精品解析：2024届山东省实验中学高三下学期5月高考模拟数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合交集的定义求解即可. 【详解】,故. 故选：A. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果. 【详解】复数满足， 则有， 所以. 故选：D. 3. 已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【详解】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 4. 古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球的体积公式，先求出球的半径，再利用圆柱的表面积公式即可求出结果. 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得： ， 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定奇偶性，排除B，再由且时，恒成立，排除CD，从而得正确答案． 【详解】函数定义域是， ，是奇函数，排除B， 当且时，，所以，排除CD， 故选：A． 6. 某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记第i次取到的是红球为事件，分类求解即可. 【详解】记第i次取到的是红球为事件， 则二等奖的概率为 . 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再结合诱导公式，可求. 【详解】由， 所以， 所以. 故选：B 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据双曲线的定义，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于，的关系，可得双曲线的离心率. 【详解】如图：设，则， 根据双曲线的定义，可得，， 因为，所以， 所以 由， 代入可得. 故选：B 【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算即可，其中在上的投影向量公式为. 【详解】对于A，由向量，，则，故A是错误的； 对于B，由向量的夹角公式得：，所以与的夹角为，故B是错误的； 对于C，由，所以，即，故C是正确的； 对于D，由，则在上的投影向量为： ，故D是正确的； 故选：CD. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 若在单调递增，则 D. 的图象与直线有5个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据函数图象的对称性求的值，再分析函数的性质，判断各选项是否正确. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以或， 解的. 即. 所以，故A错误； 因为，为奇函数，故B正确； 由，所以在上递增，又因为若在单调递增，所以，故C正确； 设，则. 做函数和的草图如下： 可知两个函数的图象有5的交点，即的图象与直线有5个交点，故D正确. 故选：BCD 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据题意求出斐波那契数列的前10项进行判断，对于B，当时，，，，三式相加判断，对于C，根据，对依次取1，2，……，2023，得到2023个式子相加进行判断，对于D，由，得，对依次取1，2，……，2022，然后相加进行判断. 【详解】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 所以，所以A错误， 对于B，当时，，，， 所以三式相加得， 所以，所以B正确， 对于C，因为数列满足：，， 所以，，，……， ，，， 以上2023个等式相加得, 因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，， 所以，, ,, ……, , 所以，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查斐波那契数列的性质，解题的关键是理解斐波那契数列中项之间的关系，充分利用分析判断，考查推理能力和理解能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中常数项为，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出积的常数项即复旦. 【详解】依题意，，因此展开式中常数项为， 则，解得， 所以实数的值为0. 故答案为：0 13. 使得不等式和均成立的一组，的值分别为______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】取，由变形构造函数，利用导数探讨函数的单调性，由此确定的取值区间，并验证成立即可. 【详解】不妨取，由，得， 令函数，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 取，由，得， 此时，取. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知函数，若存在实数对满足且，则使得成立的正整数的最大值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，确定，的取值范围，再根据不等式确定的取值范围. 【详解】设函数，则，由得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，. 由，且，可得. 所以， 所以，所以正整数的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把化成，从而构造函数，再利用导数解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计此次测试的平均成绩； （2）试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 【答案】（1）79 （2）85分；能录取，但不能进入第一梯队． 【解析】 【分析】（1）根据样本频率分布直方图估计平均数. （2）根据样本频率分布直方图估计88分的学生所在的位置，进行判断. 【小问1详解】 此次测试的平均成绩为： . 【小问2详解】 由题意可知，录取率为，能进入第一梯队的概率为； 设录取分数为，因为分数落在的概率为0.1， 分数落在的概率为0.4， 所以，令，解得， 所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分， 所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队． 16. 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 已知的内角，，的对边分别为，，且______. （1）求角的大小； （2）若的角平分线交边于点，且，，求边. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理，结合三角形的内角和定理，二倍角公式，求，从而确定的大小. （2）在中，利用正弦定理可求，进而判断的形状，可求边. 【小问1详解】 若选择①，则因为， 由正弦定理得， 所以，即， 从而， 因为，所以． 若选择②则：因为， 由正弦定理得， 又由余弦定理， 从而， ，所以． 若选择③则：因为，所以， 由正弦定理得， 整理得，所以 因为，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 如图：在中，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以是等腰三角形，且， 所以． 17. 如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 取线段的中点为，连接， 因为为线段的中点，所以，且； 又是的中点，所以，且； 所以 ，且，故四边形为平行四边形； 所以， 因为平面，平面， 所以 直线平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，通过线线平行判断线面平行. （2）先确定，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的中点，所以，所以； 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则即， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角为. 18. 已知抛物线经过点. （1）求抛物线E的方程； （2）设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成，可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”． （1）若，求； （2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为． （ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果） （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知，则， 则， 设，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减； 所以，即（当且仅当时取等号）， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）首先得到的分布列，再根据所给定义求出； （2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，根据全概率公式求出，再由条件概率公式求出； （ⅱ）结合（ⅰ）及所给定义表示出，设，利用导数证明，从而得到，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的分布列为： 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件， 则，，，， 所以 ， 所以； （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解题干所给定义，第二问关键是利用导数证明（当且仅当时取等号），从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 10. 已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 若在单调递增，则 D. 的图象与直线有5个交点 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中常数项为，则实数的值为______. 13. 使得不等式和均成立的一组，的值分别为______. 14. 已知函数，若存在实数对满足且，则使得成立的正整数的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计此次测试的平均成绩； （2）试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 16. 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 已知的内角，，的对边分别为，，且______. （1）求角的大小； （2）若的角平分线交边于点，且，，求边. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知抛物线经过点. （1）求抛物线E的方程； （2）设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”． （1）若，求； （2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为． （ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果） （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $