专题16 圆锥曲线的综合应用（十大题型7大易错题）（题型专练+易错精练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题16 圆锥曲线的综合应用（十大题型7大易错题） 【题型1直线与椭圆的位置关系判断】 1．若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 2．直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案. 【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示：    根据图像知有个公共点. 故选：B 3．若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与圆相离得到点位置后判断. 【详解】直线与：没有交点， 所以直线与：相离， 所以，得， 故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，所以 ，即在椭圆内部， 而易知在椭圆外， 所以过点、两点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B 4．直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数． 【详解】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 【题型2 根据直线与椭圆位置关系求参】 5．设椭圆的弦与轴，轴分别交于两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由得，根据在椭圆上，代入相减得，则直线的斜率为，然后由即可求解. 【详解】如图所示，设， 直线， 因为，所以， 所以， 即，，所以. 因为在椭圆上，所以， 两式相减得，即. 又因为，且，， 所以，即， 所以. 故选：C. 6．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 7．已知椭圆，点关于直线的对称点在上，且点与不重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由题意可得的斜率为，由两点的斜率公式可得，的一个关系式，由，的中点在直线方程上，从而可得的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，可求出的值． 【详解】不妨设,， 由题意可得，即：， 又的中点在直线上， 所以，解得，故， 而在椭圆上．故，解得或， 由于时与坐标相同，故． 故选：C．    8．已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得， 化解得， 因为直线与椭圆相切， 所以， 化简整理得，所以. 故选：C. 【题型3直线与椭圆相切的应用】 9．已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设两圆交点为，根据椭圆的定义求出轨迹的方程，设点，当切线斜率存在且不为时，设切线方程为：，联立直线与椭圆方程，根据且求出，当切线的斜率不存在或为时，求出点坐标，即可得解. 【详解】圆圆心， 圆圆心， 设两圆交点为，则由题意知，，所以， 又由于，所以由椭圆定义知，交点是以、为焦点的椭圆， 且，，则，所以轨迹的方程为，    设点，当切线斜率存在且不为时，设切线方程为：， 联立，消得， 则， 即，由于，则由根与系数关系知，即．    当切线斜率不存在或为时，点的坐标为，，，，满足方程， 故所求轨迹方程为． 故选：A． 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由椭圆的定义求出轨迹的方程，再分切线的斜率存在且不为零和不存在或为零两种情况讨论，根据，利用韦达定理及求出方程. 10．已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两个曲线在第一象限有公共点，建立不等关系，设出公共点P坐标，用坐标计算，相比，计算范围，即可． 【详解】因为椭圆和圆在第一象限有公共点，所以，解得.设椭圆和圆在第一象限的公共点，则椭圆在点处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，所以，，所以，故选D. 【点睛】本题以椭圆为背景，考查圆和椭圆的相关知识，考查化简求解能力，考查数学运算素养，本道题考查了圆与椭圆的性质以及过曲线一点计算切线斜率问题，属于中档题． 11．直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程 【答案】或或（只需写一条） 【分析】画出它们的图像，由图像易得满足题意的两条公切线，再根据相切条件解得第三条公切线. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，椭圆中，，它们的图象如下图：    由图可知，或与圆和椭圆同时相切， 即符合条件的的方程可以为或 假设公切线斜率存在且不为零时方程为，由图可知 所以① 由得 由得② 由①②解得 故答案为： 或或（只需写一条） 【题型4 直线与椭圆相交弦长问题】 12．已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 【答案】/ 【分析】首先得到右焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由两点间的距离公式计算可得. 【详解】椭圆的右焦点， 因为直线的倾斜角为且过点， 所以直线，设，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为： 13．已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 【答案】 【分析】结合题意可得椭圆方程，借助点差法可得，设出直线的方程，结合可得其斜率，再借助韦达定理与弦长公式即可得解. 【详解】由题意得，解得，故椭圆的方程为， 设，线段的中点为，连接，如图， 点在椭圆上，，两式相减得， 则， 设直线的方程为，则， 点也为的中点，， ，解得， ， ，故直线的方程为， 联立，消去整理得， 则， 则, 故答案为： 【点睛】方法点睛：点差法是处理中点弦问题常用的求解方法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式可求得斜率． 14．已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到椭圆的方程为，由的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率为，可得，则， 所以椭圆的方程为，即， 由直线过椭圆的右焦点且斜率为，可得的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，则， 所以， 解得，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 15．已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】 设，由题意知，，直线的方程为， 与椭圆的方程联立化简得，所以， 故，解得， 所以，椭圆的方程为. 故答案为： 【题型5 直线与双曲线的位置关系判断】 16．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得. 【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为， 由可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条. 故选：D. 17．过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【详解】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B 18．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可. 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 19．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【答案】 和 【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案． 【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组， 整理得到， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件， 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和． 故答案为：；和. 【题型6 根据直线与双曲线位置关系求参】 20．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 21．