专题04 指对幂函数及函数与方程（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题04 指对幂函数及函数与方程 【考点1 指数幂与对数式化简求值】 【考点2 指对幂函数定义与解析式】 【考点3 求指对幂函数的定义域】 【考点4求指对幂函数的值域】 【考点5指对幂函数的图象问题】 【考点6 指对幂函数过定点问题】 【考点7 指对幂函数的单调性问题】 【考点8 指对幂函数比较大小】 【考点9 指对幂函数解不等式】 【考点10指对幂复合函数综合问题】 【考点11 函数零点所在的区间 】 【考点12 函数零点个数的判断】 【考点13 已知函数零点个数求参数】 【考点14 复合函数的零点问题】 【考点15 二分法及其应用】 【考点16 函数与方程的应用】 知识点1：幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）常见的五种幂函数的图象． 知识点2：对数 （1）对数：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). （3）对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). （4）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 知识点3：指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 知识点4：对数函数的图象与性质． a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点5：函数的零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识点6：二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； 【考点1 指数幂与对数式化简求值】 【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【典例2】（22-23高二下·湖南长沙·期末）化简与计算：． 【典例3】（2023高三·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)； (4). (5)2log32－log3＋log38－； (6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258). (7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； (8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (9)(log32＋log92)·(log43＋log83)； (10)2log32－log3＋log38－3log55； 【考点2 指对幂函数定义与解析式】 【典例1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数，则 ． 【考点3 求指对幂函数的定义域】 【典例1】（2022高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·上海·模拟预测）若集合，，则 ． 【考点4求指对幂函数的值域】 【典例1】（2024·安徽·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河北承德·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【典例4】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2024·湖南长沙·二模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【典例6】（2024·青海西宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例7】（2024·河南·二模）集合，则（    ） A． B． C． D． 【考点5指对幂函数的图象问题】 【典例1】（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       【典例2】（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【典例3】（2024·山东·一模）函数，则的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 【典例5】（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【考点6 指对幂函数过定点问题】 【典例1】（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 【考点7 指对幂函数的单调性问题】 【典例1】（2024·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·河北·三模）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【考点8 指对幂函数比较大小】 【典例1】（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·陕西商洛·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·山东聊城·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2024·全国·模拟预测）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【考点9 指对幂函数解不等式】 【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则不等式的解集为 . 【考点10指对幂复合函数综合问题】 【典例1】（2024·河南·三模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】多选题（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【典例5】多选题（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象与直线的交点的横坐标分别为，则（   ） A． B． C． D．的最小值为 【考点11 函数零点所在的区间 】 【典例1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【考点12 函数零点个数的判断】 【典例1】（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【典例2】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例3】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例4】（2024·河北邢台·一模）函数零点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例5】（2024·全国·模拟预测）函数的图像关于点中心对称，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点13 已知函数零点个数求参数】 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（    ） A． B． C． D．2 【典例2】（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（23-24高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点14 复合函数的零点问题】 【典例1】（2023·全国·模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点15 二分法及其应用】 【典例1】（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【考点16 函数与方程应用】 【典例1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数，若在上有且仅有四个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】多选题（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（    ）（参考数据：，） A．15 B．16 C．17 D．18 9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 11．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川·模拟预测）已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·云南曲靖·模拟预测）函数定义域为，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 14．（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2024·河北石家庄·三模）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．若方程在上有且只有5个根，则 17．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是上的增函数 B．函数有且仅有一个零点 C．函数的最小值为 D．存在唯一个极值点 18．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为 C． D．有两个零点，且 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指对幂函数及函数与方程 【考点1 指数幂与对数式化简求值】 【考点2 指对幂函数定义与解析式】 【考点3 求指对幂函数的定义域】 【考点4求指对幂函数的值域】 【考点5指对幂函数的图象问题】 【考点6 指对幂函数过定点问题】 【考点7 指对幂函数的单调性问题】 【考点8 指对幂函数比较大小】 【考点9 指对幂函数解不等式】 【考点10指对幂复合函数综合问题】 【考点11 函数零点所在的区间 】 【考点12 函数零点个数的判断】 【考点13 已知函数零点个数求参数】 【考点14 复合函数的零点问题】 【考点15二分法及其应用】 【考点16 函数与方程的应用】 知识点1：幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）常见的五种幂函数的图象． 知识点2：对数 （1）对数：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). （3）对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). （4）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 知识点3：指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 知识点4：对数函数的图象与性质． a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点5：函数的零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识点6：二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； 【考点1 指数幂与对数式化简求值】 【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）化简即可求出该式子的值； （2）解对数方程求出，即可得出的值. 【详解】（1）由题意， （2）由题意， 在中， ，化简得， 两边同除得，解得：或1（舍）， ∴. 【典例2】（22-23高二下·湖南长沙·期末）化简与计算：． 【答案】 【分析】利用指数的运算性质、对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】解：原式 . 【典例3】（2023高三·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)； (4). (5)2log32－log3＋log38－； (6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258). (7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； (8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (9)(log32＋log92)·(log43＋log83)； (10)2log32－log3＋log38－3log55； 【答案】(1) (2)-1 (3)1 (4)2 (5)－1 (6)13 (7) (8)2 (9) (10)－1 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）利用对数的运算性质逐个计算即可 【详解】（1）原式 . （2） （3）原式=. （4）原式==. （5）原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. （6）原式 . （7）原式＝ （8）原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2. （9）(log32＋log92)·(log43＋log83)＝·＝· ＝·＝. （10）2log32－log3＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3 ＝log332－3＝2－3＝－1. 【考点2 指对幂函数定义与解析式】 【典例1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】，， ， 故答案为： 【考点3 求指对幂函数的定义域】 【典例1】（2022高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 【典例2】（2024·上海·模拟预测）若集合，，则 ． 【答案】 【分析】分别求出集合、，再求出. 【详解】由题意可得：，结合交集的定义可知：. 故答案为：. 【考点4求指对幂函数的值域】 【典例1】（2024·安徽·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据集合定义求出，，再求交集. 【详解】由于，. 故. 故选：D. 【典例2】（2024·河北承德·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型函数的定义域和二次函数值域即可得到，再根据交集含义计算即可. 【详解】集合中，所以或，集合中， 所以， 故选：A. 【典例3】（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由定义域求出的范围，进而求出的范围与最大值. 【详解】因为，所以， 所以，最大值为1， 故选：B. 【典例4】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，再根据对数函数的单调性求出其值域，最后利用集合的交集定义即得. 【详解】对于，由可得， 又因，故得， 则有，故，则． 故选：A． 【典例5】（2024·湖南长沙·二模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，则， 当时，，则，所以. 故选：A 【典例6】（2024·青海西宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，再根据指数函数的值域可得. 【详解】由已知，， 所以， 故选：A. 【典例7】（2024·河南·二模）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质及一元二次不等式的解法，结合交集的定义即可求解. 【详解】由，得，所以， 由，得，解得， 所以. 故选：B. 【考点5指对幂函数的图象问题】 【典例1】（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设 ，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 【典例2】（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【详解】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 【典例3】（2024·山东·一模）函数，则的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性以及时函数值的正负，通过排除法得答案. 【详解】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除C. 故选：A. 【典例4】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D. 【详解】， 因为当时，都为增函数， 所以，在上单调递增，故B，C错误； 又因为， 所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误. 故选：A 【典例5】（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 【考点6 指对幂函数过定点问题】 【典例1】（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解. 【详解】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 故选：C 【典例2】（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为，（且）， 所以函数（且）的图象恒过定点， 所以， 所以， ，，当且仅当，即等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 【考点7 指对幂函数的单调性问题】 【典例1】（2024·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得. 【详解】函数在区间上单调递增，A不是； 函数在上单调递增，B不是； 函数在上单调递减，C是； 函数在上单调递增，D不是. 故选：C 【典例2】（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断. 【详解】对于A：函数的定义域为R， 又，所以是偶函数，故A错误； 对于B：由幂函数的图象可知，在上单调递增，故B错误； 对于C：函数的定义域为， 又，所以是奇函数， 又幂函数都在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D：因为对数函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【典例3】（2024·河北·三模）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用对数函数的性质以及复合函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，则函数的递增区间满足，解得， 所以函数的递增区间为. 故选：C. 【典例4】（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 解得， 又， 所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数， 因为， 所以，故. 故选：B 【考点8 指对幂函数比较大小】 【典例1】（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中间数比较与，根据中间数比较与. 【详解】因为，， 所以，因为，， 所以，所以. 故选：D. 【典例2】（2024·陕西商洛·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，即. 因为在上单调递增，又，， 又，所以，故，所以. 故选：A. 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，应用导数得其单调性，可判断，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】根据题意，构造函数，则， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此可得，即， 所以， 又指数函数为单调递增，可得，即， 因为，所以. 故选：A. 【典例4】（2024·山东聊城·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又， 所以. 故选：A 【典例5】（2024·全国·模拟预测）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性，找中间数，说明且，即可判断，同理,,说明，即可判断出答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，故． 因为，所以． 又因为，所以，故， 综上，， 故选：B． 【考点9 指对幂函数解不等式】 【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】，易知在单调递减， 在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减， 由，则，解得, 故不等式的解集为. 故选：A 【典例2】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得. 【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【考点10指对幂复合函数综合问题】 【典例1】（2024·河南·三模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域. 【详解】函数有意义，等价于， 解得，，故函数的定义域为. 故选：A. 【典例2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定出的奇偶性，然后再逐项检验定义域和奇偶性即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，即， 所以是定义在R上的偶函数. 对于选项A，因为，所以函数定义域为，所以不满足题意； 对于选项B，函数定义域为R， ，是奇函数，不符合题意； 对于选项C，函数定义域为R， 当时，，， 当时，，， 且，所以为偶函数，符合题意； 对于选项D，函数定义域为R， ，为奇函数，不符合题意； 故选：C. 【典例3】（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围. 【详解】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4. 故选： 【典例4】多选题（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】ABD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD 【典例5】多选题（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象与直线的交点的横坐标分别为，则（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先根据函数关系式正确作出函数图象，平移直线，即可确定实数的取值范围，挖掘与与之间的等量关系，由此即可逐一判断每个选项. 【详解】当时，在单调递减，在单调递增，且． 当时，在单调递减，在单调递增，且． 作出函数的图象，如图． 对于A，当时，函数的图像与直线有4个交点，A正确． 对于B，易知，由， 可得，即，所以，B错误． 对于C，易知是方程的两个根， 即关于的方程的两个根，由根与系数的关系，得，C正确． 对于D，由根与系数的关系，得． 所以． 设，则． 令，则． 整理，得，解得（负值已舍去）， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：D选项的判断是本题的关键点，注意利用等量关系消元，再借助导数求其最小值，体现了导数的工具作用． 【考点11 函数零点所在的区间 】 【典例1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】因为函数在上都是增函数， 所以在上单调递增， 因为，所以的零点所在的区间为. 故选：C. 【典例2】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【考点12 函数零点个数的判断】 【典例1】（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 【典例2】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． 【典例3】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案. 【详解】， 当时，，则， 此时在上单调递减， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 令得， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，由3个解， 综上，方程的实数根的个数为5. 故选：D 【典例4】（2024·河北邢台·一模）函数零点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】将零点问题转化为交点问题，利用函数性质判断即可. 【详解】令，可得， 则函数零点的个数为与的交点个数， 显然与均关于对称， 又当时，，当时，， 再结合两个函数的图象，可得与有5个交点， 故函数零点的个数为5，故C正确. 故选：C 【典例5】（2024·全国·模拟预测）函数的图像关于点中心对称，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换 【详解】函数的图像关于点中心对称，，∴, 又，则． 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像, 令，得∴函数在区间内的零点有，共4个. 故选：D． 【考点13 已知函数零点个数求参数】 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果. 【详解】若关于的方程在上恰有一个实数根，则，即在上恰有一个实数根， 因为恰为的最小正周期，且当时，，所以， 若，则关于的方程在上有两个实数根，因为，所以，此时， 即，解得，所以． 故选：A 【典例2】（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数有两个零点，转化为函数的图象有两个不同交点问题；由此设，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根， 即函数的图象有两个不同交点； 设，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，当时，， 作出的图象如图： 当直线与图象相切时，设切点为， 此时，则， 故此时， 结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点， 需满足， 故， 故选：D 【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角函数图象的变换得出，再根据二次函数的性质得出在上有3个零点，法一、利用整体思想及正弦函数的性质得其零点为，根据定义域取值计算即可；法二、利用整体思想得，解不等式即可. 【详解】将函数的图像向左平移个单位长度， 得到函数，再将函数的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变，得到函数， 所以，因为当时，有2个零点， 所以要使在上有5个零点，则需在上有3个零点. 法一：令，则， 解得，当时，分别对应3个零点， 则，解得.故选A. 法二：因为，所以， 所以，则. 故选:A. 【典例4】（23-24高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则有，作出函数的图象，结合图象即可得答案. 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示： 令，则， 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而函数有3个零点， 但对恒成立，即对恒成立， 又，则， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【考点14 复合函数的零点问题】 【典例1】（2023·全国·模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论或三种情况，然后根据函数判断 【详解】①当时，则只有一个零点0，不符合题意； ②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意； ③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点． 则在上有两个零点，此时必须满足，解得． 综上，得或． 故选：A 【考点15 二分法及其应用】 【典例1】（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， ， 所以函数在区间上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是. 故选：B. 【考点16 函数与方程应用】 【典例1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数，若在上有且仅有四个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式可得，作出的图象，结合图形即可求解. 【详解】， 作出的图象，如图所示，    结合图形可知，若在上有且仅有4个不等的实数根， 则且， 即的取值范围为. 故选：D 【典例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图象，由反函数的性质得，结合二次函数性质即可得解. 【详解】由得，由得， 所以令，这3个函数图象情况如下图所示： 设交于点，交于点， 由于的图象关于直线对称， 而的交点为，所以， 注意到函数的对称轴为直线，即， 且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程， 从而. 故选：B. 【典例3】多选题（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； ，即，D错误. 故选：BC    【典例4】（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 一、单选题 1．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数单调性解不等式，化简，根据交集运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案. 【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为； 故选：B 3．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 4．（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性得到，利用指对运算和指数函数单调性得到，利用对数函数单调性得到，则比较出大小. 【详解】因为，且，则， ， 所以， 故选：A. 5．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得，结合两函数图象交点的位置舍去C项. 【详解】由可得 对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合； 对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则. 又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合. 故选：C. 6．（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合中函数的值域，得到集合，判断两个集合的包含关系. 【详解】全集，，则， ，所以. 故选：D 7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性求得的范围，根据指数函数的单调性得的范围，即可比较大小. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 综上，. 故选： 8．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（    ）（参考数据：，） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】利用函数，由题意已知，求出待定系数，再用，去求解，当然这里面有取自然对数及取值计算. 【详解】由题意知，，则等式两边同时取自然对数得，， ．，，，， 故选：C． 9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到，解出即可. 【详解】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递增，且， 则时，单调递增， 若有，则有，解得， 故选：A. 10．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由题意，推出是奇函数，根据定义域的对称性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，将其化成，再由等式恒成立得到，继而求得. 【详解】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数， 因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义， 即，解得 此时为奇函数，则 解得故. 故选：C． 方法二：依题意恒成立，代入得 化简得，, 整理得：， 即(*)， 依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得， 回代(*)可得，，即，故. 故选：C. 11．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断. 【详解】因为， 当时，，所以，没有零点，故A错误； 当时与在上单调递增，所以在上单调递增， ，要使有零点，则需， 即，令，则在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 所以有零点的充要条件为， 所以使有零点的一个充分条件是. 故选：D 12．（2024·四川·模拟预测）已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由范围求得的范围，结合整体思想转化为在上只有1个零点，在上单调递增，求解即可. 【详解】当时，， 因为在上只有1个零点， 所以，解得， 当时，， 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以，解得. 综上可得. 故选：C. 13．（2024·云南曲靖·模拟预测）函数定义域为，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求解出集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】由函数，则，即，， 由函数，则，即，， . 故选：B. 14．（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，判断的图象关于点对称，利用导数判断函数在上的单调性，在同一坐标系中作出与的图象，得出交点个数，并结合对称性及可得解. 【详解】根据题意，函数的周期为8，图象关于点对称， 又 ， 所以函数的图象也关于点对称， 由，， ，，， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 在同一个坐标系中，作出函数与的图象，如图， 由图可得，函数与在上有两个交点， 因为函数与图象均关于点对称， 所以函数与在上有两个交点，又， 所以函数在内的零点个数为5. 故选：C. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 15．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围. 二、多选题 16．（2024·河北石家庄·三模）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．若方程在上有且只有5个根，则 【答案】ACD 【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项. 【详解】对于A，由，得，即，又， ，故A正确； 对于C，又的图象过点，则，即， ，即得，，又，， 所以，故C正确； 对于B，因为，而， 故直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于D，由，得， 解得或，， 方程在上有5个根，从小到大依次为：， 而第7个根为，所以，故D正确. 故选：ACD. 17．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是上的增函数 B．函数有且仅有一个零点 C．函数的最小值为 D．存在唯一个极值点 【答案】BD 【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分、和三种情况，结合函数值的符号分析判断零点；对于C：分、和三种情况，可得，即可判断；对于D：根据的单调性，结合零点存在性定理分析可知，使，进而判断的单调性和极值. 【详解】对于选项A：因为，则， 当时，则， 可得， 即，所以不是上的增函数，故A错误； 对于选项B：因为， 当时，，可知是的零点； 当时，，可知在内无零点； 当时，，则， 可得，可知在内无零点； 综上所述：函数有且仅有一个零点，故B正确； 对于选项C：当时，； 当时，； 当时，则，，可得， 综上所述：，所以不是函数的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，， 所以的符号决定于， 显然是上的增函数， 又因为当时，； 当时，， 所以，使， 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以有唯一极小值点.  故D正确.   故选 ：BD. 18．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为 C． D．有两个零点，且 【答案】BCD 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 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