专题03 函数的概念与性质（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题03 函数的概念与性质 【考点1 求具体函数的定义域】 【考点2 求抽象函数的定义域】 【考点3 已知函数定义域求参数】 【考点4求函数的解析式】 【考点5求函数的值域】 【考点6 判断与证明函数的单调性】 【考点7 利用函数单调性求参数】 【考点8 利用函数单调性比较大小】 【考点9 利用函数单调性解不等式】 【考点10判断与证明函数的奇偶性】 【考点11 利用函数奇偶性求值求参数】 【考点12 利用奇偶性求函数解析式】 【考点13 函数周期性及应用】 【考点14 函数对称性及应用】 知识点1 函数的有关概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 知识点2 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点3 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点4 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点5 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数 【考点1 求具体函数的定义域】 【典例1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）集合，，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河南·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·河北·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 求抽象函数的定义域】 【典例1】（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】多选题（2024·广西·模拟预测）已知集合.若，且，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【考点3 已知函数定义域求参数】 【典例1】（2023·河北衡水·一模）已知集合，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【考点4求函数的解析式】 【典例1】（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 【考点5求函数的值域】 【典例1】（2024·广东·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【考点6 判断与证明函数的单调性】 【典例1】多选题（2024高三下·全国·专题练习）（多选）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（      ） A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数 【考点7 利用函数单调性求参数】 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点8 利用函数单调性比较大小】 【典例1】（2024·全国·高考真题）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山西·三模）已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点9 利用函数单调性解不等式】 【典例1】（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点10判断与证明函数的奇偶性】 【典例1】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【考点11 利用函数奇偶性求值求参数】 【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【典例2】（2024·江苏南通·模拟预测）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【典例3】（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【考点12 利用奇偶性求函数解析式】 【典例1】（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 【典例4】（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【考点13 函数周期性及应用】 【典例1】（2024·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ） A． B．0 C．1 D． 【典例2】（2024·山西·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【典例3】（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 【考点14 函数对称性及应用】 【典例1】（2024·吉林长春·模拟预测）函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【典例3】（2024·四川成都·模拟预测）函数的图象关于直线对称，则 【典例4】（2024·陕西安康·模拟预测）奇函数满足，当时，，则 . 一、单选题 1．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·山西·三模）已知是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·河南·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（2024·全国·三模）若偶函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的值是唯一的 C．的最大值为 D．图象的一条对称轴为 12．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，若实数 成等差数列，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 13．（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 14．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 15．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是函数的一个极值点 D．在单调递增 三、填空题 16．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 . 17．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与性质 【考点1 求具体函数的定义域】 【考点2 求抽象函数的定义域】 【考点3 已知函数定义域求参数】 【考点4求函数的解析式】 【考点5求函数的值域】 【考点6 判断与证明函数的单调性】 【考点7 利用函数单调性求参数】 【考点8 利用函数单调性比较大小】 【考点9 利用函数单调性解不等式】 【考点10判断与证明函数的奇偶性】 【考点11 利用函数奇偶性求值求参数】 【考点12 利用奇偶性求函数解析式】 【考点13 函数周期性及应用】 【考点14 函数对称性及应用】 知识点1 函数的有关概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 知识点2 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点3 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点4 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点5 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数 【考点1 求具体函数的定义域】 【典例1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】集合，而， 所以. 故选：B 【典例2】（2024·河南·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质和一元二次不等式的解法求出集合，然后由集合的并集运算可得. 【详解】由指数函数的值域可得，解不等式得， 所以. 故选：B． 【典例3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过解一元二次不等式求出集合，然后再求，最后再求交集 【详解】因为或， 所以， 所以, 故选:D. 【典例4】（2024·河北·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简集合A，求定义域化简集合B，然后进行补集和交集的运算即可. 【详解】因为， 或，则, 所以， 故选：A. 【考点2 求抽象函数的定义域】 【典例1】（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以满足，即， 又，即， 所以，解得. 所以函数的定义域为. 故选：D. 【典例2】多选题（2024·广西·模拟预测）已知集合.若，且，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知，先得出集合，且，接着对四个选项逐个检验即可. 【详解】因为，所以，所以集合． 对于A选项，，，所以A错误； 对于B选项，，，所以B正确； 对于C选项，不等式的解为，则，，所以C正确； 对于D选项，不等式等价于，解得，则，，所以D错误； 故选：BC． 【典例3】（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】借助函数定义域的定义计算即可得. 