专题03 均值不等式及不等式综合（18题型提分练）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题03 均值不等式及不等式综合 目录 题型一：公式直接用 1 题型二：公式成立条件 2 题型三：对勾型凑配 3 题型四：“1”的代换：基础代换型 4 题型五：“1”的代换：有和有积无常数型 4 题型六：“1”的代换：有和有积有常数型 5 题型七：分母构造型：分母和定无条件型 5 题型八：分母构造型：分离型型 6 题型九：分母构造型：一个分母构造型 7 题型十：分母构造型：两个分母构造型 7 题型十一：分离常数构造型 8 题型十二：换元构造型 9 题型十三：分母拆解凑配型 9 题型十四：万能“K”型 10 题型十五：均值不等式应用比大小 11 题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型 12 题型十七：因式分解型 12 题型十八：三元型不等式 13 题型一：公式直接用 基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤2，常用于求积的最大值； 1．（22-23高三·北京·阶段练习）若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 4．（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为 题型二：公式成立条件 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 6．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．若，则函数的最小值等于 C．若，则的取值范围是 D．的最大值是 题型三：对勾型凑配 1.对勾型结构： 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 2.对勾添加常数型 对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 2．（23-24高三 ·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 3．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则的最大值为（    ） A．5 B． C．1 D． 4．（23-24高三·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（23-24高三·广东佛山·模拟）函数，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 题型四：“1”的代换：基础代换型 “1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换 1．（2022高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高三·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（　　） A． B．8 C．9 D．10 3．（23-24高三·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．3 D．8 4．（22-23高一下·湖南邵阳·阶段练习）设，，若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．9 D． 5．（22-23高三·内蒙古呼和浩特·期中）已知x，y为正实数，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型五：“1”的代换：有和有积无常数型 有和有积无常数 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 2．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（    ） A． B．10 C．9 D． 3．（2022·四川乐山·一模）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高三·山西太原·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型六：“1”的代换：有和有积有常数型 有和有积有常数 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： 1．（23-24高三·广西·模拟）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 2．（23-24高三·甘肃·模拟）若正数a，b满足，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·江苏·模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（23-24高三·安徽阜阳·模拟）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 5．（23-24高三·福建莆田·模拟）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型七：分母构造型：分母和定无条件型 无条件分母和定型 型，满足（定值），则可以构造 1．（2020高三·全国·专题练习）的最小值为（   ） A．2 B．16 C．8 D．12 2．（21-22高三·福建莆田·期末）当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 3．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 4．（22-23高三·江苏南通·模拟）函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高三·四川成都·期中）若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 题型八：分母构造型：分离型型 对勾分离常数型（换元型） 型，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 1．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·海南海口·阶段练习）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2020高三·河北石家庄·阶段练习）已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 4．（20-21高三·辽宁大连·模拟）“”是“关于的不等式（）有解”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（20-21高三·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 题型九：分母构造型：一个分母构造型 单分母 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三·浙江·模拟）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（23-24高三·广东肇庆·模拟）已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型十：分母构造型：两个分母构造型 双分母 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 3．（23-24高三·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知非负实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三·湖北·阶段练习）若，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 题型十一：分离常数构造型 对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解 分离常数技巧： 1．（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（22-23高一下·云南·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十二：换元构造型 若已知（定值），型，则可通过线性换元，令，反解出代入条件等式中，换元为简单的条件不等式 1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（21-22高三·河南洛阳·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 题型十三：分母拆解凑配型 凑配拆解型 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配 1．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 3．（19-20高三上·陕西榆林·阶段练习）已知的值域为，当正数满足时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 题型十四：万能“K”型 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。 求谁设谁，构造方程用均值 1．（22-23高三上·江苏南京·模拟）已知正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．9 2.（2022·全国·高一课时练习）已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 3.（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知正数满足，则的最大值是 . 4.（21-22高三上·湖北襄阳·期中）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 题型十五：均值不等式应用比大小 几个重要不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5） 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南洛阳·一模）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·江苏常州·模拟）若且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型 恒成立： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则； 函数最值，符合均值不等式条件的，可以构造均值不等式放缩求最值 1．（22-23高三·福建厦门·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高三·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 4．