已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则直线的方程为，与双曲线方程联立，得， ，由，得，从而求得，由此可得直线的方程. 【详解】设，直线的斜率为，则直线的方程为， 联立， 则①， ② 因为，则③， ①③联立解得，代入②得， 则直线的方程为或， 故答案为：C 22．已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，先求出右焦点为的坐标，将点代入直线方程，即可求出的值. 【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，. 设点坐标为，右焦点. 由得，解得：， 因为是双曲线得一条渐近性，所以，则， 将代入双曲线方程，得. 因为，点在第一象限内，所以， 点在直线上，所以，解得：. 故选：C 23．已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需直线的斜率大于等于渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为, 若双曲线与直线无公共点， 只需, 解得. 故的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 【题型7 直线与双曲线相交弦长问题】】 24．已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】根据对称性不妨设过的直线为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得． 【详解】双曲线中，，，则， 根据对称性不妨设过的直线为， 联立，可得， 则 设，，则，，① 由，可得， 即有，② 由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），， 所以． 故选：C． 25．已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，进而可求直线的方程，联立方程组可求弦长. 【详解】由，得. 双曲线的渐近线方程为，， 因为到的渐近线的距离为，所以，解得，所以， 过的直线与圆相切于，则可得， 所以， 过且与圆相切的直线方程为， 联立方程组，消去得.设， 则，所以 . 故选：D. 26．过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 27．已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【答案】 【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离. 【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，， 即，，所以双曲线的渐近线方程为； 当时，， 设，则，所以. 故答案为：；. 【题型8 直线与抛物线的位置关系】 28．已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】A 【分析】设，利用导数的几何意义可得直线与直线的方程，进而得到点的坐标，结合点在直线上，得，即,根据数量积的坐标运算化简后即可得解． 【详解】设，由求导得， 则直线方程为，即， 同理可得直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得， 由点在直线上，得，即 故选：A． 29．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 【答案】B 【分析】设直线的方程为，，，联立，利用韦达定理和抛物线的定义即可求解. 【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点， 设直线的方程为，，， 联立，可得，所以，， 则．因为，，所以，， 则，解得或．因为，所以． 故选：B 【题型9 抛物线的焦点弦及应用】 30．已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得点横坐标，即可得点坐标，结合焦点坐标可得直线斜率，表示出直线后，联立曲线即可得点坐标，结合焦半径公式计算即可得解. 【详解】设，则， ，即， 由得，， 的方程为， 由得，，， ，，故. 故选：B. 31．直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点的横坐标，进而求出弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，    设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 32．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率. 【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线， 则的坐标为，而，则直线的斜率为. 故选：C． 33．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，，设， 联立直线与抛物线得，消去，得， 所以. 由抛物线的定义知. 而，故，解得. 故选：D. 34．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解. 【详解】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C 【题型10直线与抛物线的相交弦长问题】 35．已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，则可设直线，直线，分别与抛物线方程联立，设，由韦达定理可得，，结合，可解得的值，从而可得的值，再利用弦长公式即可求解. 【详解】由题意得， ， ， 设直线，直线， 联立，得， 设，则， 联立，得，则， 则，则，故， 由，得，解得， 则，故. 故选：. 36．已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 37．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据抛物线定义求出，再代入回抛物线方程求出其纵坐标，最后计算面积即可. 【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 38．已知为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于不同的两点，若抛物线在两点处的切线相交于点，则 . 【答案】4 【分析】设，，设直线，代入抛物线方程，消去得，根据韦达定理可得，，根据导数的几何意义可得切线方程，求出点的坐标，即可求出的值． 【详解】设，，抛物线C在A、B两点处的切线为，    由,且直线的倾斜角为， 因此，设直线：，代入抛物线方程，消去得，， 则，， ， 由抛物线，可得对求导数，得到y′x， 则抛物线在两点处的切线的斜率为，切线的斜率为， 直线的方程为，即，① 则直线l2的方程为，即，②， 由①②解得，， 点P的坐标为， 根据两点间距离公式：， 故答案为：4． 【点睛】结论点睛：过抛物线焦点的直线与抛物线相交于不同的两点，抛物线在两点处的切线相交于点，则点的轨迹为抛物线的准线. 1．已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线定义可知，结合图形可的，然后可得所求. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 由图知，当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值， 此时点纵坐标为4，代入抛物线方程可得， 则的面积为． 故选：D 2．已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，联立其与抛物线方程可得韦达定理，再由可得，即可求得、，结合抛物线定义可得求解即可. 【详解】如图所示，    设，，不妨设，设直线l的方程：， 消去x得，， 所以，， 由可得， 所以由上边三式可解得，，， 所以由抛物线定义可知. 故选：D． 3．已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A、B两点，若，则 ． 【答案】 【分析】解法1：设，，由线段的定比分点公式得到，再设直线AB方程为，直曲联立得到韦达定理，再解出即可； 解法2：由椭圆的第二定义设直线的倾斜角为，，得到，再由同角的三角函数关系求出即可； 【详解】 解法1：设，， ∵，∴由定比分点坐标公式可得， ∵，设，，，∴，    ① 设直线AB方程为， 代入①中消去x，可得， ， ∴，，，， 解得，． 解法2：设直线的倾斜角为，，所以， 由椭圆的第二定义可得， 即，， 又， 所以． 故答案为：. 4．若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且与轴相切于的焦点，则 . 【答案】2 【分析】不妨令圆在第一象限,假设出圆的方程，利用圆与抛物线在公共点处有相同的切线，得到直线与垂直，得到关于 的方程，联立点在圆上的方程求解出，从而求解出 【详解】抛物线的焦点为， 根据对称性，不妨令圆在第一象限，， 则圆的半径，故圆的方程为， 设，由，得， 所以抛物线在点处的切线的斜率， 因为圆与抛物线在公共点处有相同的切线， 所以直线与垂直，即，则①， 又点在圆上，所以，则②， 将①代入②可得， 整理可得，解得或（舍去）， 所以，所以.    故答案为：2. 5．已知坐标原点为，椭圆的上顶点为，右焦点为，且，． (1)求椭圆的方程； (2)过作互相垂直的两条直线分别交于、两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由可求出的值，然后利用弦长公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）解：易知点、，则， ，，则，故， 因此，椭圆的方程为. （2）解：设点、， 若轴，则、关于轴对称，即点， ，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 因为，，同理可得， ， 因为直线不过点，则，整理可得，解得，满足， 所以，，， 则 ， 因为，令， 则， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最大值，且其最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 6．已知椭圆：的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率公式求出即可； （2）首先计算直线的斜率为时不符合题意，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出，再求出点坐标，即可得到，从而得到方程，求出即可. 【详解】（1）因为椭圆：的离心率为， 所以，解得， 所以椭圆方程为. （2）由（1）可得， 当直线的斜率为时，则，，， 所以，，显然不满足，故舍去； 依题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 显然，则，， 所以 ， 又解得，所以， 所以， 因为，所以，解得， 综上可得的斜率为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 7．设双曲线，斜率为1的直线l与交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点， (1)求的方程； (2)若l过点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的性质得到右焦点，由点斜式写出直线方程，由点同时在渐近线和直线上组成方程组，解出即可； （2）方法一：直曲联立，求出两点坐标，再用两点间距离公式求解弦长；方法二：直曲联立，用韦达定理表示出，再代入弦长公式求解即可. 【详解】（1）的右焦点为， 当l过的右焦点F时，直线l的方程为， 由于点在渐近线上，所以， 由于点在直线l上， 所以，得， 解得，所以双曲线的方程是. （2）方法一： 因为l过点且斜率为1，故直线， 由得， 即，解得或， 当时，，故， 当时，，故， 所以， 方法二： 因为l过点且斜率为1，故直线， 由得， 即，设， 则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 圆锥曲线的综合应用（十大题型7大易错题） 【题型1直线与椭圆的位置关系判断】 1．若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 2．直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 4．直线与椭圆的公共点个数为 ． 【题型2 根据直线与椭圆位置关系求参】 5．设椭圆的弦与轴，轴分别交于两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆，点关于直线的对称点在上，且点与不重合，则（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3直线与椭圆相切的应用】 9．已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为 A． B． C． D． 11．直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程 【题型4 直线与椭圆相交弦长问题】 12．已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 13．已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 14．已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 15．已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 . 【题型5 直线与双曲线的位置关系判断】 16．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 17．过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 19．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【题型6 根据直线与双曲线位置关系求参】 20．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 22．已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 【题型7 直线与双曲线相交弦长问题】】 24．已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 25．已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 26．过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【题型8 直线与抛物线的位置关系】 28．已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 29．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 【题型9 抛物线的焦点弦及应用】 30．已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 31．直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 32．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 33．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 34．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【题型10直线与抛物线的相交弦长问题】 35．已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （    ） A． B． C． D． 36．已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 37．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 38．已知为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于不同的两点，若抛物线在两点处的切线相交于点，则 . 1．已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（   ） A．7 B．5 C． D． 2．已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A、B两点，若，则 ． 4．若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且与轴相切于的焦点，则 . 5．已知坐标原点为，椭圆的上顶点为，右焦点为，且，． (1)求椭圆的方程； (2)过作互相垂直的两条直线分别交于、两点，求的最大值． 6．已知椭圆：的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的斜率． 7．设双曲线，斜率为1的直线l与交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点， (1)求的方程； (2)若l过点，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$