹣y）2﹣6（2﹣y）+8＝0中2﹣y＝2或2﹣y＝4， 解得y1＝0，y2＝﹣2， 故答案为：y1＝0，y2＝﹣2． 【总结提升】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法． 5．（2023•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　x（x﹣12）＝864　． 【思路引领】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．已知关于x的方程（m+1）（m﹣2）•x﹣1＝0． （1）当m取何值时，它是一元一次方程？求出此方程的根． （2）当m取何值时，它是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【思路引领】（1）根据题意可知：当（m+1）＝0和m2+1＝1 时，原方程都是一元一次方程，分两种情况讨论即可； （2）根据一元二次方程的定义可知m2+1＝2且m+1≠0，求出m，从而求出方程，进行解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：分两种情况： 当m2+1＝1 时，m2＝0，m＝0， 原方程为：x﹣2x﹣1＝0， ﹣x＝1， x＝﹣1； 当m+1＝0时，即m＝﹣1， 原方程为：﹣3x﹣1＝0， ﹣3x＝1， ， 综上可知：当m＝0或﹣1时，原方程是一元一次方程，方程的根分别为x＝﹣1，x； （2）由题意得：， 由①得：m2＝1，m＝±1， 由②得：m≠﹣1， ∴当m＝1时，这个方程为2x2﹣x﹣1＝0，是一元二次方程， 这个一元二次方程的二次项系数为2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣1． 【总结提升】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义和有关概念． 7．若x2a+b﹣3xa﹣b+1＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．下面是两位学生的解法： 甲：根据题意，得，解得． 乙：根据题意，得或，解得或． 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确答案． 【思路引领】根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【解答】解：不正确，两同学分类讨论不完全，正确过程如下： 根据题意可得或或， 解得：或或． 【总结提升】本题考查一元二次方程的定义及解二元一次方程组，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$