专题04 指对幂函数及函数与方程（十六大题型7大易错题）（题型专练+易错精练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题04指对幂函数及函数与方程（十六大题型7大易错题） 【题型1 指数幂与对数式化简求值】 1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2015·四川·一模）的值等于（    ） A．-2 B．0 C．8 D．10 3．（2023·四川宜宾·一模）计算: . 4．（23-24高一上·河南郑州·期中）计算： . 5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 6．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 【题型2 指对幂函数定义与解析式】 7．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 8．（2023·河北石家庄·三模）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（    ） A． B． C． D． 9.（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【题型3 求指对幂函数的定义域】 10．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽滁州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D． 12.（22-23高三上·安徽·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·云南·模拟预测）若为奇函数，则 . 【题型4求指对幂函数的值域】 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·重庆·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5指对幂函数的图象问题】 17．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24高三下·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   22．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 指对幂函数过定点问题】 23．（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．18 【题型7 指对幂函数的单调性问题】 24．（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·上海杨浦·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·北京石景山·一模）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 指对幂函数比较大小】 26．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 27．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·福建三明·三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 32．（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型9 指对幂函数解不等式】 33．（21-22高一上·吉林通化·期中）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A．B．C． D． 34．（2024·宁夏银川·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 35．（2024·辽宁·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 36．（2024·陕西西安·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型10指对幂复合函数综合问题】 37．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 38．（2024·四川·一模）函数的图象大致是（    ）． A．   B．   C．   D．   39．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 40．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ． 41．（21-22高一上·全国·单元测试）设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 42．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【题型11 函数零点所在的区间 】 43．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 44.（2023高三·全国·专题练习）必存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 45．（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【题型12 函数零点个数的判断】 47．（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 48．（2024·黑龙江·二模）函数的部分图象如图所示，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 49．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 50．（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型13 已知函数零点个数求参数】 51．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（2024·全国·模拟预测）设函数在区间上恰有3个零点、2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型14 复合函数的零点问题】 57．（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【题型15二分法及其应用】 58．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 59．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（    ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A．5 B．6 C．7 D．8 【题型16 函数与方程的应用】 60．（2024·山西长治·一模）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 61．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ） A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 62．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 63．（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，若，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（    ） A．若是以月为单位，则 B．若是以年为单位，则 C．若是以月为单位，则 D．若是以年为单位，则 【易错点1 对数函数忽视对底数的讨论致错】 1．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江金华·期中）函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 . 【易错点2 忽视对数中找真数大于零致错】 1．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏·一模）设a，b为实数，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错点3 忽视高次项系数的讨论致错】 1．（2023·江苏苏州·三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 2．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【易错点4 指数函数中忽视对底数的讨论致错】 1．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知是奇函数，则 . 【易错点5 幂函数中忽视定义致错】 1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【易错点6 使用换元法时没有注意新元的取值范围】 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 【易错点7 混淆“单调区间”和“在区间上单调”】 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04指对幂函数及函数与方程（十六大题型7大易错题） 【题型1 指数幂与对数式化简求值】 1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可. 【详解】由，，可知， . 故选：B 2．（2015·四川·一模）的值等于（    ） A．-2 B．0 C．8 D．10 【答案】A 【分析】应用指数运算和对数运算计算求解即可. 【详解】. 故选：A. 3．（2023·四川宜宾·一模）计算: . 【答案】 【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： ， 即 . 故答案为：. 4．（23-24高一上·河南郑州·期中）计算： . 【答案】5 【分析】根据指数以及对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 【答案】16 【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解. 【详解】由，而， 因为单调递增，所以，则的最大值是16. 故答案为：16 6．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案. 【详解】（1）原式 （2）由根式与分数指数幂互化运算可得， 【题型2 指对幂函数定义与解析式】 7．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得出，代入可得出的表达式，即可得出的表达式. 【详解】由已知可得，代入可得，则， 即，因此，. 故选：B. 8．（2023·河北石家庄·三模）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义进行辨析即可. 【详解】由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数， 由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增， 选项中四个函数定义域均为，，都有 对于A，，故为奇函数，满足性质①， ∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②； 对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足； 对于C，，故为奇函数，满足性质①， 令，，解得，， ∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②； 对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②. 故选：A. 9.（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性分析可知在区间上单调递减，进而逐项分析判断即可. 【详解】因为开口向下，对称轴为， 可知内层函数在区间上单调递增， 当，；当，； 可知， 又因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减. 对于选项A：因为函数在区间上单调递减，故A正确； 对于选项B：因为，则在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增，故D错误. 故选：A. 【题型3 求指对幂函数的定义域】 10．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域的含义及解根式不等式及指数函数的性质即可求解. 【详解】由，解得，故定义域为. 故选：A 11．（23-24高一上·安徽滁州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式下非负及分母不为零列方程计算即可. 【详解】由题意可知的定义域需要满足解得且. 故选：C. 12.（22-23高三上·安徽·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式有意义的条件建立不等式组，再解不等式即可. 【详解】由题可得解得且. 故选:C. 13．（2024·云南·模拟预测）若为奇函数，则 . 【答案】 【分析】 根据对数函数的性质令，求出函数的定义域，又奇函数的定义域关于原点对称得到方程，求出的值，再代入检验. 【详解】 对于函数， 令，解得或， 所以函数的定义域为， 又为奇函数，所以，所以， 此时，定义域为， 且，满足为奇函数. 故答案为： 【题型4求指对幂函数的值域】 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】由，得，解得， 所以， 所以． 故选：C. 15．（2024·重庆·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，解得，则， ，所以，则 . 故选：B 16．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性解集合A，根据对数函数的单调性解集合B，结合补集的定义和运算即可求解. 【详解】由， 得， 所以 . 故选：C 【题型5指对幂函数的图象问题】 17．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数奇偶性排除选项A，再根据函数值正负排除B,C, 即可得出答案. 【详解】因为的定义域为，，所以是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除A； 当时，，，所以，当时，，，所以，故排除B，C. 故选:D. 19．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而判断选项. 【详解】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误; 对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误; 对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在单调递减，故D错误; 利用排除法可以得到，在满足题意，A正确. 故选：A 20．（23-24高三下·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项. 【详解】由函数，，令，解得， 则其定义域为，关于原点对称， 所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A. 故选：A 21．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据得到D. 【详解】因为定义域为， ， 所以为偶函数，关于轴对称，排除A，B； 因为，，所以，故C错误，D正确， 故选：D. 22．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】由题意可知，，又， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合； 当时，若，，A选项符合； 当时，，此时在和上单调递增， B选项符合； 结合选项可知，只有C.选项不可能. 故选：C. 【题型6 指对幂函数过定点问题】 23．（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m与n的等量关系，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 【题型7 指对幂函数的单调性问题】 24．（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对数函数在其定义域上单调递增，A选项不满足条件； 为常函数，在其定义域上没有单调性，B选项不满足条件； 在其定义域上单调递增，C选项不满足条件； ，在其定义域上单调递减，D选项满足条件. 故选：D. 25．（2024·上海杨浦·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析式直接判断单调性的方法，逐项分析得解. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上为严格增函数，D是. 故选：D 22．（2024·北京石景山·一模）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数，指数函数和对数函数的性质，即可判断选项. 【详解】A，根据正弦函数的性质可知，，所以在上为增函数，故A错误； B，是偶函数，关于轴对称，，所以在上是增函数，在上是减函数，故B错误； C，的定义域是，函数是区间上是增函数，故C错误； D，根据指数函数的性质可知，在区间上是减函数，故D正确. 故选：D 【题型8 指对幂函数比较大小】 26．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 27．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案. 【详解】因为指数函数是单调减函数，所以， 又由幂函数在上单调增函数，所以， 又因为指数函数是单调增函数，所以， 综上可得：， 故选：D. 28．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可. 【详解】当时，，所以在上单调递增； 又有为上的偶函数，所以在上单调递减. 由于我们有， 即，故. 而，，，故. 故选：C. 29．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断，，且，根据对数函数的性质可得，即可判断. 【详解】因为， 又，则，且，即， 因为，所以， 所以. 故选：A 30．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的性质，结合对数函数的单调性求解. 【详解】， ， ， 因为，所以， 因为， ， 所以， 所以. 故选：D. 31．（2024·福建三明·三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性可判断的大小，利用对数函数的单调性判断a的范围，即可得答案. 【详解】由题意得， 由于在上单调递增，故； 而在上单调递减，故， 故， 故选：A 32．（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小. 【详解】，，而， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：C 【题型9 指对幂函数解不等式】 33．（21-22高一上·吉林通化·期中）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集. 【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，此时在R上单调递增， 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故选：B. 34．（2024·宁夏银川·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合 ，集合， 所以， 故选：A 35．（2024·辽宁·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义、对数函数的单调性以及指数函数值域的解法，结合并集的定义即可求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 显然函数在区间上上单调递增，且， 所以，只需，解得 另函数在区间上单调递增， 则， 所以， 所以. 故选：B. 36．（2024·陕西西安·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解指数，对数不等式，求出集合后，结合集合的运算即可求出结果。 【详解】不等式log，即可loglog， 根据对数函数的单调性可知，，解得， 所以，，显然集合是的真子集， 所以，即D正确。 故选：D 【题型10指对幂复合函数综合问题】 37．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 38．（2024·四川·一模）函数的图象大致是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，得到函数为偶函数，排除C，D，再结合，利用的函数值的符号，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且， 可知为偶函数，其函数的图象关于轴对称，可排除C，D； 当时，可得， 若时，，则； 若时，可得，则，此时B不符题意. 故选：A 39．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合， 所以 ， 故选：A 40．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得. 【详解】当时，， 当时，， 所以的值域为． 故答案为：. 41．（21-22高一上·全国·单元测试）设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据解析式分析的性质，讨论、、，结合指数函数和二次函数的性质判断恰有2个零点情况下a的取值范围. 【详解】由解析式知：在上且单调递增；在上，的对称轴为且开口向上， ∴1、当，即时，则在上递增，，此时无零点； 2、当时，上存在一个零点，要使恰有2个零点，则在上也只有一个零点，而且， ∴当，即，只需，可得； 当，即，只需，可得； ∴此时，时恰有2个零点； 3、当时，上无零点，要使恰有2个零点，则在上有两个零点即可，而且，， ∴在上恒有两个零点. 综上，a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据在的零点情况讨论a的范围，并确定上零点个数，结合二次函数性质求参数范围. 42．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数的图象，结合图象，从而确定的取值范围. 【详解】由的解析式作出的大致图像．如图所示：    方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则． 故答案为：. 【题型11 函数零点所在的区间 】 43．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 44.（2023高三·全国·专题练习）必存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知的零点即为与的交点横坐标，结合图象分析判断. 【详解】令，可得， 可知的零点即为与的交点横坐标， 在同一坐标系内作出与的图象， 又， 可知与在内有交点，在，和内无交点， 所以在内必存在零点，其它区间无零点. 故选：C. 45．（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理计算即可. 【详解】由题知在上单调递增， ∵，，， 又，∴，即在上存在使得. 故选：B. 46．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点存在定理进行判断即可. 【详解】函数，可判断函数为单调递增函数， 所以 因为，所以，， 所以 可得，即函数的零点所在的区间是. 故选：C 【题型12 函数零点个数的判断】 47．（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的图象的交点个数，即可求解. 【详解】 当时，令，解得或； 当时，令，则，画出函数与函数的图象， 可知在上两函数图象有一个公共点，故的零点个数为3. 故选：C 48．（2024·黑龙江·二模）函数的部分图象如图所示，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数的图象求得解析式，令求解零点. 【详解】由图可知， 所以. 因为函数的图象过点，且在的单调增区间上， 所以， 因为，所以. 令，得或， 所以或， 又，所以或或或或， 所以函数在区间内有5个零点. 故选：C 49．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可. 【详解】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图：      又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当 ，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 50．（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】作出当时函数与的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数的性质确定以及时的零点，即可得答案. 【详解】依题意，作出函数与的图象，如图， 可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点； 又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点， 函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点， 综上所述，共有5个零点． 故选：D． 【题型13 已知函数零点个数求参数】 51．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】 函数 ． 当时，令，则， 若在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则，解得. 故选：A．      52．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围. 【详解】由，，可得：，令， 依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点. 又，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故时，取得极大值，且当时，，当时，， 故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得. 故选：C. 53．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，求导并画出函数的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点； 设，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 函数与函数的图象如图所示： 切线与在轴上的截距分别为, 当时，与函数的图象有一个交点， 故实数的取值范围为. 故选：A 54．（2024·全国·模拟预测）设函数在区间上恰有3个零点、2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意确定，再代入求整体角的取值范围，得到3个零点、2个极值点的位置，解不等式求得结果. 【详解】当时，无法满足函数在区间上的零点比极值点多，所以，选项表示的区间也全部在正半轴． 函数在区间上恰有3个零点、2个极值点， 令，则相当于函数在区间上恰有3个零点、2个极值点． 如图，要使函数恰有3个零点、2个极值点， 则， 所以． 故选：B． 55．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围. 【详解】法一：设，则函数有两个零点转化为函数的图像与直线有两个交点， 因为，当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， 当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是. 法二：函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点． 因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为， 所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点， 所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是． 故选：D． 56．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定是函数的零点，在时，利用函数零点的定义分离参数，构造函数，利用导数及二次函数的性质数形结合求出范围. 【详解】由，得，而当时，，即0是的一个零点， 当时，，令， 依题意，直线与函数的图象有3个公共点， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有3个公共点， 则当或时，方程有3个解，即有4个零点， 所以m的取值范围为或. 故选：C 【题型14 复合函数的零点问题】 57．（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案. 【详解】由题意，因为，所以为奇函数， 由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的， 所以的图象关于点对称. 而所表示的直线也关于点对称， 所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以. 故选：B. 【题型15二分法及其应用】 58．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】 不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 59．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（    ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二分法结合零点的近似值求解. 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为， 故需，解得，所以至少需要操作7次. 故选：C 【题型16 函数与方程的应用】 60．（2024·山西长治·一模）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再分析在上的图象性质即可得解. 【详解】观察图象知，，函数的周期，， 由，得，而，则， 于是，当时，， 当，即，函数单调递减，函数值从减小到， 当，即时，函数单调递增，函数值从增大到， 显然函数的上的图象关于直线对称， 方程在上有两个不相等的实数根，即直线与函数在上的图象有两个公共点， 所以实数m的取值范围是. 故选：B 61．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ） A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 【答案】C 【分析】设矩形场地的长为米，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以平整这块场地所需的最少费用为元. 故选：C 62．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 63．（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，若，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（    ） A．若是以月为单位，则 B．若是以年为单位，则 C．若是以月为单位，则 D．若是以年为单位，则 【答案】BC 【分析】对AC，计算，满足，，，可确定，对CD，计算，满足，，，可确定． 【详解】选项A，，，A不符合； 选项B，，，，，符合； 选项C，，则 ，，，，，符合， 选项D，，， ，，不符合． 故选：BC． 【易错点1 对数函数忽视对底数的讨论致错】 1．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递减， 解得. 故选：C. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为函数在定义域内是增函数，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C． 3．（23-24高一下·浙江金华·期中）函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】根据对数的性质结合题意求出点的坐标，再点的坐标代入中求出，从而可求出的解析式. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A， 所以点的坐标为， 设，则，得， 所以， 故答案为： 【易错点2 忽视对数中找真数大于零致错】 1．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出集合、后结合交集定义即可得. 【详解】由，解得，所以， 因为，所以，故. 故选：A. 2．（2024·宁夏·一模）设a，b为实数，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的定义域和单调性解不等式，得到解集，从而得到答案. 【详解】，而在R上单调递减，故， ，而在上单调递增， 故，故， 故，但， 故是的必要不充分条件. 故选：B 【易错点3 忽视高次项系数的讨论致错】 1．（2023·江苏苏州·三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】D 【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数在处取得最大值.根据已知即可列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为，所以，解得，所以. 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，在处取得最小值， 所以，在处取得最大值， 所以，函数在处取得最大值. 因为，所有点构成一个正方形区域， 所以，所以. 故选：D. 2．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，可得； 若，，函数的值域不可能为； ②当时，， 所以函数在 ，上单调递增， 若函数的值域为，只需，可得． 由上知，实数a的取值范围为． 故答案为： 【易错点4 指数函数中忽视对底数的讨论致错】 1．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知是奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据函数奇偶性由化简代入计算可解得. 【详解】由函数可知其定义域为， 所以. 因为是奇函数，所以， 即，解得. 故答案为： 【易错点5 幂函数中忽视定义致错】 1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 【易错点6 使用换元法时没有注意新元的取值范围】 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案； （2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论； （3）换元后得到在有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）的定义域为R，且为奇函数， 由，得， 此时. 因为，所以为奇函数， 故. （2）当时，. 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解. 令，则在有两个不同的实数解， 令，其中， 所以，解得. 所以的取值范围为. 【易错点7 混淆“单调区间”和“在区间上单调”】 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增， 所以，即. 故选：B. 2．（2024·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得. 【详解】函数在区间上单调递增，A不是； 函数在上单调递增，B不是； 函数在上单调递减，C是； 函数在上单调递增，D不是. 故选：C 3．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$