21.1一元二次方程（题型专练）数学人教版九年级上册

21.1一元二次方程 题型一、判断一个方程是否是一元二次方程 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级下·浙江宁波·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 题型二、一元二次方程的一般形式 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3) ； (4) 题型三、根据一元二次方程的定义求字母的值 7．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D．1和3 8．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）当 时，方程是关于x的一元二次方程． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型四、一元二次方程的解 10．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 12．（20-21八年级下·全国·课后作业）在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解： （1）； （2）． 题型五、已知一元二次方程的解求字母的值 13．（2025年湖南省初中学业水平考试数学BESTA卷）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 16．（2025·重庆·一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．2或0 题型六、根据一元二次方程的解求代数式的值 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若a是的一个根，则的值是 ． 18．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 19．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 题型七、根据实际问题列一元二次方程 20．（2025·内蒙古·模拟预测）某超市销售一种牛奶，原价每箱元，连续两次降价后每箱元．若每次下降的百分率相同，都是，则得到方程（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨第六十九中学建设的校区篮球场是一个面积为608平方米的矩形活动场地，它的长比宽多13米，设场地的宽为x米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级下·四川广安·期中）某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（　　） A． B． C． D． 题型一、由一元二次方程的定义求参数的值 24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 25．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 题型二、一元二次方程的解的估算 26．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 27．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 题型三、根据一元二次方程的根进行转化求值 29．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 30．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 题型四、由已知代数式的值推断方程的解 31．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若，则关于x的一元二次方程必有一根为（　　） A． B．0 C．2 D．或2 32．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 34．（2023八年级下·浙江·专题练习）设和都是关于的一元二次方程，求． 35．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 36．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1一元二次方程 题型一、判断一个方程是否是一元二次方程 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（20-21八年级下·浙江宁波·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故符合题意； B．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：①是一元二次方程； ②中有2个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程； ⑤，即不是一元二次方程； ⑥是一元二次方程； 综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是． 题型二、一元二次方程的一般形式 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 题型三、根据一元二次方程的定义求字母的值 7．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D．1和3 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键，利用一元二次方程的定义判断即可确定出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选：：C． 8．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）当 时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得未知数的最高次为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型四、一元二次方程的解 10．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 12．（20-21八年级下·全国·课后作业）在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据方程的解的定义，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）根据方程的解的定义，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可 【详解】解：（1）把x＝代入原方程， 左边＝2×−6＝0，右边＝0， ∵左边＝右边 ∴是方程的解． 把x＝代入原方程， 左边＝2×−6≠0，右边＝0， ∵左边≠右边 ∴不是方程的解． 把x＝−代入原方程， 左边＝2×−6＝0，右边＝0， ∵左边＝右边 ∴−是方程的解． 把x＝−代入原方程， 左边＝2×−6≠0，右边＝0， ∵左边≠右边 ∴−不是方程的解． （2）把x＝5＋2代入原方程， 左边＝2× ≠24，右边＝24， ∵左边≠右边 ∴5＋2不是方程的解． 把x＝5−2代入原方程， 左边＝2×≠24，右边＝24， ∵左边≠右边 ∴5−2不是方程的解． 把x＝−5＋2代入原方程， 左边＝2×＝24，右边＝24， ∵左边＝右边 ∴−5＋2是方程的解． 把x＝−5−2代入原方程， 左边＝2×＝24，右边＝24， ∵左边＝右边 ∴−5−2是方程的解． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，学会利用代入法进行验证一个数是不是方程的解． 题型五、已知一元二次方程的解求字母的值 13．（2025年湖南省初中学业水平考试数学BESTA卷）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 根据题意，把代入方程，得到关于a的等式，即可求得结果． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个解， ，解得． 故选：A． 15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．把代入方程，解之即可得到的值． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 故答案为：3． 16．（2025·重庆·一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．2或0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型六、根据一元二次方程的解求代数式的值 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若a是的一个根，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值， 根据一元二次方程的解的定义得出，然后变形再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 18．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C 19．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题． 把代入方程得，从而得到，再由，整体代入计算即可． 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴ ． 题型七、根据实际问题列一元二次方程 20．（2025·内蒙古·模拟预测）某超市销售一种牛奶，原价每箱元，连续两次降价后每箱元．若每次下降的百分率相同，都是，则得到方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，正确列式是关键． 根据数量关系，正确运用一元二次方程表示数量关系即可． 【详解】解：原价每箱元，连续两次降价后每箱元，下降的百分率相同，都是， ∴， 故选：B ． 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨第六十九中学建设的校区篮球场是一个面积为608平方米的矩形活动场地，它的长比宽多13米，设场地的宽为x米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；根据矩形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设场地的宽为x米，则长为米， 根据题意得， 故选：C． 22．（24-25九年级下·四川广安·期中）某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该景点接待游客人次年平均增长率为，则2023年接待的游客数为万人次，则2024年接待的游客数为万人次，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 23．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设长为，矩形的面积为，据此列出方程即可． 【详解】解：设长为，根据题意可得： ， 即， 故选：． 题型一、由一元二次方程的定义求参数的值 24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 25．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由题意，得解得． （2）由题意，得，∴． 题型二、一元二次方程的解的估算 26．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 27．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 28．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 题型三、根据一元二次方程的根进行转化求值 29．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到方程得到关于的方程，即可求解； （2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可． 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 30．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 31．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若，则关于x的一元二次方程必有一根为（　　） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入，可得，即可求解． 【详解】解：对于， 当时，， ∴关于x的一元二次方程必有一根为． 故选：A． 32．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 33．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于关于x的一元二次方程有一根为，则把方程看作关于的一元二次方程时有，解得，于是可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的一个根， ∴也是的一个根， 即， 故选：C． 34．（2023八年级下·浙江·专题练习）设和都是关于的一元二次方程，求． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此可得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵和都是关于的一元二次方程， ∴， ∴解得， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式的混合运算，正确把握一元二次方程的定义是解题关键． 35．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 36．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【答案】(1)①是；②当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根 (2)见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）①依据题意，将代入方程的左边，右边，进而可以判断得解； ②依据题意，由，从而，进而可得或，故可判断得解； （2）依据题意，当时，，又，则，从而，即，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，当时， 左边，右边． 左边右边． 是方程的解． ②由题意，， ． 或． 令，则， 当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根． （2）证明：由题意，当时，． ， ． ． ． ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$