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 【考点3 已知函数定义域求参数】 【典例1】（2023·河北衡水·一模）已知集合，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可求得集合，由并集结果可求得结果. 【详解】由得：或，即， ，，，即实数的取值范围为. 故选：B. 【典例2】（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出的定义域得到集合A，再根据子集的定义即可求得a的取值范围. 【详解】，则或，即或. ①当时，，满足，符合题意； ②当时，，所以若， 则有或（舍），解得； ③当时，，所以若， 则有或（舍），解得. 综上所述，. 故答案为： 【考点4求函数的解析式】 【典例1】（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得. 【详解】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故，所以． 故选：B． 【典例2】（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解. 【详解】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 【典例3】（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案． 【详解】令，，则，由可得， 对于A，，故A错误； 对于B，，不满足，B错误； 对于C，，即，即，C正确； 对于D，，即不成立，D错误． 故选：C． 【考点5求函数的值域】 【典例1】（2024·广东·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解. 【详解】由，有，即，所以； 由令，根据二次函数的性质有， 所以，又因为，所以，； 所以. 故选：D 【典例2】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 【考点6 判断与证明函数的单调性】 【典例1】多选题（2024高三下·全国·专题练习）（多选）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（      ） A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数 【答案】ABD 【分析】本题根据题干结合选项采用赋值法来解决抽象函数涉及的相关问题. 【详解】令，，得， 因为，所以； 令，得， 因为，所以，即选项A正确； 由选项A知的图象过点、， 令，则得，， 所以， 因为，所以选项B正确； 因为是减函数，所以选项C错误； 因为，所以为奇函数，即选项D正确； 故选：ABD． 【考点7 利用函数单调性求参数】 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对数函数的单调性与底数有关，分和两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得的取值范围. 【详解】设函数，则 ． ①若，则在定义域上单调递减． 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立． 又，所以对任意的显然成立． 又因为对任意恒成立，所以0，故． ②若，则在定义域上单调递增． 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立． 因为抛物线 的开口向上，所以不可能对任意的恒成立． 所以的取值范围为． 故选：A． 【典例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 【典例3】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的单调性，再列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数在区间上不单调，所以， 故选：B． 【典例4】（2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由换底公式可得，由函数的单调性建立不等式并求解即可. 【详解】依题意，， 显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减， 因此，而，则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：D 【考点8 利用函数单调性比较大小】 【典例1】（2024·全国·高考真题）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 【典例2】（2024·山西·三模）已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到关于直线对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数的单调性得到，则比较出大小关系. 【详解】因为， 则， 则关于直线对称， 当时，， 根据复合函数单调性知在上单调递减， 且在上也单调递减， 则在上单调递减，再结合其对称性知在上单调递增. 令，则，， 所以在上单调递增，且，所以即. 令，则， 设，， 所以单调递减且，因此， 所以单调递减且，所以，即. 由得，所以. 又因为，且， 所以. 设，，则， 则在上单调递增，则， 即，即在上恒成立， 即，所以. 所以，则， 故，而， 即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到，则比较出三者大小. 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，的单调性，分别判断的大概范围，即可得出大小. 【详解】由题知，，，因为在定义域内单调递增， 所以，即， 因为在定义域内单调递减，所以，即， 因为在上单调递减，所以，即， 综上：. 故选：D 【典例4】（2023·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导数可知在上单调递增，在上单调递减，结合，可得答案. 【详解】令，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 且， 则，即. 故选：C. 【考点9 利用函数单调性解不等式】 【典例1】（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为为偶函数， 所以，所以， 令， 因为为偶函数， 则，即， 即， 所以， 当时，，即在上单调递减，则在上单调递增， 由，即， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而推导出，即可得到函数的单调性. 【典例2】（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【详解】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A 【典例3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可将转化为，结合导数可得在上单调递增，即可得. 【详解】由题可得， 所以， 即有，即， 故不等式等价于， 又， 当时，，故， 当时， ，，故， 即恒成立，故在上单调递增， 故由可得，即. 故选：A. 【典例4】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的最小值，再对该最小值的符号分类讨论即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，故函数在上递减，在上递增， 则当时，函数取得最小值. 若，则，从而没有零点，满足条件； 若，由于，， 故由零点存在定理可知在上必有一个零点，不满足条件. 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将零点的存在性问题转化为极值点的符号问题，属于较为常规的问题. 【考点10判断与证明函数的奇偶性】 【典例1】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 【典例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用奇偶性的定义来判断是否为偶函数，再利用给定的定义域去掉绝对值符号，再对函数进行单调性分析即可. 【详解】对于A：因为，所以为偶函数， 当时， ，， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B：因为，所以为偶函数， 当时， ， 当时，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：因为，所以为偶函数， 当时， ， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D：因为， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 【考点11 利用函数奇偶性求值求参数】 【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可. 【详解】由， 得， 因为为偶函数，所以， 即， 所以，解得. 故选：. 【典例2】（2024·江苏南通·模拟预测）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 【典例3】（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用偶函数可得，可求的值. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 即， 所以，所以，即，故A正确. 故选：A. 【考点12 利用奇偶性求函数解析式】 【典例1】（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即 ，. 即. 故选：C 【典例2】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数为偶函数，当时，， 则当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故选：A 【典例3】（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可. 【详解】由，即的一个周期为4， 由为偶函数可知关于轴对称，即， 又可知， 所以， 显然， 所以. 故选：B 【典例4】（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（满足，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确） 【分析】根据，求得，则满足的一次函数或二次函数均可. 【详解】，， ，， ，， 所以，则的解析式可以为. 经检验，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件. 【考点13 函数周期性及应用】 【典例1】（2024·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意，推得，得到是周期为2的周期函数，结合，即可求解. 【详解】由是定义域为的奇函数，则，且， 又由满足，即， 则有，可得，即函数是周期为2的周期函数， 故. 故选：B. 【典例2】（2024·山西·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】借助赋值法可得，结合题意计算可得函数的周期，即可得解. 【详解】因为，取得，即， 又，取得. 由得， 所以函数的一个周期为，故. 故选：B. 【典例3】（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值. 【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有， 故函数的图象关于直线对称，∴，故， ∴，∴是周期为4的周期函数． 则． 故选：A． 【考点14 函数对称性及应用】 【典例1】（2024·吉林长春·模拟预测）函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的对称中心为，利用对任意恒成立，即可求出和. 【详解】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有， 即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 故答案为：B. 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数性质求时对应解析式，再由导数几何意义求切线方程. 【详解】由题设，当时，，故时，， 所以，而， 故切线方程为，即． 故答案为： 【典例3】（2024·四川成都·模拟预测）函数的图象关于直线对称，则 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简，由函数的最小正周期，为对称轴，得到函数的一个对称中心为，代入求解，得到答案. 【详解】， 显然函数的最小正周期， 又为对称轴， 设在右侧附近的一个对称中心为， 故，解得，故的一个对称中心为， ，解得. 故答案为： 【典例4】（2024·陕西安康·模拟预测）奇函数满足，当时，，则 . 【答案】1 【分析】由题意借助赋值法可得函数的周期性，结合函数解析式与对称性计算即可得解. 【详解】由题意，得，在中， 以替换，得， 以替换式中的，得， 所以，所以4为函数的一个周期， 所以. 故答案为：1. 一、单选题 1．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 则在上单调递减，不等式， 即，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 2．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递减， 解得. 故选：C. 3．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解. 【详解】， 故选：A 4．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可. 【详解】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为， 对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D； 对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C； 对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B. 故选：A. 5．（2024·山西·三模）已知是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据奇函数定义可知，结合分段函数解析式运算求解. 【详解】因为是奇函数，则， 且， 所以. 故选：B. 6．（2024·河南·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正余弦函数及对数函数的单调性分别判定与c的大小即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又定义域上单调递增，所以， 而在上单调递减，所以，所以. 故选:A 7．（2024·安徽·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】利用的图象关于直线对称，可知向左平移个单位为偶函数，再利用恒成立,知对应待定系数相等，即可解决问题. 【详解】依题意，为偶函数， 当时，， 由可知， 解得，所以. 故选：B 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为函数在定义域内是增函数，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C． 9．（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象向右平移1个单位长度，作出函数在上的图象，结合图象，即可求解. 【详解】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数，且， 所以当时，； 当时，，所以； 当时，，所以， 函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示． 由图可知不等式在上的解集为． 故选：B． 10．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． 11．（2024·全国·三模）若偶函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的值是唯一的 C．的最大值为 D．图象的一条对称轴为 【答案】D 【分析】由可判断A；由偶函数的性质可判断B；由三角函数的性质可判断C；可判断D. 【详解】对于A，因为周期只与有关，因此只需考虑的情况. 若对任意，都有， ， 所以，所以，所以A错误. 对于B，因为为偶函数，所以. 因为，， 所以.又，所以或，所以B错误. 对于C，， 当时取得最大值，所以C错误. 对于D，容易知道或时， ， 所以的图象关于直线对称，所以D正确. 故选：D. 12．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，若实数 成等差数列，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由，得出关于对称；再由题意得出结果即可. 【详解】因为函数， 所以， 所以关于对称； 若实数 成等差数列，则， 又因为， 所以，所以. 故选：C. 13．（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则， 当时，， ， ，则， ，即曲线在点处切线的斜率为2. 故选：C. 14．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得. 【详解】若，即时，，其对称轴为，， 此时，因，故的最小值为16； 若，由可得， （Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减， 在上递增， 在上递减，在上递增，又， ① 当时，，故，而在上单调递 减，则此时，； ② 当时，，故，而在上单调 递增，则此时，. （Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，而在上单调递减，则. 综上，函数最大值的最小值为8. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题. 解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用函数的单调性，即可求其最值. 二、多选题 15．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是函数的一个极值点 D．在单调递增 【答案】ABC 【分析】由最小正周期大于，关于点中心对称，可知，对于，直接代入函数解析式求解即可；对于，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于，通过求导，令导函数为，求得的值，并判断左右两端函数的单调性即可判断；对于，通过求函数的单调递增区间即可求解. 【详解】因为的最小正周期大于， 所以，即， 又关于点中心对称， 所以， 所以，因为，所以当时，， 所以， 对于，，故正确； 对于，， 由且是全体实数，所以是偶函数，故正确； 对于，，令得，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是函数的极大值点，故正确； 对于， 由，， 得， 函数的单调递增区间为，， 当时，， 当时，， 显然函数在上不单调，故不正确. 故选：. 三、填空题 16．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 17．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解. 【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增， ，解得. 故答案为：4（答案不唯一）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$