精品解析：四川省成都市金牛区成都外国语学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

成都外国语学校2023—2024学年度下期5月月考 高二数学试卷 命题人：蒋东峰 审题人：闫欢 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分； 2.本堂考试120分钟，满分150分； 3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂； 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 2. 某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 216种 D. 256种 3. 设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. 1或5 B. 5 C. 1或 D. 5或 4. 已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数极小值点 D. 是函数极小值点 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.5 D. 0.52 7. 已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知随机变量X、Y，且的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P m n 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为 B. 若满足，则 C. 若过点可作出曲线三条切线，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是______. 13. 两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于___ 14. 设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）若，求数列前项和. 16. 高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程．某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100 名学生作为样本进行情况调研，得到下表： 组别 选考科目 频数 第1 组 历史、地理、政治 20 第2 组 物理、化学、生物 17 第 3 组 生物、历史、地理 14 第 4 组 化学、生物、地理 12 第5 组 物理、化学、地理 10 第6 组 物理、生物、地理 9 第7组 化学、历史、地理 7 第8组 物理、历史、地理 5 第 9 组 化学、生物、政治 4 第 10 组 生物、地理、政治 2 合计： 100 （1）从样本中随机选1 名学生，求该学生选择了化学概率； （2）从第组、第组、第组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为，求的分布列和期望． 17. 如图，在直三棱柱中，点是的中点，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面的所成角的余弦值． 18. 已知椭圆 的短轴长为，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过作垂直于轴的直线与椭圆交于 两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值. 19. 已知，其中． （1）当时，证明：； （2）若，求的取值范围； （3）设，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都外国语学校2023—2024学年度下期5月月考 高二数学试卷 命题人：蒋东峰 审题人：闫欢 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分； 2.本堂考试120分钟，满分150分； 3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂； 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和组合数的性质可得. 【详解】由题知，， 所以，所以，所以. 故选：B 2. 某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 216种 D. 256种 【答案】B 【解析】 【分析】先将甲乙看作一个元素，再和其余4人一起排列. 【详解】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法， 再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法， 所以这样的排法一共有种方法. 故选：B 3. 设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. 1或5 B. 5 C. 1或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式，采用基本量思想进行计算即可. 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以或 故选：D. 4. 已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】由已知易得的单调区间，进而可判断在时取得极小值，在时取得极大值，可得结论. 【详解】由图及题设，当时，； 当； 当时，； 当时，； 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值； 故A，B，C错，D正确. 故选：D. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】 = 故选：A. 6. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.5 D. 0.52 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得. 【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得 ， 因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5. 故选：C. 7. 已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 故选：B 8. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得． 在椭圆中，， 得． 在双曲线中，， 得．从而，得， 则，即， 即． 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知随机变量X、Y，且的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P m n 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D. 【详解】由可得：①， 又因为，解得：，故C正确. 所以， 则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误； , ，故D错误. 故选：AC. 10. 大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，，当时，，联立可得，利用累加法可得，从而可求得的通项公式，再逐项判断即可. 【详解】因为，， 令且， 当时，①； 当时，②， 由①②联立得. 所以， 累加可得 令(且为奇数)，得， 当时满足上式， 所以当为奇数时，. 当为奇数时，， 所以，其中为偶数. 所以，故C正确. 所以，故A错误. 当为偶数时，，即， 当为奇数时，，即， 综上可得，故B正确. 因为 ，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为 B. 若满足，则 C. 若过点可作出曲线的三条切线，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可； 对于B ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得的值； 对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可； 对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案. 【详解】对于A ，，当时，，， 令，解得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时取得极大值，当时取得极小值， 有三个零点，，解得，故选项A正确； 对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得， 解得，故选项B错误； 对于C ，， 设切点为，则切线的斜率 化简， 得 由条件可知该方程有三个实根，有三个实根， 记， 令，解得或， 当时取得极大值，当时，取得极小值， 因为过点可作出曲线的三条切线， 所以，解得，故选项C正确； 对于D ，，， 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 存在极值点， 由得 令， ，于是， 所以 ， 化简得：， ，，于是， .故选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案： 13. 两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于___ 【答案】 【解析】 【分析】据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答. 【详解】根两个等差数列和的前项和分别为、，且， 所以. 故答案为：. 14. 设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求函数最值即可求解. 【详解】因为，令，则， 令， 又对任意，存在 不等式恒成立，又， 即，即恒成立. 又，， 则时，，单调递减； 时，，单调递增， 故； 又当时，， 当且仅当时，等号成立， 故，又， 所以， 故答案为：. 【点睛】不等式恒成立问题，构造一个适当在函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用的技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快在思路，有着非凡的效果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式及求和公式得到关于与的方程组，解得与，即可求出通项公式与； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 所以. 16. 高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程．某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100 名学生作为样本进行情况调研，得到下表： 组别 选考科目 频数 第1 组 历史、地理、政治 20 第2 组 物理、化学、生物 17 第 3 组 生物、历史、地理 14 第 4 组 化学、生物、地理 12 第5 组 物理、化学、地理 10 第6 组 物理、生物、地理 9 第7组 化学、历史、地理 7 第8组 物理、历史、地理 5 第 9 组 化学、生物、政治 4 第 10 组 生物、地理、政治 2 合计： 100 （1）从样本中随机选1 名学生，求该学生选择了化学的概率； （2）从第组、第组、第组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先找出选择了化学的学生数，再利用古典概型求解即可； （2）的所有可能取值为，，，再利用超几何分布求概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望； 【小问1详解】 设“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”， 则， 所以从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为. 【小问2详解】 第组、第组、第组共有人，其中选择政治的有人. 所以的所有可能取值为，，， 则，，. 所以的分布列为 0 1 2 故的期望. 17. 如图，在直三棱柱中，点是的中点，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面的所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，易知四边形是正方形，则，由勾股定理可证明，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 如图1，记与的交点为点，连接， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 因为，所以四边形是正方形，故， 因为，所以，又因为是中点，所以， 所以，因为四边形正方形， 所以是的中点，所以，又平面，， 所以平面． 【小问2详解】 如图2，取中点的，易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，则法向量． 设直线与平面的所成角的线面角为， 则，得， 故直线与平面的所成角的线面角的余弦值为． 18. 已知椭圆 的短轴长为，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过作垂直于轴的直线与椭圆交于 两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，然后解出即可得到方程； （2）先确定，然后由已知可得的斜率互为相反数，再设出斜率，使用韦达定理即可验证直线的斜率. 【小问1详解】 由已知有，，即，. 所以，从而. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 我们有，故直线的方程为. 将代入可得，解出，故，. 由于，故的斜率互为相反数. 设的斜率分别是，则由可知它们的方程分别是和. 将直线与椭圆方程联立可知，即. 由知此方程必有一根，故另一根是. 这得到，同理有. 所以直线的斜率. 19. 已知，其中． （1）当时，证明：； （2）若，求的取值范围； （3）设，，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，求导研究其单调区间，可得答案； （2）根据指数函数的性质，利用分类讨论思想，整理不等式构造函数，再利用导数求得其最值，建立不等式，可得答案； （3）将不等式的右边整理为求和式，利用放缩法结合（1）的不等式可得答案. 【小问1详解】 当时，，则． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 【小问2详解】 由，则． 当时，显然不等式恒成立． 当时，整理可得． 令函数， 易知，，则，易知是增函数． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故． 所以为使，都有，必有． 对，都有，当且仅当时等号成立， 则有，所以，即． 【小问3详解】 由（1）知当时，，从而． ， 利用不等式和， 可得 ， 即当时，． 【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式： （1）；（2）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$