精品解析：江苏省淮安市洪泽中学，金湖中学，清河中学，清浦中学等学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023-2024学年第二学期高二年级第三次联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可求得的值. 【详解】随机变量服从正态分布，若，则 故选：B 3. 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程必过点（ ） A. (0.5，3) B. (1.5，0) C. (1，2) D. (1.5，4) 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程过样本中心点进行求解即可. 【详解】由题中数据可得：， 所以该线性回归方程必过点， 故选：D 4. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）． A. 42个 B. 48个 C. 54个 D. 120个 【答案】A 【解析】 【分析】分为五位数的个位数是,五位数的个位数是两类，依据两个计数原理求解. 【详解】若五位数的个位数是，则有种情形； 若五位数的个位数是，由于不排首位， 因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形， 依据分步计数原理，可得种情形． 由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为. 故选：A． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】二项式展开式的通项为， 故展开式中的系数为． 故选：C． 6. 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A. 0.155 B. 0.175 C. 0.01 D. 0.096 【答案】B 【解析】 【分析】利用好全概率公式解题，注意解题的规范性和严谨性. 【详解】设事件表示被保险人是“谨慎的”，事件表示被保险人是“一般的”，事件表示被保险人是“冒失的”， 则依题意可知： 又设事件表示被保险人在一年内发生事故， 则 再由全概率公式得：. 故选：B. 7. 在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值. 【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为. 设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为， 则根据马尔可夫不等式可得， ， 因为， 所以， 令，则， ，即， 在上单调递增. ，即. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C. 已知，若，则事件M，N相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，给出反例，即可判断；对于B，利用得到即可判断；对于C，利用事件独立的定义即可判断；对于D，利用独立性检验的相关知识即可判断. 【详解】对于A，若恒有，，则，且. 所以，故A错误； 对于B，由于有线性回归方程，故，即，所以，，故B正确； 对于C，由于，故，即，所以事件M，N相互独立，C正确； 对于D，由于，故有的把握判断X与Y有关联，即判断错误的概率不超过，D正确. 故选：BCD 10. 已知事件A，B满足且，则一定有（ ） A. B. 相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用条件概率可得，判断A；计算可得，判断B；，计算判断C；由全概率公式可得，求解可判断D. 【详解】对于A：由题意可得，解得，故A正确； 对于B：因为，所以， 所以不相互独立，故B错误； 对于C：对于，故C正确； 对于D：由全概率公式可得， 解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ） A. 平面平面 B. 侧面内存在无穷多个点，使得平面 C. 在正方形的边上存在点，使得直线与底面所成角大小为 D. 动点分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】过作直线，则为平面与平面的交线，取中点中点F，连接，求得可判断A；取中点中点H，连接，可得，，可判断B；由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成的角最大，可得，判断C；作垂直于，连接，则为二面角的平面角，求得二面角范围是，判断D. 【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1． 对于A：过S作直线，因为，所以， 所以为平面与平面的交线， 取中点中点F，连接，由正四棱锥， 可得，所以， 所以为二面角的平面角，连接， 在中， 所以平面与平面不垂直，故A错误； 对于B：取中点中点H，连接， 因为，又平面 ，平面， 所以平面，平面，又， 所以平面平面，所以当时，平面，这样的点P有无穷多，故B正确； 对于C：由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成的角最大，，所以，所以不布存Q使得与底面成的角为，故C错误； 对于D：作垂直于，连接， 因为平面，又平面，所以， 又，所以平面，因为平面，所以， 因为则为二面角的平面角， 当都无限向点B靠拢时，；当时，， 所以二面角范围是，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 参加实践活动的1名教师和5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且相邻的方法有______种． 【答案】144 【解析】 【分析】对于相邻考虑运用捆绑法，教师不站两端，考虑运用特优法，利用分步乘法计数原理即可求得. 【详解】由题意，可分三步完成： ① 将看成一名志愿者，与其他3名志愿者和老师要站5个位置，教师不站两端，有种方法； ② 将这名志愿者和其他3名志愿者在余下的四个位置上进行全排，有种方法； ③ 最后给“松绑”，有种方法. 由分步乘法计数原理，总的方法数有：种. 故答案为：144. 13. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长8cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆台的轴截面，先得到为母线与底面所成的角，通过解三角形求得上下底面圆半径和高的长，代入体积公式计算即得. 【详解】 如图，作出该圆台的轴截面,分别是下底面圆和上底面圆的圆心，则垂直于下底面圆， 过点作于点，则,故垂直于下底面圆,即为母线与底面所成的角， 在中，，即圆台的高的长为， 设上、下底面半径分别为，则，由解得，，即圆台的上下底面圆半径分别为6和10. 故这个圆台的体积为. 故答案为：. 14. 设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%．从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率. 【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱， 事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格， 又 ， 经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品， 则该件产品合格的概率为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 四、解答题：本题共5题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论； （2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为，从而可得，即可求得和； （3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值． 【小问1详解】 根据题意可得列联表如下； 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0，1，2，3， 且Y服从超几何分布： ， ， ， 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得 16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）不妨设， ， 由余弦定理得， 在中，， 平面平面，平面平面平面， 平面． 平面， 四边形是菱形，， 又，且平面平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，平面平面， 平面， 又四边形是菱形，， 均为等边三角形， 以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面， 为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则即． 令，可得，， 平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 1 2 3 4 期望为【解析】 【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数表达式，进一步即可求解最小值； （2）的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以当时，的最小值为． 【小问2详解】 由题设知，的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，， ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此，， ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，， ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 所以的分布列为 1 2 3 4 因此，的数学期望． 18. 已知． （1）当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； （2）设． ①求的系数（用表示）： ②求（用表示）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）借助组合数的计算公式计算即可得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解； （2）①结合二项式的展开式的通项公式与组合数的性质计算即可得解；②借助导数计算可得与错位相减法求和即可得解. 【小问1详解】 由题，所以，所以，所以， 由，即展开式中的系数为； 【小问2详解】 由题意得，， ① ； ②，对等式两边同时求导， 得， 即， 令，得， 即， 则， 则， 所以． 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 因为，，则，即， 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 即，， 又因为，可得， 所以无论取何值，. （2） （3）存在，点为上靠近的四等分点 【解析】 【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解； （3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 可得， 令，则， 所以当，即时，取得最小值，此时. 【小问3详解】 假设存在，易知平面的一个法向量为 因为，， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得， 所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期高二年级第三次联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程必过点（ ） A. (0.5，3) B. (1.5，0) C. (1，2) D. (1.5，4) 4. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）． A. 42个 B. 48个 C. 54个 D. 120个 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. C. 5 D. 6. 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A. 0.155 B. 0.175 C. 0.01 D. 0.096 7. 在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C. 已知，若，则事件M，N相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10. 已知事件A，B满足且，则一定有（ ） A. B. 相互独立 C. D. 11. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ） A. 平面平面 B. 侧面内存在无穷多个点，使得平面 C. 在正方形的边上存在点，使得直线与底面所成角大小为 D. 动点分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 参加实践活动的1名教师和5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且相邻的方法有______种． 13. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长8cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为______． 14. 设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%．从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为______． 四、解答题：本题共5题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 18. 已知． （1）当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； （2）设． ①求的系数（用表示）： ②求（用表示）． 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $