精品解析：广东省深圳市深圳大学附属中学、龙城高级中学第二次段考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

2023-2024学年度第二学期第二次段考 高一年级数学试题 教务处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知为共线向量，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 将水平放置的 用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 4. 党的十八大以来，我国把绿色发展理念融入城乡规划建设管理之中，合理布局城市的生产空间、生活空间、生态空间，持续推进城市园林绿化工作．为践行生态文明的理念，某学校全体师生于3月12日开展植树活动，购买了樟树、银杏、桂花、梧桐四种树苗共计800棵，比例如图所示，高一年级师生、高二年级师生、高三年级师生参加植树活动的人数之比为 ，若每种树苗均按各年级师生参加植树人数的比例进行分配，则高二年级师生应分得桂花树苗的数量为（ ） A. 30棵 B. 50棵 C. 72棵 D. 80棵 5. 已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为 ，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 7. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ） A. cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3 8. 在 中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则 为（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 如图，在边长为2的正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，将 分别沿SE，SF折起，使 两点重合于G，下列说法正确的是（ ） A. 若把 沿着EF继续折起， 与G恰好重合 B. C. 四面体 的外接球体积为 D. 点G在面SEF上的射影为△SEF的重心 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 最大值为9 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是_________. 13. 在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____________. 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段 长度的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若，求实数的值. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图. （1）求图中 的值； （2）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前 的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且 ，点E为线段PD的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥 的体积 18. 在 中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）为边上一点，，且，求 . 19. 类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角 的大小为，则． （1）四棱柱，平面平面ABCD，，，求的余弦值； （2）当、时，证明以上三面角余弦定理； （3）如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为，，，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期第二次段考 高一年级数学试题 教务处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法、乘法运算可得，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】， 故. 故选：D 2. 已知为共线向量，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线求出x，再求模长即可. 【详解】共线，则，得， 故. 故选：C 3. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法，确定的特征，求出即可. 【详解】依题意，在中，， 所以 . 故选：A. 4. 党的十八大以来，我国把绿色发展理念融入城乡规划建设管理之中，合理布局城市的生产空间、生活空间、生态空间，持续推进城市园林绿化工作．为践行生态文明的理念，某学校全体师生于3月12日开展植树活动，购买了樟树、银杏、桂花、梧桐四种树苗共计800棵，比例如图所示，高一年级师生、高二年级师生、高三年级师生参加植树活动的人数之比为 ，若每种树苗均按各年级师生参加植树人数的比例进行分配，则高二年级师生应分得桂花树苗的数量为（ ） A. 30棵 B. 50棵 C. 72棵 D. 80棵 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出高二年级师生分得的树苗的数量，再结合扇形图列式计算即得. 【详解】依题意，高二年级师生应分得树苗的数量为（棵）， 所以高二年级师生应分得桂花树苗的数量为（棵）． 故选：C 5. 已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为 ，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算可得. 【详解】因为，且， 所以，即夹角为， 故选：C. 6. 在中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果. 【详解】由正弦定理得，即， ，又因为， 或； 则“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：. 7. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ） A. cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得.. 【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm， 由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有， 即，可得，则， . 故选：B. 8. 在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，将向量用表示，得到，进而判断的形状. 【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即△为钝角三角形， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结合复数的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，若复数，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误； 对于B中，若，则，即， 可得或，所以，所以B项正确； 对于C中，由于表示两个复数在复平面上对应的两点之间的距离， 所以，表示复平面内到点 距离为3的点的集合， 所以对应的点的轨迹为圆心在 ，半径为3的圆，所以C项正确； 对于D中，由是关于的方程的根， 故，即， 可得，所以 ，所以D项正确. 故选：BCD． 10. 