（22-23高三上·河南郑州·模拟）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十七：因式分解型 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解： 1.（2023·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 ． 2.（22-23高三上·江西吉安·模拟）已知实数，满足，，且，则的最大值为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 3.（2023高三·全国·专题练习）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2023·全国·模拟预测）已知实数、、满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.（22-23高三上·吉林·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 题型十八：三元型不等式 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 1.（20-21高三上·北京·强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 2．（21-22高三·浙江温州·模拟）已知且，，，则的最小值为 A．5 B．10 C．15 D．20 3．（2023·安徽滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 4．（22-23高三·江苏常州·阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 5．（22-23高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知实数、、满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 均值不等式及不等式综合 目录 题型一：公式直接用 1 题型二：公式成立条件 3 题型三：对勾型凑配 6 题型四：“1”的代换：基础代换型 7 题型五：“1”的代换：有和有积无常数型 9 题型六：“1”的代换：有和有积有常数型 10 题型七：分母构造型：分母和定无条件型 12 题型八：分母构造型：分离型型 14 题型九：分母构造型：一个分母构造型 16 题型十：分母构造型：两个分母构造型 17 题型十一：分离常数构造型 19 题型十二：换元构造型 21 题型十三：分母拆解凑配型 23 题型十四：万能“K”型 26 题型十五：均值不等式应用比大小 27 题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型 30 题型十七：因式分解型 32 题型十八：三元型不等式 34 题型一：公式直接用 基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤2，常用于求积的最大值； 1．（22-23高三·北京·阶段练习）若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】（1）先判断，可得，所以，排除A、D，再用作差法比较B、C的大小，可得答案. （2）也可以令，取特殊值进行验证排除. 【详解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D； ∵， 即，排除B. 故选：C. 方法二：因为且，可取，. 则：，，因为. 故选：C. 2．（22-23高三·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【详解】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据基本不等式，即可求解. 【详解】∵ ∴，（当且仅当，取“=”） 故选：C. 4．（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确． 【详解】因为，所以，则，则A选项错误； 因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确； 当时，，则C选项错误； 因为，由B选项可知，所以，则D选项错误. 故选：B 5．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为 【答案】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，则， 解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为， 则， 即的最大值为 故答案为： 题型二：公式成立条件 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断C错误；由基本不等式和完全平方可判断D错误. 【详解】 A：当时，，故A错误； B：，当且仅当，即时取等号，故B正确； C：当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误； D：，当且仅当，时取等号，又，故D错误； 故选：B. 2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解. 【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立， 若时，，则， 即“”是“”的必要不充分条件， 而无法推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【答案】A 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，当时，，所以C选项错误. D选项，当时，，不成立，所以D选项错误. 故选：A 4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项， 若，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，若且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，若，取，则，D错. 故选：ABC. 5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 6．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．若，则函数的最小值等于 C．若，则的取值范围是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式知识即可判断，需注意“一正二定三相等”. 【详解】当时，重要不等式成立，故A正确； 选项中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故B错误； 由于，当且仅当时等号成立. 因此， 即的取值范围是，故正确； 由于， 根据均值不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 即有最大值为，故D正确. 故选：ACD. 题型三：对勾型凑配 1.对勾型结构： 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 2.对勾添加常数型 对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 2．（23-24高三 ·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 3．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则的最大值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令之后用基本不等式求函数的最值. 【详解】令 当且仅当即时取得. 故选：C 4．（23-24高三·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件. 【详解】由，则， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 故选：C 5．（23-24高三·广东佛山·模拟）函数，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用配凑法结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以函数，的最小值为. 故选：C. 题型四：“1”的代换：基础代换型 “1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换 1．（2022高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案. 【分析】因为且，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 故选：A. 2．（23-24高三·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（　　） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：C 3．（23-24高三·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】B 【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得. 【详解】因，，故由， 当且仅当时，等号成立.由解得： 即当且仅当时，取最小值为4. 故选：B. 4．（22-23高一下·湖南邵阳·阶段练习）设，，若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．9 D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：D 5．（22-23高三·内蒙古呼和浩特·期中）已知x，y为正实数，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 题型五：“1”的代换：有和有积无常数型 有和有积无常数 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，，由得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 2．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（    ） A． B．10 C．9 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】由可得，， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为9， 故选:C. 3．（2022·四川乐山·一模）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值. 【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为. 故选：A 4．（21-22高三·山西太原·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，， ∴，当且仅当且时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D． 5．（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题干等式变形得出，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为且，，所以， 则， 当且仅当时，即当，时，等号成立. 因此，的最小值是. 故选：C. 题型六：“1”的代换：有和有积有常数型 有和有积有常数 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： 1．（23-24高三·广西·模拟）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 2．（23-24高三·甘肃·模拟）若正数a，b满足，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式将等式转化为关于的不等式即可求解. 【详解】， ，即. ，又因为a，b为正数，所以. ，即，当且仅当等号成立， 故的取值范围是. 故选：C. 3．（23-24高三·江苏·模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】注意到不等式，所以可将条件等式转换为关于的一元二次不等式，从而即可得解. 【详解】注意到，等号成立当且仅当， 从而， 因为，是正实数， 所以解得或（舍去）， 即的最小值是4，等号成立当且仅当. 故选：C. 4．（23-24高三·安徽阜阳·模拟）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】由条件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代换可求得的最小值，可得的值，进而得解. 【详解】根据题意，∵ ，当且仅当时等号成立， 令，有 ， 解得 ，即，； ， ，当且仅当，即，时等号成立， ； 故选：C. 5．（23-24高三·福建莆田·模拟）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由，得，又，，即，， 则，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立，所以，故选：C. 题型七：分母构造型：分母和定无条件型 无条件分母和定型 型，满足（定值），则可以构造 1．（2020高三·全国·专题练习）的最小值为（   ） A．2 B．16 C．8 D．12 【答案】B 【分析】先构造，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】解：∵， ∴， 当且仅当，即，时“=”成立， 故的最小值为16. 故选：B. 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了构造均值不等式求最值，属基础题. 2．（21-22高三·福建莆田·期末）当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用， 借助基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以,, 因为， 所以， ， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：B. 3．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 4．（22-23高三·江苏南通·模拟）函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得， ， 仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：B 5．（23-24高三·四川成都·期中）若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定，且，将变形为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，故，则， 故 ， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，故选：D 题型八：分母构造型：分离型型 对勾分离常数型（换元型） 型，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 1．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可. 【详解】令，所以， 设，， 函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增， 因为，，所以函数在时，最大值为， 要想不等式在区间上有解，只需， 故选：C 2．（23-24高三·海南海口·阶段练习）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 3．（2020高三·河北石家庄·阶段练习）已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 4．（20-21高三·辽宁大连·模拟）“”是“关于的不等式（）有解”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得当时，的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意知，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，的最小值为， 当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立， 反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（20-21高三·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值.故选：A 题型九：分母构造型：一个分母构造型 单分母 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为非负实数满足， 显然，则，所以， 则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】实数，，由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 4．（23-24高三·浙江·模拟）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 5．（23-24高三·广东肇庆·模拟）已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， ， 当且仅当，即，时，有最小值. 故选：C. 题型十：分母构造型：两个分母构造型 双分母 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，根据“1”的代换化简得出.进而根据基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．故选：C． 2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】因为，所以， 则 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 3．（23-24高三·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是. 【详解】易知 ，所以可得；当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以.故选：D 4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知非负实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，注意取值条件. 【详解】非负实数，满足，则， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为.故选：D 5．（23-24高三·湖北·阶段练习）若，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘“1”法即可求解. 【详解】可变形为， 所以 ， 当且仅当即，时取等号，故选：C 题型十一：分离常数构造型 对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解 分离常数技巧： 1．（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， 则． 因为， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是． 故选：A. 2．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：D 3．（23-24高三·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可得. 【详解】由于，，且， 则 ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为.故选：C. 4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解. 【详解】，，， ，当且仅当，且，即时等号成立， 的最小值为.故选：A 5．（22-23高一下·云南·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理得出，由已知变形可得，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，，则，因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为.故选：B. 题型十二：换元构造型 若已知（定值），型，则可通过线性换元，令，反解出代入条件等式中，换元为简单的条件不等式 1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 由得， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9， 故选：B 2．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果. 【详解】设， 则且，解得. 所以， 因为，所以， 当时取等号，即且， 解得. 故选：B. 3．（21-22高三·河南洛阳·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值． 故选：B 4．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果. 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值. 故选：D. 5．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令，，则， 即， ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故选：A. 题型十三：分母拆解凑配型 凑配拆解型 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配 1．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，则有，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】方程有两个不等的实数根， ， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C 2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 【答案】B 【分析】利用得出，结合基本不等式求解. 【详解】因为，所以，而， ，当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 3．（19-20高三上·陕西榆林·阶段练习）已知的值域为，当正数满足时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据值域计算，变换，利用均值不等式得到答案. 【详解】，当时，函数有最小值，故； 即， ， 当，即，时等号成立. 故选：. 【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 4．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果. 【详解】因为 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 5．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将化为，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得. 【详解】因为，均为正实数，且，得， 所以， 又， 当且仅当即时取等号，所以. 故选：B. 题型十四：万能“K”型 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。 求谁设谁，构造方程用均值 1．（22-23高三上·江苏南京·模拟）已知正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解. 【详解】因为，所以, 所以， 即 所以，解得， 当且仅当 ，解得 或时等号成立， 所以当时有最大值为9. 故选:D. 2.（2022·全国·高一课时练习）已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，可得， 则有，解得， 当且仅当，取到最小值. 故选：B. 3.（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知正数满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案. 【详解】令，因为，，所以. 则， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 4.（21-22高三上·湖北襄阳·期中）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可得，化简利用基本不等式可得，从而可求出的最小值. 【详解】解：，， ， 当且仅当时等号成立，，解得， 的最小值为故选：C 题型十五：均值不等式应用比大小 几个重要不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5） 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可. 【详解】设，则在上单调递减， 所以，所以，，， ， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可. 2．（2023·河南洛阳·一模）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用作差法、对数运算公式及基本不等式可比较与，再运用构造函数研究其单调性可比较与. 【详解】∵， ， ∴，所以. ∵ ∴比较与的大小，即比较与的大小. 令，则. 令，则. 所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递减. 又因为， 所以，即.所以，即. 综上所述，. 故选：B. 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 3．（22-23高三·江苏常州·模拟）若且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将与常数进行比较，然后通过与比较大小，再通过基本不等式进行放缩，最后通过放缩 【详解】，可得：，， 可得：且 由基本不等式，可得： 又，可得： ，且， 可得：，即 故选：A 4．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系． 【详解】分别对，，两边取对数，得，，． ． 由基本不等式，得: ， 所以， 即，所以． 又，所以. 故选：D． 5．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出，，然后根据作差法结合基本不等式比较. 【详解】由题意，，，， 由换底公式，， ， 由于，根据基本不等式，， 故，即，于是.故选：A 题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型 恒成立： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则； 函数最值，符合均值不等式条件的，可以构造均值不等式放缩求最值 1．（22-23高三·福建厦门·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数a，b都成立， 所以，即，整理得， 解得或，由为正数得， 所以正数的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高三·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】解：因为,为正数，所以，所以，则有，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值为1，所以，即的最大值为1.故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. 4．（22-23高三上·河南郑州·模拟）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可. 【详解】依题意，．又，而， 当且仅当，即，时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为 故选： 题型十七：因式分解型 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解： 1.（2023·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 ． 【答案】10 【解析】将已知等式化为，所求式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：10 2.（22-23高三上·江西吉安·模拟）已知实数，满足，，且，则的最大值为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解. 【详解】解：由，变形为，设， ∵，当且仅当时，取等号，即， ∴，∴，即，，∴，∴， 此时，，即，时，的最大值为8.故选：B. 3.（2023高三·全国·专题练习）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得，结合条件可得，进而即得. 【详解】因为，由，可得，又， 可得，化为， 解得，则的取值范围是.故选：A. 4.（2023·全国·模拟预测）已知实数、、满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，由已知推出，将多变量问题转化为单变量问题，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】设，则， ， 则，则， 即有， 故 ， 当且仅当，即或时取等号， 验证，时，，则，符合题意，； 时，，则，，符合题意， 故选：C 5.（22-23高三上·吉林·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 即，所以，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4. 故选：D. 题型十八：三元型不等式 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 1.（20-21高三上·北京·强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】 利用基本不等式可求最大值. 【详解】 ，，， 所以， ， 因此所求代数式的最大值为1． 故选：A. 2．（21-22高三·浙江温州·模拟）已知且，，，则的最小值为 A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【详解】∵，∴， ∵， 即,即， ∴， 即解得或(舍)， 当且仅当时取等号． 故选A. 点睛：由≥b≥c，+b+c=12可得≥4，利用（-b）（-c）≥0得出，故而45≥bc+（12-）=，从而解出的范围． 3．（2023·安徽滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 因为a，b，c均为正数， 所以有， 当且仅当时取等号，即时取等号， 故选：C 4．（22-23高三·江苏常州·阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为1，故选：B 【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到是解题的关键. 5．（22-23高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知实数、、满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式可得，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为，所以，， 因为，可得，故当时，取最大值. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$