精品解析：山东省聊城一中2023-2024学年下学期期中考试高一数学试题

2023-2024学年第二学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（58分） 一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中；只有一个选项符合题目要求． 1. 若复数是纯虚数，则z的共轭复数（ ） A. －1 B. －i C. i D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘、除法运算化简复数z，再由共轭复数的定义即可得出答案. 【详解】， 因为复数是纯虚数，所以， 则，所以. 故选：C. 2. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算 【详解】. 故选：B 3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．. 【详解】直观图正方形的边长为，， 原图形为平行四边形，如图： 其中，高， ， 原图形的周长. 故选：A. 4. 已知是两个不共线的向量，．若与是共线向量，实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，得出关于实数，的关系，求解即可. 【详解】因为和是两个不共线的向量，，，与是共线向量， 设，，则， 所以，所以. 故选：C 5. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果. 【详解】由余弦定理可知， ， ， AD平分且与BC相交于点D，是等腰三角形， 是中点，， 由图可知向量在上的投影向量为 ， . 故选：B 【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若、是两条直线，、是两个平面，且，则、是异面直线 B. 四边形可以确定一个平面 C. 已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是相交 D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本事实及空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若、是两条直线，、是两个平面，且， 则或、是异面直线或与相交，故A错误； 对于B，空间四边形不一定确定一个平面，故B错误； 对于C，两条相交直线、，且平面，则与相交或，故C错误； 对于D，两两相交且不共点三条直线，记两两相交的交点分别为、、， 易知、、三点不共线，故过该三点有且只有一个平面，故D正确. 故选：D 7. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 8. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，求的余弦值．（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求三角形中线，的长度，根据三角形重心的性质求得，，在中，利用余弦定理求的余弦，即为所求结果. 【详解】因为，，. 因为 由为的重心，所以，. 在中，由余弦定理，得：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：熟悉三角形重心得性质是解决问题得关键. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. b＝7，c＝3，C＝30° B. b＝5，c＝4，B＝45° C. a＝6，b＝3，B＝60° D. a＝20，b＝30，A＝30° 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角形个数的判断，判断各选项的正误． 【详解】解：对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°， ∴由正弦定理可得：，无解； 对于B，b＝5，c＝4，B＝45°， ∴由正弦定理可得：，且c＜b，有一解； 对于C，∵a＝6，b＝，B＝60°， ∴由正弦定理可得：，此时C＝30°，有一解； 对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°， ∴由正弦定理可得：，且b＞a，则， ∴B有两个可能值，即有两解， 故选：BC． 【点睛】易错点睛：利用正弦定理判断三角形解的个数时需要注意： （1）正弦值的范围：； （2）利用正弦定理求解出正弦值后，注意结合“大边对大角，小边对小角”对结果进行取舍. 10. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可． 【详解】对A，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确； 对B，因为水面EFGH所在四边形的面积，从图中可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误； 对C，因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，故C正确； 对D，因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE•BF是定值，故D正确． 故选：ACD． 11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长； 对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列； 对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径可得的值； 对于选项，由题意利用中线定理即可计算得解． 【详解】由正弦定理可得． 设 ， 解得的周长为，故A正确； 由余弦定理得，， 故B正确； 由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确； 由中线定理得，即， ，故D错误． 故选:ABC． 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点的坐标为，分和两种情况代入坐标列方程求解. 【详解】设点的坐标为， 当时，，即， 所以， 所以，得， 当时，，即， 所以， 所以，得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 13. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 _____对． 【答案】3 【解析】 【分析】把展开图还原成正方体，观察几何体由异面直线的定义即可得到答案. 【详解】如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内 不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有： AB 和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对， 故答案为：3． 14. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过代入后，根据三点共线计算即可. 【详解】因为点是的中点， 所以， 又三点共线， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】剩下部分体积为，表面积为. 【解析】 【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. 【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为. 圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以剩下几何体的体积为. 剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 即. 16. 在复平面内，点A，B对应的复数分别是，（其中是虚数单位），设向量对应的复数为. （1）求复数； （2）求； （3）若，且是纯虚数，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数与点的对应及向量的坐标运算得解； （2）根据复数乘法运算、乘法运算及模的运算得解； （3） 根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【小问1详解】 因为点A，B对应的复数分别是，，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， 由是纯虚数，可知且，解得. 17. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： （1）轮船D与观测点B的距离； （2）救援船到达D点所需要的时间． 【答案】（1）海里；（2）1小时. 【解析】 【分析】 （1）结合图形利用正弦定理转化求解的长； （2）利用余弦定理求出，然后求解出该救援船到达点所需的时间． 【详解】解：（1）由题意可知：在中，，，则， 由正弦定理得：， 由， 代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理得： ， ，， 即该救援船到达点所需的时间小时. 【点睛】方法点睛：正弦定理以及余弦定理是解决这类问题的常用方法. 18. 在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，． （1）用向量，表示向量，； （2）求的取值范围； （3）是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量模长公式，结合二次函数的性质即可求解， （3）根据线性运算以及平面向量基本定理即可列方程求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 又． 【小问2详解】 ， 因为，，， 所以 ． 因为动点E，F分别在线段BC和DC上且不包含端点，所以， 所以，， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 设，，其中，则 ， 因为， 由平面向量基本定理，得 解得， 由，得，故， 所以，解得，或． 因为，所以． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量数量的运算律和基底法得到的表达式，再根据二次函数的性质即可求出其范围. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（58分） 一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中；只有一个选项符合题目要求． 1. 若复数是纯虚数，则z的共轭复数（ ） A. －1 B. －i C. i D. 1 2. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不共线的向量，．若与是共线向量，实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若、是两条直线，、是两个平面，且，则、是异面直线 B. 四边形可以确定一个平面 C. 已知两条相交直线、，且平面，则与位置关系是相交 D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 7. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 8. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，求的余弦值．（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. b＝7，c＝3，C＝30° B. b＝5，c＝4，B＝45° C. a＝6，b＝3，B＝60° D. a＝20，b＝30，A＝30° 10. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标________． 13. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 _____对． 14. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 16. 在复平面内，点A，B对应复数分别是，（其中是虚数单位），设向量对应的复数为. （1）求复数； （2）求； （3）若，且是纯虚数，求实数的值. 17. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： （1）轮船D与观测点B的距离； （2）救援船到达D点所需要的时间． 18. 等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，． （1）用向量，表示向量，； （2）求的取值范围； （3）是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$