如图，在边长为2的正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，将 分别沿SE，SF折起，使 两点重合于G，下列说法正确的是（ ） A. 若把 沿着EF继续折起， 与G恰好重合 B. C. 四面体 的外接球体积为 D. 点G在面SEF上的射影为△SEF的重心 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，可说明 与G恰好重合，判断A;根据线面垂直的性质定理可判断B;将四面体 补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C;根据线面垂直证明线线垂直，说明点G在面SEF上的射影为三角形的高的交点，判断D. 【详解】对于A，因为，故把沿着继续折起，与恰好重合，正确； 对于B,因为,D是EF的中点，故 ; 又 ，故 平面GEF, 而平面GEF,故,又平面SGD, 所以平面， 平面,所以正确； 对于，由翻折的性质可知，两两垂直， 将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同， 其体对角线长，所以长方体外接球的半径为， 故外接球的体积为，故正确； 对于D，因为两两互相垂直，故 平面GEF,则, 设P为点G在平面SEF上的射影，连接EP,SP,则 , 而平面SGP,故平面SGP, 平面SGP, 故，同理可证,即点P为三角形高线的交点， 所以点在平面 上的射影为的垂心，故D错误， 综上，正确答案为ABC， 故选：ABC 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 最大值为9 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断A，D；以点为原点建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断B、C． 【详解】因为，AD的中点为O，所以， 则，故A项正确； ， ， 则，故D项正确； 如图，以点O为原点建立平面直角坐标系， 则，，， 因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，且在x轴的下半部分， 所以设，，则，，， 所以， 因为，所以，所以当时，取得最大值9，故C项正确； 因为，所以，即， 所以，所以，因为， 所以当时， 取得最大值，故B项错误． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】由求出，利用方差公式即可求. 【详解】由可得或， 因为a、b是方程的两根， 不妨设，， 所以样本平均数为， 故样本方差为：. 故答案为：8 13. 在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造平行线，得到两条异面直线所成的角，解三角形得到所求角的余弦. 【详解】如图： 取的中点，连接， ，因为，故即为异面直线 与 所成的角. 在中，，， 由余弦定理：. 故答案为： 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解. 【详解】在中，，则， 又平面，平面平面， 所以平面，连接，，所以， 得，设（）， 则，即，得， 当即即时，取到最小值1， 此时取到最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到、，而，即为所求. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由代入计算，结合是纯虚数即可求得，再由复数的模长公式，即可得到结果； （2）根据题意，由复数相等的定义，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 所以， 且是纯虚数，则，解得， 所以，则， 所以. 【小问2详解】 若，则， 所以，解得. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前 的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰. 【答案】（1） （2） （3）估计该市民能得到表彰 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质列方程求即可. （2）根据平均数的计算公式，即可求得答案； （3）根据频率分布直方图计算样本的第70 百分位数，与78比较，即可得结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 所以， 【小问2详解】 （1）100份样本数据的平均值为． 【小问3详解】 成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.77， 则被表彰的最低成绩为第70%分位数：， 因为， 所以估计该市民能得到表彰． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且 ，点E为线段PD的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥 的体积 【答案】（1） 连结，交于点O， 如图示： ∵O是正方形对角线交点，∴O为中点， 由已知E为线段的中点，∵ ， 又平面，平面， ∴平面； （2） ∵ ，E为线段的中点， ∵平面，∴， 在正方形中，， ∴平面，又平面， ∴ ，又 且两直线在平面内， ∴平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连结，交于点O，连结，可得 ，再由线面平行的判定可得平面； （2）由 ，E为线段PD的中点，得 ，再由平面，得，由线面垂直的判定可得平面； （3）借助等体积法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 三棱锥 的体积 . 18. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）为边上一点，，且，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件结合二倍角公式得到，再根据同角三角函数化简运算得到，求解角度即可. （2）先利用正弦定理求，利用余弦定理求，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，得， 即，，即. 又，，则角为. 【小问2详解】 易知，在 中， 由正弦定理得；在中，同理. 又，代入得：， 根据余弦定理得，所以. 19. 类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角 的大小为，则． （1）四棱柱，平面平面ABCD，，，求的余弦值； （2）当、时，证明以上三面角余弦定理； （3）如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为，，，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义将已知的条件代入计算即可；（2）过射线PC上一点H作交PA于M点，作交PB于N点，连接MN，画出图形，则 是二面角 的平面角，根据已知条件利用三角形中的余弦定理进行证明即可； （3）这问比较灵活，例如已知在三棱锥ABCD中， ，，，AB所对的二面角记为， 所对的二面角记为，AC对的二面角 记为，求证：．根据所描述的结论进行证明即可. 【小问1详解】 由平面平面ABCD，得， 由三面角余弦定理得， 因为，， 所以； 【小问2详解】 过射线PC上一点H作交PA于M点， 作交PB于N点，连接MN，如图所示： 则 是二面角 的平面角， 在 中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 两式相减得： ， 则：， 两边同除以， 得； 【小问3详解】 已知在三棱锥ABCD中，，，， AB所对的二面角记为， 所对的二面角记为， AC对的二面角 记为， 求证：． 不难推出， 所以． 作A点在底面BDC上的射影O，过OE作于E，连接AE， 过O作于F，连接AF， 由， 有， 所以， 因为，， 所以， 同理可得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $